人教版九年级数学上册 24.15 直线和圆的位置关系（知识讲解）

专题24.15直线和圆的位置关系（知识讲解）【学习目标】理解直线与圆的三种位置关系；会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系；【要点梳理】直线和圆的三种位置关系：(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么特别说明：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．【典型例题】类型一、直线与圆位置关系的判断1.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BA＝5．P是AC上的动点（P不与A、C重合），设PC＝x，点P到AB的距离为y．求y与x的函数关系式；试讨论以P为圆心，半径长为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围．【答案】(1)y＝（0＜x＜4）(2)当0＜x＜时，⊙P与AB所在直线相离；当x＝时，⊙P与AB所在直线相切；当＜x＜4时，⊙P与AB所在直线相交【分析】（1）根据∠ACB=90°，得到，根据AC=4，AB=5，得到BC＝3，根据S△ABC＝S△PBC+S△APB，得到，得到x+y＝6，得到y＝（0＜x＜4）．（2）当x＝y时，得到x＝﹣x+，得到x＝，得到当0＜x＜时，⊙P与AB所在直线相离；当x＝时，⊙P与AB所在直线相切；当＜x＜4时，⊙P与AB所在直线相交．(1)解：连接PB，设点P到AB的距离为PD=y，∵∠ACB=90°，∴，∵AC=4，AB=5，∴BC＝3．∵S△ABC＝S△PBC+S△APB，∴，∴，即x+y＝6，∴y＝（0＜x＜4）．(2)当x＝y时，则x＝﹣x+，解得：x＝．∴当0＜x＜时，⊙P与AB所在直线相离；当x＝时，⊙P与AB所在直线相切；当＜x＜4时，⊙P与AB所在直线相交．【点拨】本题主要考查了勾股定理，三角形面积，一次函数，直线与圆的位置关系，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理计算，用面积法推导一次函数解析式，用函数与方程与不等式的关系判定直线与圆的位置关系．举一反三：【变式1】在中，，O是上的一点，，⊙的半径为r，当r与m满足怎样的关系时，（1）与⊙相交？（2）与⊙相切？（3）与⊙相离？【答案】（1）；（2）；（3）【分析】根据圆心到直线的距离与半径r的大小关系解答即可．若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离．解：如图，过点O作于，，，，，∴，∴，∴（1）当时，与相交；（2）当时，与相切；（3）当时，与相离．【点拨】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟练掌握圆心到直线的距离与半径r的大小关系来确定直线与圆的位置关系是解决本题的关键．【变式2】如图，已知AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，C是⊙O外一点．若，直线BC与⊙O相交，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．【答案】相交，理由见分析【分析】根据平行线的性质即圆的性质，证明，从而得，根据已知条件直线BC与⊙O相交，即可判断与⊙O的位置关系解：相交，理由如下：如图，连接，，，，，，，，，（SAS），，直线BC与⊙O相交，，．直线与⊙O相交．线CD与⊙O的位置关系是：相交．【点拨】本题考查了圆的性质，三角形全等的性质与判定，直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．类型二、由直线和圆的位置关系求半径取值2.已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=24cm，以r为半径作⊙P．（1）若r=12cm，试判断⊙P与OB位置关系；（2）若⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件．【答案】（1）相切；（2）0cm＜r＜12cm．【分析】（1）过点P作PC⊥OB，垂足为C，根据含30度角的直角三角形性质求出PC的长，根据PC=r，即可得出⊙P与OB位置关系是相切；（2）根据相切时半径=12cm，再根据当r＜d时相离，即可求出答案．解：过点P作PC⊥OB，垂足为C，则∠OCP=90°．∵∠AOB=30°，OP=24cm，∴PC=OP=12cm．（1）∵PC=r=12cm，∴⊙P与OB相切，即⊙P与OB位置关系是相切．（2）当⊙P与OB相离时，r＜PC，∴r需满足的条件是：0cm＜r＜12cm．【点拨】本题考查了直线与圆的位置关系.解题的关键是判断出圆心到直线的距离与半径的大小关系.举一反三：【变式1】张师傅要在如图所示的钝角三角形铁片上截取一个面积最大的半圆形工件，如果要求半圆形工件的直径恰好在三角形铁片的最长边上．（1）请你帮助张师傅作出符合条件的半圆形工件的示意图（不写作法，保留作图痕迹）；（2）如果，，，试用含a的代数式表示所作圆形工件的半径（答案保留根号）【答案】（1）见分析；（2）【分析】（1）先作∠BAC的平分线交BC于点O，再过点O作OW垂直AC于点W，然后以O为圆心，OW长为半径作圆O，即可求解；（2）过点O作OE⊥AB于点E，则OE=OW，设，由，，可得，，从而得到，即可求解．解：（1）如图，半圆即为所求；（2）过点O作OE⊥AB于点E，则OE=OW，设，∵，，∴，∴，∴，在和中，，，∵，∴，解得：．【点拨】本题主要考查了角平分线的性质，圆的基本性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．【变式2】如图，在中，，，，的中点为点.以点为圆心，为半径作.（1）当时，点在______，在______（填“上、内、外”）；（2）若与线段只有一个公共点，求的取值范围.【答案】（1）内，外；（2）2＜r≤4或r=．【分析】（1）根据勾股定理得，从而得r=,进而即可得到答案；（2）分两种情况：①当与直线相切时，②当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，分别求出r的范围，即可．解：（1）∵在中，，，，∴，∵的中点为点，∴r=CM==,∵2＜＜4，∴点在内，在外，故答案是：内，外；（2）①当与直线相切时，与线段只有一个公共点，设切点为D，连接CD，则CD⊥AB，∵在Rt中，，∴r=，②当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，与线段只有一个公共点，此时，2＜r≤4．综上所述：的取值范围：2＜r≤4或r=．【点拨】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握当r=d时，点在圆上，当r＜d时，点在圆外，当r＞d时，点在圆内，是解题的关键．类型三、由直线和圆的位置关系求圆心到直线距离3.如图，的半径是5，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使．（1）点到直线距离的最大值为；（2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为．【答案】（1）7；（2）．【分析】（1）当点在圆外且三点共线时，点到直线距离的最大，由此即可得；（2）先确定线段是的直径，画出图形，再在中，利用勾股定理即可得．解：（1）如图1，，当点在圆外且三点共线时，点到直线距离的最大，此时最大值为，故答案为：7；（2）如图2，是直线与的公共点，当线段的长度最大时，线段是的直径，，，，，，故答案为：．【点拨】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，P为正比例函数图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为（x、y）．（1）求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标．（2）请直接写出⊙P与直线x=2相交、相离时x的取值范围．【答案】（1）点P的坐标为（5，）或（－1，－）；（2）x<-1或x>5【分析】（1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点P的横坐标，再根据直线的解析式求得点P的纵坐标．（2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时x的取值范围．解：（1）过P作直线x=2的垂线，垂足为A；当点P在直线x=2右侧时，AP=x-2=3，得x=5；；当点P在直线x=2左侧时，PA=2-x=3，得x=-1，，∴当⊙P与直线x=2相切时，点P的坐标为或；（2）由（1）可知当-1＜x＜5时，⊙P与直线x=2相交当x＜-1或x＞5时，⊙P与直线x=2相离．【点拨】本题考查了直线和圆的不同位置关系，根据数量关系正确求解是解决本题的关键．【变式2】已知的半径为，点到直线的距离为，且直线与相切，若，分别是方程的两个根，求的值．【答案】【分析】根据直线与圆相切的条件得，再根据一元二次方程根的判别式列出方程即得．解：∵由题意可知．∴方程的两根相等∴解得：．【点拨】本题考查了直线与圆相切的条件及一元二次方程根的判别式，解题关键是熟知直线与圆相切的条件是圆心到直线的距离等于圆的半径，判别式时，一元二次方程有两个相等实数根．类型四、由圆的平移和直线相切时圆心平移的距离举一反三：4.作一个圆，使它经过已知点和，并且圆心在已知直线上．

（1）当直线和相交时，可作几个？（2）当直线和垂直但不经过的中点时，可作出几个？（3）你还能提出不同于（1），（2）的问题吗？【答案】（1）可作个圆；可作个；可作无数个圆；（2）可作个；（3）可作个圆．【分析】（1）圆心在线段的中垂线上，分类讨论：若不垂直可作个圆；若垂直但不经过的中点，可作个；垂直且经过的中点时，可作无数个圆．（2）在（1）中第二种情况已解答；（3）可以设与平行，则线段的中垂线与必有一个交点，则可作个圆．解：（1）当直线和相交，若不垂直可作个圆；若垂直但不经过的中点，可作个；垂直且经过的中点时，可作无数个圆．（2）当直线和垂直但不经过的中点时，可作个；（3）当直线和平行时，可作个圆．【点拨】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．【变式1】如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动．（Ⅰ）当圆心O移动的距离为1cm时，则⊙O与直线PA的位置关系是．（Ⅱ）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，则d的取值范围是．【答案】相切;1cm＜d＜5cm解：试题分析：（1）如图，当点O向左移动1cm时，PO′=PO﹣O′O=3﹣1=2cm，作O′C⊥PA于C，∵∠P=30度，∴O′C=PO′=1cm，∵圆的半径为1cm，∴⊙O与直线PA的位置关系是相切；（2）如图：当点O由O′向右继续移动时，PA与圆相交，当移动到C″时，相切，此时C″P=PO′=2，∴点O移动的距离d的范围满足1cm＜d＜5cm时相交考点：直线与圆的位置关系．【变式2】如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠B＝90°，AD边落在平面直角坐标系的x轴上，且点A（5，0）、C（0，3）、AD＝2．点P从点E（﹣5，0）出发，沿x轴向点A以每秒1个单位长度的速度运动，到达点A时停止运动．运动时间为t秒．（1）∠BCD的度数为______°.（2）当t＝_____时，△PCD为等腰三角形.（3）如图2，以点P为圆心，PC为半径作⊙P．①求当t为何值时，⊙P与四边形ABCD的一边（或边所在的直线）相切.②当t______时，⊙P与四边形ABCD的交点有两个；当t_____时，⊙P与四边形ABCD的交点有三个．【答案】（1）45；（2）5或2或8﹣3；（3）①当t的值为2或5或时，⊙P与四边形ABCD的一边相切；②2＜t＜5或t＝；5＜t＜．【分析】（1）根据A、C坐标可得OC=3，OA=5，由AD=2可得OD=3，可得OC=OD，由∠COD=90°，可得∠ODC=45°，根据平行线的性质即可得∠BCD=45°；（2）分PC＝PD，CP＝CD，DC＝DP三种情况，分别求出t值即可；（3）分⊙P与CD、BC、AB边相切三种情况，分别求出t值即可；②根据①中三个图形及点P运动到OA中点时有两个交点即可得答案.解：（1）∵A（5，0）、C（0，3），∴OC＝3，OA＝5，又∵AD＝2，∴OD＝OA﹣AD＝3，∴OC＝OD，∵∠COD＝90°，∴∠OCD＝∠ODC＝45°，又∵BC∥AD，∴∠BCD＝∠ODC＝45°，故答案为：45；（2）若△PCD为等腰三角形，①当PC＝PD时，点P在CD的垂直平分线上，点P与点O重合，∴P（0，0），∵E（﹣5，0），∴PE＝5，∴t＝5.②当CP＝CD时，∵CO⊥PD，∴CO垂直平分PD，∴PO＝OD＝3，∴P（﹣3，0），∵E（﹣5，0），∴PE＝2，∴t＝2.③当DC＝DP时，在Rt△COD中，DC＝＝3，∴DP＝3，∴OP＝3﹣3，∴EP＝OE﹣OP＝5﹣（3﹣3）＝8﹣3，∴t＝8﹣3.故答案为：5或2或8﹣3（3）①如图2﹣1，当点P运动至与四边形ABCD的CD边相切时，PC⊥CD，∵∠CDO＝45°，∴△CPD为等腰直角三角形，∵CO⊥PD，∴PO＝DO＝3，∴EP＝2，即t＝2；如图2﹣2，当点P运动到与点O重合时，∵PC为⊙P半径，且PC⊥BC，∴此时⊙P与四边形ABCD的BC边相切，∴t＝5.如图2﹣3，当点P运动至与四边形ABCD的AB边相切时，PA为⊙P半径，设PC＝PA＝r，在Rt△PCD中，OP＝OA﹣PA＝5﹣r，∵PC2＝OC2+OP2，∴r2＝32+（5﹣r）2，解得，r＝，∴t＝EP＝10﹣＝.∴当t的值为2或5或时，⊙P与四边形ABCD的一边相切.②如图2﹣1，当⊙P与四边形ABCD的CD边相切时，只有一个交点，此时t＝2，继续向右运动会有两个交点.如图2﹣2，当⊙P与四边形ABCD的CB边相切时，有C，D两个交点，此时t＝5，继续向右运动会有三个交点.如图2﹣3，当⊙P与四边形ABCD的AB边相切时，⊙P与四边形ABCD有三个交点，此时t＝，继续向右运动有三个交点.如图2﹣4，当点P运动至OA的中点时，⊙P与四边形ABCD有C，B两个交点，此时t＝，综上所述，答案为：2＜t＜5或t＝；5＜t＜．【点拨】本题考查等腰三角形的判定与性质、切线的性质及直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键.类型五、直线与圆相切时平移的距离举一反三：5.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离．【答案】1或5．【分析】平移分在y轴的左侧和y