专题14 直角三角形中的分类讨论模型（解析版）

专题14直角三角形中的分类讨论模型模型1、直角三角形中的分类讨论模型【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）即：如图：已知，两点是定点，找一点构成方法：两线一圆具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）。③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外）。例1．（2023春·江苏·八年级假期作业）若三角形的三边长是6，8，，当的值为时，该三角形是直角三角形.【答案】100或28【分析】三角形是直角三角形，这里给出三边的长，只要用两小边的平方和等于最长边的平方即可求解，所以要分情况讨论，当最长边为8时，和最长边不是8时，再根据勾股定理进行计算.【详解】①最长边为8时，82-62=，则=28；②最长边不是8时，82+62=，则=100.【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是分情况讨论最长边.例2．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则．

【答案】50或25/25或50【分析】根据三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，当为直角三角形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】解：∵，∴∵平分∴当为直角三角形时，有以下两种情况：①当时，如图1，

∵，∴；②当时，如图2，

∴，∵，∴，综上，的度数为或．故答案为：50或25．【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，熟知“三角形的外角的性质”是解答此题的关键．例3．（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．【详解】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．∵，，∴，，，∴，，都是等腰直角三角形，故共有3个点，故选C．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．例4．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，已知，以为一边在外部作等腰直角．则点的坐标为．

【答案】或或【分析】分三种情形讨论求解即可．当时，作轴于，由，推出，可得点坐标，同法可得，当，，，当是等腰直角三角形的斜边时，是的中点，．【详解】解：如图，当时，作轴于，

∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，同法可得，当，当是等腰直角三角形的斜边时，是的中点，，综上所述，满足条件的点的坐标为或或．故答案为：或或．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、中点坐标公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．例5．（2023春·广东·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为．【答案】或或1【分析】利用分类讨论，当∠ABP=90°时，如图2，由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP的长，利用勾股定理可得AP的长；当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO，易得△BOP为等边三角形，利用勾股定理可得AP的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论．【详解】当∠ABP=90°时（如图2），∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴OP=2OB=2，∴BP=，在直角三角形ABP中，AP=；当∠APB=90°时，分两种情况，情况一，（如图1），∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∴BP=OB=1，∵AB=BC=2，∴AP=；情况二，如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，∵∠AOC=60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP=AO=1，故答案为：或或1．．【点睛】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的判定及性质，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．例6.（2023春·山东东营·八年级校考阶段练习）如图，长方形中，，，点为射线上的一个动点，若与关于直线对称，若为直角三角形，则的长为．【答案】2或18【分析】分点在线段上，点在线段的延长线上两种情况讨论，由题意可得，，，，根据勾股定理和全等三角形的性质，可求的长．【详解】解：若点在线段上，若与△关于直线对称，，，，△为直角三角形，，，，，，点，点，点共线，在中，．，，若点在线段的延长线上，且点在上，若与△关于直线对称，，，在△中，，，，，且，，△，，，故答案为：2或18．【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键例7.（2023春·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是．【答案】或/5或2【分析】当时，先求出及的长，再在中利用勾股定理求出；当时，作，证明出为等腰直角三角形即可求出即可．【详解】解：当时，如图，

，，，，，由折叠得，，，设，，在中，，，即；当时，如图，作，

，，，，，．故答案为：5或2．【点睛】本题考查了轴对称的性质，勾股定理的应用及等腰直角三角形的性质，掌握勾股定理是解题关键．例8．（2023秋·广东·八年级专题练习）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当s时，是等腰三角形；当s时，是直角三角形．【答案】或54或10【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可．【详解】解：如图，当时，是等腰三角形，，，当时，，解得；如图，当时，是等腰三角形，，，当时，，解得；如图，当时，是直角三角形，且，，，当时，，解得；如图，当时，是直角三角形，且，，，当时，，解得：t=10．故答案为：或5；4或10．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．例9．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）在中，，是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点的对应点为点．

(1)如图1，若点恰好落在边上，判断的形状，并证明；(2)如图2，若点落在内，且的延长线恰好经过点，，求的度数；(3)若，当是直角三角形时，直接写出的长．【答案】(1)是等边三角形；见解析(2)；(3)的长是或【分析】（1）根据平行线的性质即可求出相等的角，再根据等边三角形的判定即可得到结论；（2）根据折叠的性质可知角相等，再根据三角形的内角和定理即可得到结果；（3）根据题意分两种情况，再根据图形以及折叠的性质得到的长度．【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下：∵，∴，由折叠可得，∴，∴，∴是等边三角形；（2）解：由折叠可得，∵，∴，∵，∴，设，则，在中，，即，解得，∴；（3）解：的长是或，理由如下：当时，点在内（如图所示）

∵，∴，∴由折叠得，∴，∴，∴；当时，点在外，同理可得，∴．【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，平行线的性质，根据题意画出图形是解题的关键．例10．（2023秋·江苏盐城·八年级统考期末）如图，已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B．(1)求直线的函数表达式和点B的坐标；(2)求的面积；(3)在x轴上是否存在点C，使得是直角三角形？若存在，求出点C的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)(3)或【分析】（1）利用待定系数求出直线的函数表达式，再联立直线，的函数表达式，可得点B的坐标；（2）根据，即可求解；（3）根据题意可得当是直角三角形时，需分和两种情况，即可求解．【详解】（1）解：设直线的函数表达式为．∵图象经过点，，∴，解得，∴直线的函数表达式为．联立，解得，∴点B的坐标为；（2）解：∵，∴；（3）解：∵点C在x轴上，∴，∴当是直角三角形时，需分和两种情况．①当时，点C在图中的位置：∵点A和点均在x轴上，∴轴．∵，∴；②当时，点C在图中的位置：设∵，∴，∴．在中，，在中，，∴，即，解得，∴．综上可知，在x轴上存在点C，使得是直角三角形，点C的坐标为或．【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，勾股定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题关键．例11．（2022秋·江苏连云港·八年级校考阶段练习）（1）【模型建立】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA；（2）【模型应用】①已知直线l1：y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕着点A逆时针旋转45°至直线l2，如图2，求直线l2的函数表达式；②如图3，在平面直角坐标系中，点B（8，6），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线y＝2x﹣6上的动点且在第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请直接写出此时点Q的坐标，若不能，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①；②或．【分析】（1）：利用角的数量关系可求得，，然后根据AAS即可证明结论；（2）①：过点B作交于C，过C作轴于D，由（1）同理可得，利用全等三角形的性质求出C的坐标，再利用待定系数法求的解析式即可；②：设点，由第一题同理可得：，利用全等三角形的性质建立关系式求解即可．【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，∴，．又∵，，∴，又∵，∴．在和中，，，，∴；（2）①：过点B作交于C，过C作轴于D，∵，∴为等腰，由（1）同理可证：，∴，，∵，令，则，∴，令，则，∴，∴，，∴．∴，设直线的解析式为，将点，代入中，得解得，，，则的解析式：；②：如下图，设点，当时，由（1）同理可证：，∴，即，解得：或，故：或．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、待定系数法求一次函数解析式等知识点，灵活运用全等三角形的性质是解题的关键．课后专项训练1．（2023春·山东淄博·八年级统考期末）如图，中，，，，，若动点以的速度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当是直角三角形时，的值为（

）

A．2 B．2或7 C．2或5 D．2或5或7【答案】D【分析】由条件可求得，再求出点从点运动到点所需的时间为6秒，然后根据和两种情况，根据当为直角三角形时，只有或，利用含角的直角三角形的性质求解即可得．【详解】解：在中，，，，，∴，∵点以的速度从点出发，沿着的方向运动，点从点运动到点所需的时间为秒，则分以下两种情况：①当时，，，当时，∵，∴，∴，即，解得，符合题设；当时，∵，∴，∴，即，解得，符合题设；②当时，，当时，∵，∴，∴，即，解得，不符合题设，舍去；当时，∵，∴，∴，即，解得，符合题设；综上，的值为2或5或7，故选：D．【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，正确分情况讨论是解题关键．2．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=2，AO=BO，P是直线CO上的一个动点，∠AOC=60°，当△PAB是以BP为直角边的直角三角形时，AP的长为（

）A．,1,2 B．,,2 C．,,1 D．，2【答案】C【分析】利用分类讨论，分当∠ABP=90°时和当∠APB=90°时两种情况讨论即可．【详解】当∠APB=90°时,情况一：（如图），∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∴BP=1，在Rt△APB中，AP=；情况二：如图2，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，∵∠AOC=60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP=AO=1；当∠ABP=90°时（如图3），∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴OP=2OA=2，∴BP=，在直角三角形ABP中，AP=；故选C．【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．3．（2023秋·山东·八年级专题练习）如图，已知，点是射线上一动点，当为直角三角形时，．

【答案】或【分析】分当时，当时，两种情况讨论求解即可．【详解】解：当时，满足为直角三角形；当时，∵，∴；综上所述，的度数为或故答案为：或【点睛】题考查了直角三角形的两锐角互余，分类讨论是解题的关键．5．（2023春·广东八年级课时练习）如图，等边三角形中，，于点D，点E、F分别是、上的动点，沿所在直线折叠，使点C落在上的点处，当是直角三角形时，的值为．【答案】或【分析】由等边三角形的性质可得，由是直角三角形，分两种情况讨论，由含的直角三角形的性质可求的长．【详解】解：∵是等边三角形，，∴，，由折叠可得，分两种情况：①若，∵，∴，则：，又∵∴，∴，∴，②若，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，综上所述，的值为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，折叠的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．6．（2023春·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点P，Q分别是边AB，BC上的一个动点，点P从以每秒3个单位长度的速度运动，同时点Q从以每秒1个单位长度的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t秒，若为直角三角形，则t的值为．【答案】或或【分析】先利用直角三角形的性质可得，，再根据点P，Q的运动路径和速度求出的取值范围为，然后分和两种情况，分别利用直角三角形的性质求解即可得出答案．【详解】解：在中，，，，，，点从点运动到点所需时间为（秒），最后返回到点所需时间为（秒）；点从点运动到点所需时间为（秒），当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，，由题意，分以下两种情况：（1）如图，当时，为直角三角形，①当时，，，，，在中，，即，解得，符合题设；②当时，，在中，，即，解得，不符题设，舍去；（2）如图，当时，为直角三角形，①当时，，，，，在中，，即，解得，符合题设；②当时，，在中，，即，解得，符合题设；综上，的值是或或，故答案为：或或．【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识点，正确判断出的取值范围，并分情况讨论是解题关键．7．（2023春·湖北襄阳·八年级统考开学考试）如图，在中，，，，，点是边上一动点．连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，长度是．

【答案】或【分析】分两种情况：当时，可证得是等边三角形，得出，再由，即可求得；当时，利用直角三角形性质可得，再由，即可求得．【详解】解：，，，，，由折叠得：，，当时，，，是等边三角形，，；当时，，在中，，，；综上所述，的长度为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，折叠变换的性质等，熟练掌握“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”是解题关键．8．（2023秋·云南昆明·八年级统考期末）如图，在等边三角形ABC中，．如果点M，N都以的速度运动，点在线段上由点向点运动，点在线段上由点向点运动，它们同时出发，当两点运动时间为秒时，是一个直角三角形，则秒．

【答案】或【分析】分、两种情况，根据直角三角形的性质列式计算，得到答案．【详解】解：由题意得，，，则，当时，，，，即，解得，，当时，，即，解得，，综上所述，当或时，是一个直角三角形，故答案为：或．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质，掌握直角三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．9．（2022春·江苏苏州·八年级校考期末）如图，中，，，cm，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当是直角三角形时，的值为．【答案】2或3.5或4.5或6【分析】先求出AB的长，再分①∠BDE＝90°时，DE是△ABC的中位线，然后求出AE的长度，再分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可；②∠BED＝90°时，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求出BE，然后分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可．【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm,∴，AB＝2BC＝4（cm），①∠BDE＝90°时，∵，∴，∴∴AE＝（cm），点E在AB上时，t＝2÷1＝2（秒），点E在BA上时，点E运动的路程为4×2−2＝6（cm），∴t＝6÷1＝6（秒）；②∠BED＝90°时，BE＝＝0.5（cm），点E在AB上时，t＝（4−0.5）÷1＝3.5（秒），点E在BA上时，点E运动的路程为4＋0.5＝4.5（cm），t＝4.5÷1＝4.5（秒），∵综上所述，t的值为2或3.5或4.5或6，故答案为：2或3.5或4.5或6．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是分情况讨论．10．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，点D是BC边上的一点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，使点C落在点E处，当△BDE是直角三角形时，∠CAD的度数为．【答案】或【分析】分两种情况：当点在上时，有直角三角形的性质可得，当时，即在外时，由折叠可得：，，，平分，即．【详解】解：分两种情况：如图，①当时，点在上时，②当时，即在外时，如图，由折叠可得：，，，平分，，不可能为直角．故答案为或．【点睛】本题考查折叠的性质，解本题要注意分类讨论．熟练掌握折叠的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和等基本知识点．11．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，现将BC延长到点D，使△ABD为等腰三角形，则CD的长为．【答案】4，6或【分析】由题意分AD=BD、AB=BD、AB=AD这三种情况进行讨论求解即可.【详解】解：如图，当AD=BD时，∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，∴,设，由，可得，解得：，即；如图，当AB=BD时，∵AB=BD，∴;如图，当AB=AD时，∵AB=BD，∠C=90°，∴；综上可得CD的长为4，6或.故答案为：4，6或．【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握利用方程根据勾股定理建立方程求解以及进行全面思考、分类讨论是解题的关键.12．（2023春·江苏·八年级期末）在中，，，的角平分线BD交AC于D，E为线段AB上的动点，当是直角三角形时，的度数是．（写出所有的正确结果）【答案】69°或11°【分析】分情况讨论，当∠AED=90°时，利用直角三角形两锐角互余即可求出的度数；当∠ADE=90°时，通过三角形内角和求出∠ADB的度数，然后减去∠ADE即可求出答案．【详解】∵，，∴∠A=180°-80°-42°=58°，当是直角三角形时，如图，当∠AED=90°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBE=∠ABC=，∴∠BDE=90°-21°=69°；如图，当∠ADE=90°时，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABC=，∴∠ADB=∠DBC+∠C=21°+80°=101°，∴∠BDE=∠ADB-∠ADE=101°-90°=11°，故答案为：69°或11°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义和三角形外角的性质，解题的关键是根据题意画出图形注意分情况讨论．13．（2023秋·重庆·八年级课堂例题）已知点A和点，以点A和点为两个顶点作等腰直角三角形，一共可以作出个．【答案】6【分析】根据等腰直角三角形的性质，分点是直角边和斜边两种情况作出图形即可得解．【详解】解：如图，以点和点为两个顶点作等腰直角三角形，

一共可作出6个．故答案为：6【点睛】本题考查了等腰直角三角形，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．14．（2023·江苏兴化·八年级期中）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D、E在边BC所在的直线上，且AB=DB，AC=EC，则∠DAE的度数为________．【答案】45°或135°【分析】分四种情况：若点D、E在线段BC上时；若点D在线段BC上，点E在BC的延长线上时；若点D在CB的延长线上点E在BC的延长线上时；若点D在CB的延长线上，点E在线段BC上时讨论，即可求解．【详解】解：如图，若点D、E在线段BC上时，∵AB=DB，AC=EC，∴∠BAD=∠ADB，∠CAE=∠AEC，∴∠BAE+∠DAE=∠CAD+∠C，∠CAD+∠DAE=∠BAE+∠B，∴∠BAE+∠CAD+2∠DAE=∠CAD+∠BAE+∠B+∠C，∴2∠DAE=∠B+∠C，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠DAE=45°；如图，若点D在线段BC上，点E在BC的延长线上时，∵AC=EC，∴可设∠E=∠CAE=x，∴∠ACB=∠E+∠CAE=2x，∵∠BAC=90°，∴∠B=90°-∠ACB=90°-2x，∵AB=DB，∴，∵∠ADB=∠DAE+∠E，∴∠DAE=45°；如图，若点D在CB的延长线上，点E在BC的延长线上时，∵AC=EC，∴∠E=∠CAE，∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠CAE，∵AB=DB，∴∠D=∠BAD，∴∠ABC=∠D+∠BAD=2∠BAD，∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∴2∠CAE+2∠BAD=90°，∴∠CAE+∠BAD=45°，∴∠DAE=∠CAE+∠BAD+∠BAC=135°；如图，若点D在CB的延长线上，点E在线段BC上时，∵AB=DB，∴可设∠D=∠BAD=y，∴∠ABC=∠D+∠BAD=2y，∴∠ABC=2y，∵∠BAC=90°，∴∠C=90°-2y，∵AC=EC，∴∠AEC=∠CAE=，∵∠AEC=∠D+∠DAE，∴∠DAE=45°综上所述，∠DAE的度数为45°或135°．故答案为：45°或135°【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，利用分类讨论思想解答是解题的关键．15．（2022·广东·八年级课时练习）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形．【答案】

或5

4或10【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可．【详解】解：如图，当时，是等腰三角形，，，当时，，解得；如图，当时，是等腰三角形，，，当时，，解得；如图，当时，是直角三角形，且，，，当时，，解得；如图，当时，是直角三角形，且，，，当时，，解得：t=10．故答案为：或5；4或10．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．16．（2022·浙江·义乌市八年级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝_______．【答案】1或【分析】根据题意分三种情形：①∠PCB′＝90°，②∠CPB′＝90°，进而利用勾股定理构建方程求解即可，③反证法证明的情形不成立．【详解】解：①如图1中，当∠PCB′＝90°时，设PB＝PB′＝x．∵AC＝3，CB＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝5，由翻折的性质可知，AB＝AB′＝5，在Rt△PCB′中，PC2+CB′2＝PB′2，∴（4﹣x）2+22＝x2，∴x＝，∴PB＝．②如图2中，当∠CPB′＝90°，设PB＝y．过点A作AT⊥B′P交B′P的延长线于点T，则四边形ACPT是矩形，∴PT＝AC＝3，AT＝CP＝4﹣y，在Rt△ATB′中，AB′2＝AT2+B′T2，∴52＝（4﹣y）2+（y+3）2，解得y＝1或0（0舍弃），∴PB＝1，③若，如图点C与C′是关于直线AP的对称点，连接由题意可得若，根据对称性可得,根据平行线之间的距离相等，若，则到的距离等于4而不平行假设不成立综上所述，PB的值为：1或．【点睛】本题考查翻折变换以及勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．17．（2022·河北承德·八年级期末）如图，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，嘉琪在研究过程中发现，随着点Р运动，形状在发生变化，设点P的运动时间为t秒．（1）当是直角三角形时，t的值为______；（2）当是钝角三角形时，t满足的条件是__________．【答案】

和6

或【分析】（1）分两种情况讨论：当∠APB=90°时；当∠BAP=90°时，结合直角三角形的性质，即可求解；（2）由（1）得，当时，∠APB＞90°；当时，∠BAP＞90°，即可求解．【详解】解：（1）如图，当∠APB=90°时，∵，∴∠BAP=30°，∴AB=2BP，∵，∴，此时；如图，当∠BAP=90°时，∵，∴∠BPA=30°，∴BP=2AB=6，此时t=6；综上所述，t的值为和6；故答案为：和6；（2）由（1）得，当时，∠APB＞90°；当时，∠BAP＞90°；∴当是钝角三角形时，t满足的条件是或．故答案为：或【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．18．（2023·江苏无锡·八年级校考期中）已知：如图1，射线MN⊥AB，AM＝1cm，MB＝4cm．点C从M出发以2cm/s的速度沿射线MN运动，设点C的运动时间为t（s）（1）当△ABC为等腰三角形时，求t的值；（2）当△ABC为直角三角形时，求t的值；（3）当t满足条件：__________时，△ABC为钝角三角形；当_________时，△ABC为锐角三角形．【答案】（1）t=或t=；（2）t=1；（3）0＜t＜1；t＞1【分析】试题分析：（1）当△ABC为等腰三角形时，分三种情况讨论，t值可以用勾股定理建立等量关系求出；（2）当△ABC为直角三角形时，由题意可得，有一种情况：∠ACB＝90°，利用勾股定理求出t值；（3）利用勾股定理可证出锐角三角形三边关系是两边平方和大于第三边平方，钝角三角形三边关系是两短边平方和小于钝角所对边的平方．建立不等关系式，求出t的取值范围．【详解】试题解析：由题意可得：CM=2t，（t>0）．（1）当△ABC为等腰三角形时，分三种情况讨论，①当CB＝AB时，在Rt△MCB中，由勾股定理得：BC2＝42＋（2t）2，所以42＋（2t）2=25，解得：t＝；②当AB＝AC时，12＋（2t）2=25，解得：t＝，③当AC＝BC时，C在AB的垂直平分线上，与条件不合，故这种情况不存在；综上所述t=或t=时△ABC为等腰三角形．（2）当△ABC为直角三角形时，由题意可得，有一种情况：∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，CM＝2t，在Rt△MCB中，由勾股定理得：BC2＝（2t）2＋42，在Rt△MCA中，由勾股定理得：AC2＝（2t）2+12，∴4t2＋42＋4t2＋12＝52，解得：t＝1，所以t的值为1时△ABC为直角三角形．（3）利用勾股定理可证出钝角三角形三边关系是两短边平方和小于钝角所对边的平方．建立不等关系式，（2t）2+12+（2t）2＋42<25，解得：t2<1，所以0＜t＜1时，△ABC为钝角三角形；而锐角三角形三边关系是两边平方和大于第三边平方，所以（2t）2+12+（2t）2＋42>25，解得：t2>1，所以t>1时，△ABC为锐角三角形；考点：1．特殊三角形的判定；2．动点问题；3．勾股定理的运用．19．（2022·江苏镇江·八年级期中）点P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB，BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒．（1）连接AQ，CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；（2）连接PQ．①当△BPQ为等边三角形时，t＝秒；②当△BPQ为直角三角形时，t＝秒．（直接写出结果）【答案】（1）∠CMQ理由见解析；（2）①2；②或【分析】（1）利用等边三角形的性质可证明△APC≌△BQA，则可求得∠BAQ=∠ACP，再利用三角形外角的性质可证得∠CMQ=60°；（2）①由△BPQ为等边三角形，可得再建立方程求解即可；②当△BPQ为直角三角形时，分两种情况讨论，当而则当时，则再利用含的直角三角形的性质列方程求解即可.【详解】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠B=∠PAC=60°，∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，∴AP=BQ，在△APC和△BQA中，∴△APC≌△BQA（SAS），∴∠BAQ=∠ACP，∴∠CMQ=∠CAQ+∠ACP=∠BAQ+∠CAQ=∠BAC=60°，∴在P、Q运动的过程中，∠CMQ不变，∠CMQ=60°；（2）①△BPQ为等边三角形，由题意得：解得：所以当△BPQ为等边三角形时，则s②当△BPQ为直角三角形时，当而则解得：当时，则解得：综上：当s或s时，△BPQ为直角三角形.【点睛】本题考查的是等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，掌握“利用图形的性质得到边与边之间的关系，再建立方程求解”是解题的关键.20．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如果三角形的两个内角与满足2+＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．(1)如图①，在RtABC中，∠ACB＝90°，BD是ABC的角平分线．求证：ABD是“准直角三角形”．(2)关于“准直角三角形”，下列说法：①在ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，∠C＝10°，则ABC是“准直角三角形”；②若ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝20°；③“准直角三角形”一定是钝角三角形．其中，正确的是．（填写序号）(3)如图②，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝50°．若P是l上一点，且ABP是“准直角三角形”，请直接写出∠APB的度数．【答案】(1)见解析(2)①③(3)当，，，时，ABP满足条件，是“准直角三角形”．【分析】（1）由角平分线的定义可得∠ABC＝2∠ABD，只要再证明2∠ABD+∠A=90°，即可判断．（2）根据“准直角三角形”的定义即可判断．（3）根据“准直角三角形”的定义，分类讨论即可解决问题．【详解】（1）证明：如图①中，∵在RtABC中，∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠ABD，∴2∠ABD+∠A＝90°，∴ABD是“准直角三角形”．（2）解：①∵∠B=70°，∠C=10°，∴∠B+2∠C=90°，∴ABC是“准直角三角形”．故①正确．②∵∠C＞90°，∠A＝60°+2∠B＝100°∴显然ABC不符合条件，故②错误，③∵三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”，∴α+β＜90°，∴三角形的第三个角大于90°，∴“准直角三角形”一定是钝角三角形，故③正确．故答案为①③．（3）解：如图②中，当时，则，此时+2，符合题意；同理可求，，时，ABP满足条件，是“准直角三角形”．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，“准直角三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．21．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点的速度为，点的速度为，当点第一次到达点时，，同时停止运动．

(1)点，运动几秒后，，两点重合？(2)点，运动时，是否存在以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时，运动的时间．若不存在，请说明理由．(3)点，运动几秒后，可得到直角三角形？【答案】(1)12秒(2)存在，4或16(3)或或15或18【分析】（1）设点M，N运动x秒后重合，表示出M，N的路程，N的路程比M多，列出方程求解即可；（2）首先假设是等腰三角形，不难得到在上运动时点N在点M前方，如图所示，可证出，可得，设出运动时间，表示出的长，列出方程，可解出未知数的值．（3）分情况讨论，利用角所对的直角边等于斜边的一半解题即可．【详解】（1）设点、运动秒后，、两点重合，由题意可得：，解得：，即当、运动12秒时，，两点重合；（2）当点、运动4或16秒时，存在以为底的等腰三角形，理由如下：由（1）可知：当、运动12秒时，，两点重合，当、分别在、上时，，，，成立；如图，当、都在BC上时，，

，，，是等边三角形，，，，，，，，解得：，成立；综上，满足条件的的值为4或16；（3）当点在上运动时，如图，若，

，，，，，即，解得：；如图，若，

由，则，解得：；当点在上运动时，点也在上，此时，，不能构成三角形；当点在上运动时，如图，当点位于中点处时，

由时等边三角形知，即是直角三角形，则，解得：；如图，当点位于中点处时，由时等边三角形知，即是直角三角形，则；综上，当或或15或18时，可得到直角三角形．【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，角的直角三角形的性质，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．22．（2023秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）已知中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，中，，，若过顶点B的一条直线交于点D，当时，直线是的关于点B的伴侣分割线．(1)在图2的中，，．请在图2中画出关于点B的伴侣分割线，并注明的度数；(2)已知，在图3中画出两种不同于图1、图2的，所画同时满足：①∠C为最小角；②