人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题4.9 函数的应用（二）-重难点题型精讲（原卷版）

专题4.9函数的应用（二）-重难点题型精讲1．函数的零点(1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.(2)函数的零点与方程的解的关系函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.(3)几种常见函数的零点①二次函数的零点

一元二次方程SKIPIF1<0+bx+c=0(a≠0)的实数根也称为函数y=SKIPIF1<0+bx+c(a≠0)的零点.②正比例函数y=kx(k≠0)仅有一个零点0.

③一次函数y=kx+b(k≠0)仅有一个零点SKIPIF1<0.

④反比例函数y=SKIPIF1<0(k≠0)没有零点.

⑤指数函数y=(a>0,且a≠1)没有零点.

⑥对数函数y=SKIPIF1<0(a>0,且a≠1)仅有一个零点1.

⑦幂函数y=,当a>0时,仅有一个零点0;当a≤0时,没有零点.2．函数零点存在定理(1)函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解.(2)函数零点存在定理的几何意义：在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点.3．二分法(1)二分法的定义：

对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)区间的中点：一般地，我们把x=SKIPIF1<0称为区间(a,b)的中点.

(3)用二分法求方程的近似解：

用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在要求的区间内，即用区间中点SKIPIF1<0将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,SKIPIF1<0)和(SKIPIF1<0,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f(SKIPIF1<0)>0，我们便知区间(a,SKIPIF1<0)包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内.(4)用二分法求函数零点的近似值的步骤

给定精确度SKIPIF1<0，用二分法求函数y=f(x)零点SKIPIF1<0的近似值的一般步骤如下：

1.确定零点SKIPIF1<0的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0.

2.求区间(a,b)的中点c.

3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：

(1)若f(c)=0(此时SKIPIF1<0=c)，则c就是函数的零点；

(2)若f(a)f(c)<0(此时SKIPIF1<0∈(a,c))，则令b=c；

(3)若f(c)f(b)<0(此时SKIPIF1<0∈(c,b))，则令a=c.

4.判断是否达到精确度SKIPIF1<0：若|a-b|<SKIPIF1<0，则得到零点近似值a(或b)；

​​​​​​​否则重复步骤2~4.【题型1求函数的零点】【方法点拨】(1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)=0，它的实数根就是函数y=f(x)的零点.(2)几何法或性质法：若方程f(x)=0的解不易求出，可以根据函数y=f(x)的性质及图象求出零点.例如，已知f(x)是定义在R上的减函数，且f(x)为奇函数，求f(x)的零点；因为f(x)是奇函数，那么由奇函数的性质可知f(0)=0，因为f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)=0，从而y=f(x)的零点是0.【例1】（2022·全国·高一课时练习）函数fx=log3A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）【变式1-1】（2022·全国·高一课时练习）若32是函数fx=2x2A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）【变式1-2】（2022·河北·高一开学考试）函数y=x2−4x+3A．（1，0） B．（1，3）C．1和3 D．（1，0）和（3，0）【变式1-3】（2021·全国·高一课时练习）函数f(x)的零点与函数g(x)=4x+2x−2的零点之差的绝对值不超过0.25A．f(x)=4x−1 B．f(x)=C．f(x)=4x−1【题型2函数零点存在定理的应用】【方法点拨】确定函数的零点(方程的根)所在的区间时，通常利用函数零点存在定理将问题转化为判断区间的两个端点对应的函数值是否异号.【例2】（2022·内蒙古·高一阶段练习（文））函数fx=6A．0，1 B．1，2【变式2-1】（2022·全国·模拟预测（文））函数f(x)=2x+3xA．0 B．1 C．2 D．3【变式2-2】（2022·天津·模拟预测）函数y=lnx−2A．(1eC．(2,e)【变式2-3】（2022·河南·高二期末（理））若函数f(x)=−x2+(k−1)x+1−k在区间(−1,0)和(0,2)上各有一个零点，则实数kA．12,1 B．1,32【题型3利用图象交点来处理函数零点（方程的根）问题】【方法点拨】函数零点问题可看成与函数图象有关的问题的行生与升华，研究此类问题除二分法外，多采用数形结合法，把方程的根的问题转化为两函数图象的交点问题，解题时要准确把握各类函数的性质，画出函数简图，准确找到交点所在的位置.【例3】（2022·江西·高三阶段练习（文））函数f(x)=lnx−xA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式3-1】（2022·四川·高二阶段练习（文））已知函数fx=e−x+3,x≤0lnx,x>0A．24,25 B．24,25 C．21,25 D．21,25【变式3-2】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数fx=2x,0⩽x⩽1,ln−x,x<0,若关于A．[2,4] B．(22,4] C．[2,3]【变式3-3】（2022·江苏·高三阶段练习）已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+1)是偶函数，当0≤x≤1时，f(x)=−log2(x+1)．若关于x的方程f(x)+f(xA．16,15 B．1【题型4用二分法确定函数零点（方程的根）所在的区间】【方法点拨】根据二分法的步骤进行求解，即可确定.【例4】（2021·全国·高一课前预习）方程x3−2x2+3x−6=0A．−2,1上 B．52,4上 C．1,7【变式4-1】（2021·四川省高一阶段练习）用二分法求函数f(x)=x+lgx−2的零点，可以取的初始区间是（A．(0,1) B．(1,2)【变式4-2】（2022·新疆昌吉·高一期末）在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，若第一次所取区间为[−2,6]，则第三次所取区间可能是（

）A．[−2,−1] B．[−1,1] C．[2,4] D．[5,6]【变式4-3】（2021·湖北·高一阶段练习）在用二分法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0，则方程的根落在区间（

）A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能确定【题型5用二分法求方程的近似解】【方法点拨】由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解，即对于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化为求形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数F(x)零点近似值的步骤求解.【例5】（2022·全国·高一课时练习）若函数fx=xx11.51.251.3751.3125f－10.875－0.29690.2246－0.05151则方程x3−x−1=0的一个近似根（误差不超过0.05）为（A．1.375 B．1.34375 C．1.3125 D．1.25【变式5-1】（2022·全国·高一课时练习）若函数f(x)=x3+x2f(1)=−2f(1.5)=0.625f(1.25)≈−0.984f(1.375)≈−0.260f(1.4375)≈0.162A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【变式5-2】（2021·广东·高一阶段练习）若函数fx=x3+ffffffA．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）函数f(x)的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：f1=−2

ff1.375=−0.260

f那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（

）A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44【题型6用二分法求函数的近似值】【方法点拨】用二分法求函数零点的近似值的步骤往往比较烦琐，一般借助表格，利用表格可以清晰地表示逐步缩小零点所在区间的过程，有时也利用数轴来表示这一过程.【例6】（2022·陕西·模拟预测（理））某同学用二分法求函数fx=2x+3x−7的零点时，计算出如下结果：fA．1.4065是满足精度为0.01的近似值.B．1.375是满足精度为0.1的近似值C．1.4375是满足精度为0.01的近似值D．1.25是满足精度为0.1的近似值【变式6-1】（2022·全国·高一课时练习）用二分法研究函数fx=x5+8x3A．0,0.5，f0.125 B．0,0.5，C．0.5,1，f0.75 D．0,0