人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题2.3 基本不等式-重难点题型精讲（原卷版）

专题2.3基本不等式-重难点题型精讲1.两个不等式eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，eq\r(ab)≠eq\f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2).2．基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．【题型1对基本不等式的理解】【方法点拨】(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：①当a＝b时，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等号成立，即a＝b⇒eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；②仅当a＝b时，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等号成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)⇒a＝b.【例1】（2022春•肥东县月考）对于不等式①4+6＞25，②x+1x≥2A．①③正确，②错误 B．②③正确，①错误 C．①②错误，③正确 D．①③错误，②正确【变式1-1】（2022•上海）若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（）A．a+b＞2ab B．a+b＜2ab C．a2+2b＞2ab D．a2+2【变式1-2】（2022春•汤原县期末）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则（）A．ab≥1 B．a+b≥2 C．a2+b2≥2 【变式1-3】（2021秋•宿州期末）已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，则下列选项错误的是（）A．0＜b＜12C．ab的最大值是18 D．a2+b2的最小值是【题型2利用基本不等式证明不等式】【方法点拨】(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到．(3)解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式．【例2】（2021秋•上饶期末）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，求证：(1+1【变式2-1】（2022•甘肃模拟）已知a，b∈R+，设x=ab，y=（1）xy≥ab；（2）x+y≤a+b．【变式2-2】（2021秋•桂林月考）已知a＞0，b＞0．（1）若1a+9b=1，求证：a+（2）求证：a+b+1≥ab【变式2-3】（2022•黄州区校级模拟）设a，b，c＞0，且ab+bc+ca＝1，求证：（1）a+b+c≥3（2）abc+b【题型3利用基本不等式求最值（无条件）】【方法点拨】(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同．【例3】（2022春•漳州期末）已知a＞1，则a+4A．5 B．6 C．32 D．【变式3-1】（2022春•甘孜州期末）y=x+4x(x≥1)A．2 B．3 C．4 D．5【变式3-2】（2022•怀仁市校级二模）函数y=3x+4A．8 B．7 C．6 D．5【变式3-3】（2022•香坊区校级模拟）若a＞0，b＞0，求baA．2 B．2 C．22 D．【题型4利用基本不等式求最值（有条件）】【例4】（2022秋•凉州区校级月考）已知a，b为正实数且a+b＝2，则baA．32 B．2+1 C．52 【变式4-1】（2022秋•广东月考）若正实数y满足2x+y＝9，则−1A．6+429 B．−6+429 C．【变式4-2】（2022秋•浙江月考）已知正实数x，y满足1x+4y+4=x+yA．13−2 B．2 C．2+13 D【变式4-3】（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足a+b＝4，则(a+1A．22+2 B．4 C．254 【题型5利用基本不等式求参数】【例5】（2022春•爱民区校级期末）已知x＞0，y＞0且1x+4y=1，若x+y＞m2A．[9，+∞） B．（﹣∞，﹣3] C．[1+∞） D．（﹣9，1）【变式5-1】（2021秋•怀仁市校级期末）已知x＞0、y＞0，且2x+1y=1，若2x+y＜m2﹣A．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞） B．（﹣9，1） C．[﹣9，1] D．（﹣1，9）【变式5-2】（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足1a+1b=m，若(a+A．{2} B．[2，+∞） C．（0，2] D．（0，+∞）【变式5-3】（2021秋•武清区校级月考）设x＞0，y＞0，设2x+3y=1，若3x+2y＞m2A．{x|x≤﹣6或x≥4} B．{x|x≤﹣4或x≥6} C．{x|﹣6＜x＜4} D．{x|﹣4＜x＜6}【题型6利用基本不等式解决实际问题】【方法点拨】解决实际问题时，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．【例6】（2021秋•阳春市校级月考）用一段长为32m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？【变式6-1】（2021秋•凉州区期末）如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为x，宽为y．（1）若菜园面积为72，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为30，求1x【变式6-2】（2021秋•黄浦区校级期中）迎进博会，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm2，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm．（1）试用栏目高acm与宽bcm（a＞0，b＞0）表示整个矩形广告面积Scm2；（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能