新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题18 数列的通项公式和数列求和（含解析）

专题18数列的通项公式和数列求和【考纲要求】掌握数列求和的几种基本方法．【思维导图】【考点总结】一、倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．二、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．三、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．裂项相消求和经常用到下列拆项公式：(1)eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)；(2)eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))；(3)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)．【思维导图】【考点总结】一、分组求和法分组求和一般适用于两种形式：(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和；(2)通项公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．二、并项求和法一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．【题型汇编】题型一：倒序相加法数列的前n项和题型二：错位相减法数列的前n项和题型三：裂项相消法数列的前n项和题型四：分组并项法数列的前n项和题型五：数列求和的其他方法【题型讲解】题型一：倒序相加法数列的前n项和1．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【答案】4043【解析】【分析】根据题意，化简得到SKIPIF1<0，结合倒序相加法求和，即可求解.【详解】由题意，函数SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0两式相加，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.2．（2022·江西萍乡·二模（理））已知函数SKIPIF1<0，等差数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【解析】【分析】利用倒序相加法求得正确答案.【详解】SKIPIF1<0.依题意SKIPIF1<0是等差数列，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结合等差数列的性质，两式相加得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.3．（2022·四川遂宁·三模（文））德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对SKIPIF1<0的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数SKIPIF1<0，设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0使不等式SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0的取值范围是______.【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】根据题意先求SKIPIF1<0，然后利用倒序相加法求SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的最小值即可求得SKIPIF1<0的取值范围【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0）则当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0递增，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<04．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模（文））已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，设函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【解析】【分析】根据SKIPIF1<0可求SKIPIF1<0，从而可求SKIPIF1<0.易验证SKIPIF1<0，故可采用倒序相加法求题设式子的值．【详解】∵SKIPIF1<0①，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0②，①－②得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0仍然成立，∴SKIPIF1<0．∴当n=1时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当n=1时，上式也成立，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题关键是熟练掌握利用前n项和与通项公式的关系求得SKIPIF1<0，观察猜测并发现SKIPIF1<0为定值，从而利用倒序相加法即可求和．题型二：错位相减法数列的前n项和一、单选题1．（2022·广东·三模）在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数､公式和定理，如：欧拉函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（与3互素有1､2）；SKIPIF1<0（与9互素有1､2､4､5､7､8）.记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和，则SKIPIF1<0=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】根据欧拉函数定义得出SKIPIF1<0，然后由错位相减法求得和SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0．【详解】因为与SKIPIF1<0互素的数为1，2，4，5，7，8，10，11，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0SKIPIF1<0②，由①-②得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.于是SKIPIF1<0.故选：A．二、填空题1．（2022·山东聊城·二模）已知数列SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的和为______．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】分别取SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0时，满足SKIPIF1<0的项数，计算得出SKIPIF1<0，利用错位相减法可求得数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的和.【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，共SKIPIF1<0项，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，共SKIPIF1<0项，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，共SKIPIF1<0项，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，共SKIPIF1<0项，又因为SKIPIF1<0，所以，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，上述两个等式作差可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因此，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.2．（2022·陕西·安康市高新中学三模（文））已知SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前n项和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，且数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，则使SKIPIF1<0恒成立的实数SKIPIF1<0的取值范围是______．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】先求得数列SKIPIF1<0的通项公式，由此求得SKIPIF1<0，利用错位相减求和法求得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0分离常数SKIPIF1<0，从而求得SKIPIF1<0的取值范围.【详解】设SKIPIF1<0的公差为d，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故数列的通项公式为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，由①－②得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0恒成立，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<03．（2022·陕西·略阳县天津高级中学二模（理））已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列{SKIPIF1<0}的前9项和为______________．【答案】8149【解析】【分析】利用通项公式求出SKIPIF1<0，然后利用错位相减求和即可.【详解】由题可知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，2为公比的等比数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的前9项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前9项和为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，①-②得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案为：8149.三、解答题1．（2022·河北邯郸·二模）已知等比数列{SKIPIF1<0}的公比SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求数列{SKIPIF1<0}的通项公式；(2)设数列{SKIPIF1<0}的前n项和为SKIPIF1<0，求数列{SKIPIF1<0}的前n项和．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式进行求解即可；（2）利用错位相消法进行求解即可.(1)由SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0；(2)由（1）可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设数列{SKIPIF1<0}的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.2．（2022·河南许昌·三模（文））已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可求出SKIPIF1<0，从而得出SKIPIF1<0的通项公式，根据等比数列的定义可求出数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）根据错位相减法即可求出．(1)设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列，即SKIPIF1<0．(2)因为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②.①－②得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.3．（2022·江西·二模（文））已知等比数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0前n项和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）根据SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0通项，再验证SKIPIF1<0即可（2）先求出SKIPIF1<0的通项公式，再用错位相减求和法求SKIPIF1<0前n项和SKIPIF1<0即可(1)由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0相减得SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0也满足上式，∴SKIPIF1<0．(2)由SKIPIF1<0SKIPIF1<0

①SKIPIF1<0

②①-②得SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<04．（2022·广东·华南师大附中三模）已知等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式及前2n项和；(2)若SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前2n项和为SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）结合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0求得等差数列SKIPIF1<0的通项公式，即可得SKIPIF1<0的通项公式，利用分组求和的方法，根据等差数列和等比数列的前n项和公式求解即可；（2）由（1）可知SKIPIF1<0，利用错位相减法求解即可.(1)设等差数列SKIPIF1<0的公差为d，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(2)∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，相减得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.题型三：裂项相消法数列的前n项和一、单选题1．（2022·广西柳州·三模（理））我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，SKIPIF1<0．第二步：将数列的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，…，an．则a1a2＋a2a3＋…＋an-1an等于（

）A．n2 B．(n－1)2 C．n(n－1) D．n(n＋1)【答案】C【解析】【分析】由题意可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，再利用裂项相消求和法可求得结果【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：C．2．（2022·陕西·西安中学三模（文））数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的前10项之和为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】求出SKIPIF1<0的通项，利用裂项相消法可求前10项之和.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的前10项之和为SKIPIF1<0，故选：D.3．（2022·广东广州·三模）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前2022项和为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】由已知可得出SKIPIF1<0为等差数列，即可求出SKIPIF1<0，进而得出SKIPIF1<0，利用裂项相消法可求出.【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是一个首项为3，公差为1的等差数列，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A4．（2022·云南·二模（文））设等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】设等差数列的公差为SKIPIF1<0，进而得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，再根据裂项求和求解即可.【详解】解：设等差数列的公差为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：B5．（2022·黑龙江·哈尔滨三中二模（文））数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，n等于（

）A．98 B．99 C．100 D．101【答案】B【解析】【分析】根据累加法求出数列SKIPIF1<0的通项公式，再利用裂项相消法求出SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0即可求解.【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，此式也满足SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0的通项公式为：SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：B.二、解答题1．（2022·江西萍乡·三模（文））已知正项数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)令SKIPIF1<0，求证：数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见解析【解析】【分析】（1）利用SKIPIF1<0可证SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列；（2）整理SKIPIF1<0，利用裂项相消求和证明．(1)由题意：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两式相减得到SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.(2)由题意知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02．（2022·山东威海·三模）已知等比数列SKIPIF1<0的各项均为正值，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的等差中项，SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；(2)设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)证明见解析【解析】【分析】（1）设数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，根据题意可得出关于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方程组，解出这两个量的值，即可求得数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；（2）求得SKIPIF1<0，利用裂项相消法可证得结论成立.(1)解：设数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由题意知SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(2)证明：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））等比数列SKIPIF1<0中，首项SKIPIF1<0，前n项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）设数列SKIPIF1<0公比为q，根据通项公式列式求出SKIPIF1<0，即可得解；（2）根据SKIPIF1<0进行裂项求和可求出结果.(1)设数列SKIPIF1<0公比为q，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.3．（2022·宁夏石嘴山·一模（文））已知SKIPIF1<0为等比数列，前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通项公式及前n项和SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前100项和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）设公比为SKIPIF1<0，依题意根据等比数列通项公式得到方程求出SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，利用裂项相消法求和即可；(1)解：设公比为SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；SKIPIF1<0(2)解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.4．（2022·内蒙古通辽·二模（理））已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0为等比数列.(2)若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）由SKIPIF1<0可求得SKIPIF1<0的值，令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，两式作差可推导出数列SKIPIF1<0为等比数列；（2）求出SKIPIF1<0，利用裂项相消法可求得SKIPIF1<0.(1)证明：因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，所以，SKIPIF1<0.(2)解：由（1）知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.题型四：分组并项法数列的前n项和一、单选题1．（2022·广东·华南师大附中三模）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．351 B．353 C．531 D．533【答案】B【解析】【分析】根据题意讨论SKIPIF1<0的奇偶，当SKIPIF1<0为奇数时，可得SKIPIF1<0，按等差数列理解处理，当SKIPIF1<0为偶数时，可得SKIPIF1<0，按并项求和理解出来，则SKIPIF1<0按奇偶分组求和分别理解处理．【详解】依题意，SKIPIF1<0，显然，当n为奇数时有SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为1，公差为3的等差数列，故SKIPIF1<0；当n为偶数时有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，于是，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：B．2．（2022·四川·仁寿一中二模（理））数列{SKIPIF1<0}中，SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】利用数列通项公式求和，然后可得答案.【详解】解：由题意得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：C3．（2022·福建漳州·二模）已知SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前n项和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．171 B．278 C．351 D．395【答案】C【解析】【分析】通过SKIPIF1<0得出数列SKIPIF1<0隔两项取出的数是等差数列，按照等差数列求和和分组求和计算得出答案.【详解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是首项为1，公差为2的等差数列，SKIPIF1<0是首项为2，公差为2的等差数列，SKIPIF1<0是首项为3，公差为2的等差数列，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：C.4．（2022·陕西·西安中学二模（理））已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】将递推公式变形，可得数列相邻奇数项和相邻偶数项的和的通项公式，再求前40项的和.【详解】由题意可得，SKIPIF1<0，两式相减得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相加得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：A【点睛】关键点点睛：将两式相减得相邻奇数项的和，将第一个式子中的SKIPIF1<0换成SKIPIF1<0，再与第二个式子相加，得相邻偶数项的和，最后再计算前40项的和.二、解答题1．（2022·上海松江·二模）在等差数列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)若数列SKIPIF1<0是首项为1，公比为3的等比数列，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）通过基本量列方程组求解可得；（2）先求SKIPIF1<0通项，结合（1）可得SKIPIF1<0通项，然后分组求和可得.(1)设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；(2)∵数列SKIPIF1<0是首项为1，公比为3的等比数列，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．2．（2022·广东韶关·二模）已知数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)证明：SKIPIF1<0(2)设SKIPIF1<0求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）根据SKIPIF1<0与前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0的关系，SKIPIF1<0即可证明结果；（2）由（1），对SKIPIF1<0分奇数和偶数两种情况讨论，可得SKIPIF1<0，由此可得SKIPIF1<0，再根据分组求和即可求出结果.(1)解：由题可知SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0，将其与SKIPIF1<0两式相减得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，上式也成立，综上，SKIPIF1<0.(2)解：当n为大于1的奇数时，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0累加得SKIPIF1<0又SKIPIF1<0满足上式，所以n为奇数时SKIPIF1<0；当n为大于2的偶数时，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0累加得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足上式，又SKIPIF1<0，综上可知SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.3．（2022·重庆·二模）设SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）根据SKIPIF1<0求解SKIPIF1<0的通项，根据SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0为等比数列，求解计算即可；（2）根据通项采用分组求和即可.(1)由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①，得：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（负值舍去），当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0②，SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以3为首项，2为公差的等差数列.所以SKIPIF1<0.因为数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以数列SKIPIF1<0是等比数列，首项为2，公比为2.所以SKIPIF1<0.(2)因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.4．（2022·陕西宝鸡·三模（文））已知数列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.记SKIPIF1<0(1)求证：数列SKIPIF1<0是等比数列；(2)若数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和.【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）由递推公式代入可得SKIPIF1<0，即可证明SKIPIF1<0是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）先求出SKIPIF1<0，再由分组求和法求出数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和.(1)证明：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以2为首项，2为公比的等比数列.(2)由（1）知，SKIPIF1<0，令数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0.题型五：数列求和的其他方法一、单选题1．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学三模（文））已知数列SKIPIF1<0的前n项之和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．61 B．65 C．67 D．68【答案】C【解析】【分析】首先运用SKIPIF1<0求出通项SKIPIF1<0，判断正负情况，再运用SKIPIF1<0即可得到答案．【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，据通项公式得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故选C．【点睛】本题主要考查数列的通项与前n项和之间的关系式，注意SKIPIF1<0的情况，是一道基础题．二、多选题1．（2022·重庆·三模）数列SKIPIF1<0依次为：1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，其中第一项为SKIPIF1<0，接下来三项均为SKIPIF1<0，再接下来五项均为SKIPIF1<0，依此类推.记SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．存在正整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．数列SKIPIF1<0是递减数列【答案】ACD【解析】【分析】根据数列的规律即可求出SKIPIF1<0，即可判断A选项；求出数列的通项公式，做差法推出矛盾即可说明B选项；求出数列的前n项和公式，做差法即可说明C选项；根据数列单调性的概念，比较SKIPIF1<0即可判断D选项.【详解】A：由数列可知SKIPIF1<0占了数列的SKIPIF1<0项，且相对应的SKIPIF1<0项的和为1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故A正确；B：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0矛盾，故B错误；C：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，综上：SKIPIF1<0，故C正确；D：因为SKIP