云南省昆明市重点大学附属中学2023-2024学年高二上学期教学测评月考（三）数学试题(含答案)

级高二年级教学测评月考卷（三）数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中、只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，且，则实数m的取值范围是A． B． C． D．2．已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则A． B． C． D．3．若直线：与：平行，则它们之间的距离为A． B． C． D．4．过点的直线l被圆C：截得的弦长最短，则直线l的斜率是A．1 B．2 C． D．5．双曲线（，）的离心率为2，则此双曲线的渐近线的倾斜角可以是A． B． C． D．6．抛物线（）的焦点为F，点M在抛物线上，且，FM的延长线交y轴于点N，若M为线段FN的中点，则A． B．4 C．6 D．87．直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为A． B． C． D．8．在椭圆中，已知焦距为4，椭圆上的一点P与两个焦点，的距离的和等于8，且，则的面积为A． B． C． D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知，，，则A． B．C．为钝角 D．在方向上的投影向量为10．已知圆M的方程为，则关于圆M的说法正确的是A．圆心M的坐标为 B．点在圆M内C．直线被圆M截得的弦长为 D．圆M在点处的切线方程为11．已知函数，则下列说法正确的是A．的定义域为 B．为奇函数C．在定义域上是减函数 D．的值域为12．已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过的直线l与C交于P，Q两点，若，则A． B．的面积等于C．直线l的斜率为 D．C的离心率等于第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设直线与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，则实数m的值是．14．已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则．15．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为，则该圆锥的侧面积为．16．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，以为直径的圆与C在第二象限内相交于点A，与C的渐近线在第一象限内相交于点M，且，则C的离心率为；若的面积为8，则C的方程为﹒（第一空2分，第二空3分）四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．18．（本小题满分12分）已知半径为4的圆C与直线：相切，圆心C在y轴的负半轴上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）已知直线：与圆C相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，求直线的方程．19．（本小题满分12分）在四棱锥A-BCFE中，底而BCFE为梯形，BC⊥BE，EF∥BC，，，，AB⊥平面BCFE．（Ⅰ）求证：EF⊥平面ABE；（Ⅱ）求直线AE与平面AFC所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）若抛物线C：（）上的一点到它的焦点的距离为．（Ⅰ）求C的标准方程；（Ⅱ）若过点的直线l与抛物线C相交于A，B点，为定值．21．（本小题满分12分）已知在直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，．（Ⅰ）证明：AB⊥BC；（Ⅱ）设D为棱上的点，当为何值时，平面与平面DFE夹角的正弦值最小？22．（本小题满分12分）已知椭圆C：（）的一个焦点为，且过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l：（）与椭圆C交于M，N两点，求△OMN（O为坐标原点）面积的最大值及此时t的值．2022级高二年级教学测评月考卷（三）数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案AACDBDCD【解析】1．因为，所以，又，，所以，得到，故选A．2．因为复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，所以，所以，故选A．3．直线：与：平行，则，解得，故：与：之间的距离，故选C．4．由圆，可得圆心坐标为，根据圆的性质，可得当过点，与圆心C垂直时，此时弦长最短，因为，所以直线l的斜率为，故选D．5．∵双曲线（，），的离心率为2，∴，∴，∴此双曲线的渐近线的斜率为，∴此双曲线的渐近线的倾斜角是或，故选B．6．如图1，过点M作轴于点A，交抛物线的准线于点B，由题意得，设，由抛物线定义可知，，因为M为线段FN的中点，所以，所以，将其代入可得：，解得，故选D．图17．直线l的方向向量为，且l过点，又点，则，则，又∵，∴则点，到l的距离为，故选C．8．由题可知，焦距，则，又椭圆上的一点P与两个焦点，的距离的和等于8，即，所以，在中，，由余弦定理得：，整理得，所以，则，故的面积，故选D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案BDABDABCAD【解析】9．因为，所以不成立，故A错误；因为，所以，故B正确；，且，不共线，所以，为锐角，故C错误；在方向上的投影向量为，故D正确，故选BD．10．由圆M的方程为，知圆心为，半径为1，故A正确；点到点的距离为，故B正确；点到的距离为，所以，故C错误；由于点在圆M上，点与圆心在垂直于坐标轴x的直线上，所以圆M在点的切线直线与x轴平行，其方程为，选项D正确，故选ABD．11．对于A，由，解得，即的定义域为，故A正确；对于B，，即为奇函数，故B正确；对于C，，在上为单调递减，根据复合函数的单调性可知在定义域上是减函数，故C正确；对于D，因为的定义域为，所以，即，故D错误，故选ABC．12．由，不妨设，，，又，可得，利用椭圆定义可知，所以可得，即，所以点P即为椭圆的上顶点或下顶点，如图2所示，由，，，可知满足，所以，故A正确；所以为等腰直角三角形，且，因此的面积为，故B错误；此时可得直线l的斜率，故C错误；在等腰直角中，易知，即可得，故D正确，故选AD．图2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案9；【解析】13．圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，依题意，，则，解得．14．由条件得，因为是平面的一个法向量，点A，B在平面内，所以，所以，即：，解得．15．如图3，∵SA与底面成45°角，∴△SAO为等腰直角三角形，设，则，，在△SAB中，，∴，∴，解得，∴，即母线长，∴该圆锥的侧面积为．图316．如图4，因为，所以．又，，所以，，则，所以，则，所以；因为，到渐近线OM：的距离为，因为，所以点M到的距离为b，所以，所以，，则C的方程为．图4四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）因为，由正弦定理得，又因为，可得，则，可得，因为，所以．（Ⅱ）因为，且，由余弦定理得，即，又由，所以，当且仅当时，等号成立，所以△ABC的面积，即△ABC的面积的最大值为．18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知可设圆心，圆C与直线：相切，所以，解得或（舍），所以圆C的方程为．（Ⅱ）设圆心C到直线的距离为d，则，，即，解得，又，所以，解得，所以直线的方程为或．19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为，，所以，因为平面BCFE，平面BCFE，所以，因为，AB，平面ABE，所以平面ABE．（Ⅱ）解：因为平面BCFE，BC，平面BCFE，所以，，又因为，所以AB，BE，BC两两互相垂直，以B为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图5所示的空间直角坐标系，图5由，，，则，，，，，所以，，所以直线AE的一个方向向量为，设平面AFC的法向量为，则，解得：，不妨取，则，，，、设直线AE与平面AFC所成角为，则，所以直线AE与平面AFC所成角的正弦值为．20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：抛物线（）的准线l的方程为，根据抛物线的定义知点P到它的焦点的距离即为点P到准线l的距离，所以，解得，所以C的标准方程为．（Ⅱ）证明：显然直线l的斜率存在，可设直线l的方程为，，，联立，可得，所以，，，又，同理，所以，所以为定值．21．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：∵三棱柱是直三棱柱，∴底面ABC，∴，∵，，∴，又，∴平面，又∵BC在平面内，∴．（Ⅱ）解：以B为坐标原点，分别以BA，BC，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图6．图6则，，，，，，，．由题设（）．…设平面DFE的