专题10 勾股定理中的翻折模型（解析版）

专题10.勾股定理中的翻折模型翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。【知识储备】勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。模型1.折痕过对角线模型【模型解读】沿着矩形的对角线所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’.结论1：≌；结论2：折痕AC垂直平方BB’；结论3：AEC是等腰三角形。例1．（2023春·上海宝山·八年级统考期末）已知矩形，把矩形沿直线翻折，点A落在点E处，如果的长度等于该矩形的一条边长，那么．【答案】6或【分析】分两种情况：①当时，利用矩形的性质和全等三角形的判定与性质证明是等边三角形，得出，然后根据30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解；②当时，同理可求．【详解】解：如图，当时，∵四边形是矩形，∴，，根据翻折的性质可得：，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∵，即，解得：；

当时，如图，同理可得是等边三角形，∴，∵，∴，∴；故答案为：6或．【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、数形结合是解题的关键．例2．（2023·河南平顶山·八年级校考期中）如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于点E．若AB＝4，BC＝8，则图中阴影部分的面积为（）A．8 B．10 C．12.5 D．7.5【答案】B【分析】利用折叠的性质可得∠ACF＝∠ACB，由AD∥BC，可得出∠CAD＝∠ACB，进而可得出AE＝CE，根据矩形性质可得AB=CD=4，BC=AD=8，∠D=90°，设AE＝CE=x，则ED＝8﹣x，在Rt△CDE中，利用勾股定理可求出x的值，再利用三角形的面积公式即可求出△ACE的面积，则可得出答案．【详解】解：由折叠的性质，∠ACF＝∠ACB．∵AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB，∴∠CAD＝∠ACF，∴AE＝CE．∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=4，BC=AD=8，∠D=90°，设AE＝CE=x，则ED＝8﹣x，在Rt△CDE中，根据勾股定理得，即42+（8﹣x）2＝x2，∴x＝5，∴图中阴影部分的面积＝S△ACEAE•AB=×5×4＝10．故选：B【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及三角形的面积，利用勾股定理求出AE的长是解题的关键．例3．（2023春·安徽亳州·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B（8，0），D（0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是．【答案】（,）【详解】连接BE，与AC交于G，作EF⊥AB，∵AB=AE，∠BAC=∠EAC，∴△AEB是等腰三角形，AG是BE边上的高，∴EG=GB，EB=2EG，BG==，设E（x，y），则有：AE2-AF2=BE2-BF2即：82-x2=（）2-（8-x）2，解得：x=，y=EF=，∴E点的坐标为：（,）．模型2.折痕过一顶点模型【模型解读】沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’.折在矩形内结论1：≌；结论2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形边上结论1：≌；结论2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕AC垂直平方BB’；结论3：AEF是等腰三角形。例1．（2022秋·广东深圳·八年级校考期中）如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，则的长为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据勾股定理即可求出的长，设，则，在中根据勾股定理列方程求解即可．【详解】解：，，，，根据折叠可得：，，设，则，，在中：，解得：，故选：．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．例2．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，矩形边沿折痕折叠，使点落在上的处，已知，的面积为，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据折叠的性质，得，；根据，解出，可得的值，根据直角三角形，利用勾股定理，即可求出．【详解】∵四边形是矩形，∴，，，∵是沿折痕折叠得到的，∴，，∵，∴，∴在直角三角形中，，∴，∴，∴，，设，∴，∴在直角三角形，，∴，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理的知识，解题的关键是掌握折叠的性质，勾股定理的运用．例3．（2023春·江苏八年级课时练习）如图，矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的角平分线上时，的长为______．【答案】或【分析】连接，过作，交于点，于点，作交于点，先利用勾股定理求出，再分两种情况利用勾股定理求出．【详解】解：如图，连接，过作，交于点，于点，作交于点点的对应点落在的角平分线上，，设，则，，又折叠图形可得，，解得或，即或．在中，设，当时，，，，，解得，即，当时，，，，，解得，即．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的．例4．（2023春·江苏·八年级期中）在四边形中，，，，P为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点B落在点E处．(1)若P为上一点．①如图1，当点E落在边上时，求的长；②如图2，连接，若，则与有何数量关系？请说明理由；(2)如果点P在的延长线上，当为直角三角形时，求的长．【答案】(1)①2；②，理由见解析(2)10或30【分析】（1）①以点A为圆心，为半径交于点E，利用勾股定理求出的长即可；②根据平行线的性质和翻折的性质可证，从而；（2）由是直角三角形，当时，则四边形是正方形，得；当时，设，则，在中，利用勾股定理列方程即可求解，当时，点P在线段上，不符合题意，舍去．【详解】（1）①如图：以点A为圆心，为半径交于点E，∵，∴，∴；②，理由如下：∵将沿直线翻折至的位置，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）∵是直角三角形，当时，∵，且，∴四边形是正方形，∴；当时，则，∴，∵，∴点E、D、C三点共线，由翻折知，根据勾股定理得，∴，设，则，在中，由勾股定理得：，解得，∴；当时，点P在线段上，不符合题意，舍去，综上：或30．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．例5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，在线段BC上取一点E，连接AE、ED，将ABE沿AE翻折，点B落在点处，线段E交AD于点F．将ECD沿DE翻折，点C的对应恰好落在线段上，且点为的中点，则线段EF的长为（）A．3 B． C．4 D．【答案】A【分析】由折叠的性质可得AB＝A＝CD＝D＝2，∠B＝∠＝90°＝∠C＝∠DE，BE＝E，CE＝E，由中点性质可得E＝2E，可得BC＝AD＝3EC，由勾股定理可求CE的长，由“AAS”可证，可得＝1，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC，∠B＝∠C＝90°由折叠的性质可得：AB＝＝CD＝＝2，∠B＝∠＝90°＝∠C＝∠，BE＝，CE＝，∠BEA=∠=，∠CED=∠=∴∠AED=+===90∴是直角三角形∴AD2＝AE2+DE2，∵点恰好为的中点，∴＝2，∴BE＝2CE，∴BC＝AD＝3EC，∵AE2＝AB2+BE2，DE2＝DC2+CE2，∴(3CE)2=AB2+BE2+DC2+CE2即9CE2＝8+4CE2+8+CE2，∴CE＝2，∴＝BE＝4，BC＝AD＝6，＝2，∴＝2，∵∠＝∠DC'F＝90°，∠AF＝∠DFC'，A＝D，∴AFDF（AAS），∴F＝F＝1，∴EF＝C'E+F＝3，故选：A．【点睛】此题考查了翻折变换、矩形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等，解题的关键是求出CE的长．模型3.折痕任意两点模型【模型解读】沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’.折在矩形内结论1：≌；结论2：折痕EF垂直平方BB’。折在矩形边上结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕AC垂直平方BB’；结论3：GC’F是直角三角形。例1．（2023春·重庆八年级课时练习）如图，在矩形中，，，是边上的中点，是边上的一动点．连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接．当为直角三角形时，的长为________．【答案】2或【分析】分情况讨论：当时，当时，当时三种情况下，分别利用勾股定理和翻折的性质可得到答案．【详解】解：当为直角三角形时，可有：①当时，如图1，此时，由折叠性质可知，，∵，∴，∴；②当时，如图2，由折叠性质可知，，，，∴，即M、E、C三点共线，设，则，在中，，∴，在中，有，即，解得，即，③当时，点E在直线CD上，此时，故此种情况不符合题意．综上所述，满足条件的BN的长为2或．故答案为：2或．【点睛】本题主要考查了翻折的性质和勾股定理的运用，根据题意画出图形并分情况讨论是解题关键．例2．（2023秋·广东·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，，E是上一个动点，F是上一点（点F不与点D重合）．连接，将沿翻折，使点A的对应点落在边上，连接，若，则的面积为．

【答案】3【分析】过点E作于H，在中，利用勾股定理构建方程求解即可．【详解】解：如图，过点E作于H．

由折叠的性质得，∵四边形是矩形，∴，，设，则，在中，则有，解得，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，∵，，∴，∴的面积为．故答案为：3．【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．例3．（2023春·江苏·八年级阶段练习）如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若CD＝2，AD＝3，则边AE的长为_____．【答案】/【分析】根据勾股定理列方程可求解【详解】根据折叠知，,设，则．根据勾股定理，得：解得，．故答案为：【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理的应用，利用折叠的性质，发现对应边、对应角的关系为关键．例4．（2022春·四川雅安·九年级专题练习）如图，把矩形沿翻折，点B恰好落在边的处，若，，则．【答案】10【分析】先根据矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质求出，AE==5，=60°，然后根据含30度的直角三角形性质求出，过点E作EM⊥BC于M，根据矩形的判定与性质可求EM=AB=，最后在Rt△EFM中，根据含30度的直角三角形性质和勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，，∵折叠，AE=5，，∴∠BFE==60°，AB=，∠A==90°，AE==5，，∵，∴∠DEF=∠EFB=60°，∠AEF=180°-∠BFE=120°=，∴，∴，∴，∴，过E作EM⊥BF于M，又∠A=∠B=90°，∴四边形ABME是矩形，∴EM=AB=，∵∠EMF=90°，∠EFB=60°，∴∠MEF=30°，∴EF=2FM，在Rt△EFM中，，∴，∴FM=5，∴EF=2FM=10．故答案为：10．【点睛】本题考查了折叠问题，矩形的判定与性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用折叠的性质解决问题是解题的关键．例5．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）在矩形中，，点G在边上，，边上有一点H，将矩形沿边折叠，点C和D的对应点分别是和，若点A、和三个点恰好在同一条直线上时，的长为__________．【答案】7或1/1或7【分析】分两种情况，分别画出图形，再根据勾股定理求出线段长，进而得出答案．【详解】当点A，点，点，共线时，根据题意可知，，∴．在中，，∴；当点A，点，点，共线时，根据题意可知，，∴．在中，，∴.所以的长为7或1．故答案为：7或1．【点睛】这是一道关于矩形的折叠问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，准确的画出图形是解题的关键．模型4.过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型【模型解读】1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD；2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD；3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。例1．（2022·安徽·合肥市八年级期中）如图，在中，，，．将折叠，使点B恰好落在边AC上．与点重合，AE为折痕，则的长为（

）A．12 B．25 C．20 D．15【答案】D【分析】由勾股定理可求出AC，再由折叠的性质可知，，进而可得，设，在中，由勾股定理列方程即可求解．【详解】解：∵在中，，，，，∵折叠，点B与点重合，，，，，设，则，又，在中，，即，解得：，．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理列方程是解题的关键．例2．（2023·山东淄博·统考一模）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长是___________．【答案】【分析】先利用勾股定理求出，根据折叠的性质可知：，，进一步求出，设，则，由勾股定理得，解得，则．【详解】解：在中，由勾股定理得，根据折叠的性质可知：，，∵，∴，设，则，在中，由勾股定理得∴，解得∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确利用勾股定理结合方程的思想求解是解题的关键．例3．（2022秋·河南周口·八年级校联考期末）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是．【答案】【分析】过点作于，于，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长．【详解】解：如图，过点作于，于，将沿直线翻折，，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，求出的长是本题的关键．模型5.过斜边中点所在直线翻折模型【模型解读】1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合；2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O.3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.例1．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】先利用折叠的性质得到，设，则，，在中，根据勾股定理可得到，求解即可．【详解】解：∵沿DE翻折，使点A与点B重合，∴，∴，设，则，，在中，∵，∴，解得，∴，故选：D．【点睛】本题考查了折叠的性质及勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握勾股定理解三角形是解题关键．例2．（2023春·安徽蚌埠·八年级校考期中）如图，在中，，，，点为斜边的中点，连接，将沿翻折，使落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，则：(1)°；(2)的长为．【答案】(1)90(2)【分析】（1）利用翻折的性质可知翻折前后对应角相等，结合原来的和互余即可得到的度数；（2）利用翻折的性质可知翻折前后对应边相等，结合（1）中得到的结论设为，利用勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）解：由翻折可知：，，，即；故答案为：90；（2）解：，，由翻折可知：，∴，设，则，，解得，即．【点睛】本题考查勾股定理和翻折的性质，熟练掌握勾股定理列方程以及翻折的性质是解决本题的关键．例3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，是的中线，，把沿着直线翻折，点C落在点E的位置，如果，那么线段的长度为．【答案】【分析】根据折叠的性质判定是等边三角形，然后再利用求．【详解】解：连接，是的中线，且沿着直线翻折，，是等腰三角形，，，为等边三角形，，在中，，．【点睛】本题考查了翻折变换，还考查的知识点有两个：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、等边三角形的性质求解．解题的关键是掌握以上知识点．模型6.过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型【模型解读】1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD.2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合；例1．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在中，，，点D、E分别在边和边上，沿着直线翻折，点A落在边上，记为点F，如果，则的长为（

）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】过点F作于G，先求出，则，设，则，在中，利用勾股定理求解即可．【详解】过点F作于G，∴，∵，，，∴，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理得，即，解得∴，故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的性质，勾股定理，能够准确作出辅助线是解题的关键．例2．（2022·重庆市七年级期中）如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，将沿折叠，点C恰好落在边上的F点，若，，，则的长为______．【答案】【分析】由三角形面积公式可求得，由折叠的性质可得，由直角三角形的性质可得，，即可求得AB．【详解】解：∵将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB上的F处，∴OC＝OF，CF⊥DE，∵，∴，∴，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，且∠CDE＋∠DCF＝90°，∠CDE＝∠B，∴∠A＝∠ACF，∴，同理可求：，∴．故答案为：．【点睛】本题考查翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是综合运用相关知识解题．模型7其他三角形翻折模型例1．（2023·辽宁沈阳·八年级校考期中）如图，中，，，，点是射线上一点，连接，将沿翻折得到，当直线与射线垂直时，的长为．

【答案】1或5【分析】分两种情况画图，根据勾股定理可得，再根据三角形面积可得，根据勾股定理即可解决问题．【详解】解：①设直线与射线垂直于点，在中，，

，，，，，，，，由折叠可知：，，，在中，根据勾股定理得：，，解得．②直线与射线垂直于点，

由①可知：，，，由折叠可知：，，，在中，根据勾股定理得：，，解得．综上所述：的长为1或5．故答案为：1或5．【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．例2．（2022秋·重庆·八年级统考期末）如图，在中，，，，点D在边上，将沿直线翻折后，点A落在点E处．如果，那么线段的长为．【答案】【分析】连接，根据翻折的性质可得，，，由可得是等腰直角三角形，可求出，根据等腰三角形的性质可求出，即可求出，由直角三角形两锐角互余可得，即可求出，可证明是等腰直角三角形，可得，根据含角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可求出的长，根据可求出的长，即可得的长．【详解】连接，如图∵沿直线翻折后点A落在点E处，∴，，，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，在中，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了翻折的性质，含角的直角三角形的性质及勾股定理，翻折前后的两个图形全等，对应边相等，对应角相等；角所对的直角边等于斜边的一半，正确得出翻折后的对应边及对应角并熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．例3．（2022秋·江苏·八年级统考期中）如图，三角形纸片中，点是边上一点，连接，把沿着直线翻折，得到，交于点，连接交于点，若，的面积为，则的长是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用折叠和中线的性质，得到的面积，利用勾股定理求出，利用三角形的面积公式求出，进而求出，再利用勾股定理求出即可．【详解】解：∵∴为的中线，∴，∵翻折，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；故选B．【点睛】本题考查勾股定理与折叠问题．熟练掌握折叠的性质以及三角形的中线平分面积，以及勾股定理是解题的关键．例4．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，，，点F在AC上，并且，点E为上的动点（点E不与点C重合），将沿直线翻折，使点C落在点P处，的长为，则边的长为（）

A． B．3 C． D．4【答案】C【分析】根据折叠可得，再利用勾股定理即可求解．【详解】解：根据折叠可知，，在中，，，，，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理及翻折的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．例5．（2022春·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，在中，点是线段上的一点，过点作交于点，将沿翻折，得到，若点恰好在线段上，若，：：，，则的长度为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，，则，由折叠的性质得出，，，由勾股定理求出，设，则，由勾股定理列出方程求出的值，则可得出答案．【详解】解：设，，则，将沿翻折，得到，，，，，，，，，，，，，，，设，则，，，解得，，故选C．【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．例6．（2022·江苏西附初中八年级月考）如图，中，，，，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段的长为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据折叠的性质可知AC=CD，∠A=∠CDE，CE⊥AB，Rt△ABC中根据勾股定理求得AB=5，再根据三角形的面积可求得B′F的长．【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，根据折叠的性质可知AC＝CD，∠A＝∠CDE，CE⊥AB，∴B′D＝BC﹣CD＝4﹣3＝1，∠DCE+∠B′CF＝∠ACE+∠BCF，∵∠ACB＝90°，∴∠ECF＝45°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EF＝CE，∠EFC＝45°，∴∠BFC＝∠B′FC＝135°，∴∠B′FD＝90°，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，∴AC•BC＝AB•CE，∴CE＝，∴EF＝，ED＝AE＝，∴DF＝EF﹣ED＝∴B′F＝．选：A．【点睛】此题主要考查了翻折变换，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键．课后专项训练1．（2023秋·成都市八年级期中）如图，已知中，，，将此三角形沿翻折，使得点A与点B重合，则的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据折叠可得，再在中利用勾股定理列方程计算即可．【详解】∵三角形沿翻折，使得点A与点B重合，∴，∵，∴，在中，∴，解得，故选：C．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．2．（2022秋·江苏镇江·八年级校联考期中）如图，在中，，，，将边沿翻折，点落在点处，连接交于点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据可得最小时，最大，当时，最大，根据折叠的性质可得，根据等面积法求得，进而即可求解．【详解】解：∵，，，∴，将边沿翻折，∴，∵，∴当时，最小，此时最大，则，∴，∴的最大值为，故选：D．【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，垂线段最短，等面积法求得的最小值是解题的关键．3．（2023春·成都市八年级课时练习）如图，在中，，cm，cm，点、分别在、边上．现将沿翻折，使点落在点处．连接，则长度的最小值为（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】C【分析】当H落在AB上，点D与B重合时，AH长度的值最小，根据勾股定理得到AB=10cm，由折叠的性质知，BH=BC=6cm，于是得到结论．【详解】解：当H落在AB上，点D与B重合时，AH长度的值最小，∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，∴AB=10cm，由折叠的性质知，BH=BC=6cm，∴AH=AB-BH=4cm．故选：C．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．4．（2023春·福建厦门·八年级期末）如图，在中，D是边上的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点E，连接，若，，则C到的距离为（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，交于点M，由翻折知，，垂直平分，证为等边三角形，利用含30度的直角三角形性质及勾股定理求出，即可得出答案．【详解】解：如图，连接，交于点M，

∵，D是边上的中点，∴，由翻折知，，垂直平分，∴，，，∴，∴为等边三角形，∴，∵，∴，在中，，，∴，，∴C到的距离为，故选B．【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、折叠的性质、全等三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．5．（2023春·江苏·八年级阶段练习）如图，在中，，，点D、E分别在边和边上，沿着直线翻折，点A落在边上，记为点F，如果，则的长为（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可得，，方法1：作于G，设，则，在中，，，问题随之得解；方法2：如图2，作于，设，则，，，在中，，，问题随之得解．【详解】∵在中，，，∴，，∵，∴，方法1：如图1，作于G，∵在中，，，∴，∵，则，设，则，在中，，，即．方法2：如图2，作于，设，则，，，在中，，，即．故选：D．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质等知识，掌握折叠的性质并灵活运用勾股定理是解答本题的关键．6．（2022·重庆八年级月考）如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据面积求出BF、AF、CF，设DE为x，列方程求出即可．【详解】解：ABCD是长方形纸片，∴AB=CD=3，，∴，∴BF=4，∴AF=，∴AF=AD=BC=5，CF=1，设DE为x，EF=DE=x，EC=3-x，x2=(3-x)2+1，解得，x=，∴，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程．7．（2022·广东·江门八年级期中）已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则BE的长为（）A．6cm B．9cm C．4cm D．5cm【答案】D【分析】根据折叠的性质可得BE＝ED，设AE＝x，表示出BE＝9﹣x，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列式计算即可得解．【详解】解：∵长方形折叠点B与点D重合，∴BE＝ED，设AE＝x，则ED＝BE＝9﹣x，在Rt△ABE中，，即，解得x＝4，∴AE的长是4cm，∴BE＝9﹣4＝5（cm），故选：D．【点睛】本题考查翻折变换的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于AE的长的方程是解题的关键．8．（2022·山东济宁·中考真题）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可得AD=AB=2，∠B=∠ADB，CE=DE，∠C=∠CDE，可得∠ADE=90°，继而设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，∴AD=AB=2，∠B=∠ADB，∵折叠纸片，使点C与点D重合，∴CE=DE，∠C=∠CDE，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠ADB+∠CDE=90°，∴∠ADE=90°，∴AD2+DE2=AE2，设AE=x，则CE=DE=3-x，∴22+(3-x)2=x2，解得即AE=故选A【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．9．（2022·深圳市初三月考）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为()A．3B．4C．5D．6【答案】D分析：先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．【解析】∵四边形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8﹣3=5，在Rt△CEF中，CF===4，设AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，故选D．考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理．10．（2022·江苏·无锡八年级期末）如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的处，点A对应点为，且＝3，则BN＝______，AM＝______．【答案】

5

2【分析】由翻折的性质可知：BN=NB′，设BN=x，在Rt△CNB′中，利用勾股定理构建方程求出x；连接BM，MB′，由于CB′=3，则DB′=6，在Rt△ABM和Rt△MDB′中由勾股定理求得AM的值．【详解】解：由翻折的性质可知：BN=NB′，设BN=x，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=9，∠C=∠D=90°，∵NB′2=CB′2+CN2，∴x2=（9-x）2+32，解得x=5，∴BN=5；设AM=y，连接BM，MB′，在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，在Rt△MDB′中，B′M2=MD2+DB′2，∵MB=MB′，∴AB2+AM2=BM2=B′M2=MD2+DB′2，即92+y2=（9-y）2+（9-3）2，解得y=2，即AM=2，故答案为：5；2．【点睛】本题考查了翻折的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解．11．（2023·山东济南·二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点N为边DC上一动点（不与C、D重合），连接BN，作C关于直线BN的对称点C′连接BC′，C′N，当C′恰好在△ABD的边上时，CN的长为__________．【答案】或【分析】分两种情况讨论：点C'在BD上或点C'在AD上，依勾股定理以及折叠的性质，即可得到CN的长．【详解】如图所示，当点C'在BD上时，设CN=x，则C'N=x，DN=3-x，由折叠可得，∠C=∠BC'N=90°，BC'=BC=4，Rt△BCD中，BD=，∴C'D=5-4=1，∴Rt△DC'N中，12+x2=（3-x）2，解得x=；如图所示，当点C'在AD上时，设CN=x，则C'N=x，DN=3-x，由折叠可得，BC'=BC=4，Rt△ABC'中，AC'=，∴C'D=，∴Rt△DC'N中，()2+(3−x)2＝x2，解得x=；综上所述，CN的长为或．故答案为：或．【点睛】本题考查折叠问题以及勾股定理的运用，解题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．12．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，中，，，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，则线段的长为____________．【答案】【分析】由折叠可知可得，知，根据，，用面积法可得，由勾股定理得，即得，故．【详解】解：由折叠可知，，，，，，，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；故答案为：．【点睛】本题考查图形的折叠，熟练掌握勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质是解题的关键．13．（2022秋·江苏无锡·八年级校考期中）如图，中，，，，，，，P是直线上一点，把沿所在的直线翻折后，点C落在直线上的点H处，______．【答案】或10【分析】分两种情况：当P点在E点左边时；当P点在E点右边时．分别画出图形，利用折叠性质和勾股定理解答即可．【详解】解：当P点在E点左边时，如图1，由折叠性质得，∵，，，∴，∵，∴，∵，∴∴，设，则，，∵，∴，解得，，即；当P点在E点右边时，如图2，由折叠知，，∴，设，则，，∵，∴，解得，，即；综上，或10．故答案为：或10．【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，注意分类讨论的思想是解答本题的关键．14．（2023·贵州黔东南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，点的坐标为.将矩形沿对角线翻折，点落在点的位置，且交轴于点，那么点的坐标为______.【答案】（0，）．【分析】先证明EA=EC（设为x）；根据勾股定理列出x2=12+（3-x）2，求得x=，即可解决问题．【详解】由题意知：∠BAC=∠DAC，AB∥OC，∴∠ECA=∠BAC，∴∠ECA=∠DAC，∴EA=EC（设为x）；由题意得：OA=1，OC=AB=3；由勾股定理得：x2=12+（3-x）2，解得：x=，∴OE=3-=，∴E点的坐标为（0，）．故答案为（0，）．【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．15．（2023·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，BC=AC，D为AB的中点，E为BC上一点，将△BDE沿DE翻折，得到△FDE，EF交AC于点G，则△ECG的周长是___________．【答案】【分析】连接CE．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、等腰三角形的性质以及折叠的性质推知EG+CG=EG+GF=EF=BE，【详解】解：（1）如图，连接CD、CF.∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB边的中点，∴BD=CD=1．BC=,∵由翻折可知BD=DF，∴CD=BD=DF=1，∠DFE=∠B=∠DCA=45°,∴∠DCF=∠DFC，∴∠DCF-∠DCA=∠DFC-∠DFE，即∠GCF=∠GFC，∴GC=GF，∴EG+CG=EG+GF=EF=BE，∴△ECG的周长=EG+GC+CE=BE+EC=BC=,故答案为.【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理、直角三角形的性质，能将三角形的周长转移到已知线段上是解题的关键.．16．（2022·吉林白城·八年级期末）如图，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折叠，使AB落在直线AC上．(1)BC＝______；(2)求重叠部分（阴影部分）的面积．【答案】(1)16(2)36【分析】（1）根据勾股定理直接求解即可；（2）根据折叠的性质得出，设CD＝x，则，利用勾股定理得出CD=6，由三角形面积公式求解即可．（1）∵在中，，，，∴，故答案为：16；（2）由折叠可知，∵AC＝12，∴设CD＝x，则在中，，∴解得x＝6，∴．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握运用勾股定理及折叠的性质是解题关键．17．（2022春·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．(1)求证：四边形AECG是平行四边形；(2)若AB=8cm，BC=6cm，求线段EF的长．【答案】(1)见解析(2)线段EF长为3cm．【分析】（1）根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明AG∥CE，AE∥CG即可；（2）在Rt△AEF中，运用勾股定理可将EF的长求出即可．【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA．由题意，得∠GAH=∠DAC，∠ECF=∠BCA．∴∠GAH=∠ECF，∴AG∥CE．又∵AE∥CG，∴四边形AECG是平行四边形；（2）解：在Rt△ABC中，∵AB=8cm，BC=6cm，∴AC==10（cm）．∵CF=CB=6cm，∴AF=4cm．在Rt△AEF中，设EF=xcm，则AE=（8-x）cm．根据勾股定理，得AE2=AF2+EF2，即（8-x）2=42+x2．解得x=3，即线段EF长为3cm．【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．18．（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）如图1，矩形的边在轴上，边在y轴上，点B的坐标为．D是边上一点（不与点A、B重合），将沿直线翻折，使点B落在点E处．(1)如图1，当点E恰好落在y轴时，直接写出点D的坐标(2)如图2，当点E恰好落在矩形的对角线上时，求点D的坐标．(3)如图3，当以O、E、C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求的面积．【答案】(1)(2)(3)12或【分析】（1）利用矩形的性质，求出点的坐标，得出的长即可求解；（2）中，由勾股定理得：，即可求解；（3）①当时，，则的面积；②当时，利用勾股定理得：，求出，进而求解．【详解】（1）∵点B的坐标为，且四边形是矩形，∴点的坐标分别为，∴，由折叠得，∴∴点D的坐标为（2）∵点A的坐标为，点C的坐标为，∴．∴中，，∵四边形是矩形，∴，∵沿折叠，∴，∴，设,则,∵中，由勾股定理得：，∴，解得，∴点D的坐标为；（3）过点E分别作轴的垂线，垂足分别为，∵，∴，∴四边形是矩形，∴．①当时，∵，∴，的面积；②当时，∵，∴，设，则，在中，，在中，，即，解得：，则，的面积；故的面积为12或．【点睛】本题考查的是矩形的性质、勾股定理的运用、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．19．（2023·辽宁大连·八年级统考期末）已知，长方形纸片中，，，点E在边上移动，连接，将四边形沿直线翻折，得到多边形，点B、C的对应点分别为点、．(1)当恰好经过点D时，如图1，则_______，______．(2)当分别交边、于点F、G，且，如图2，求的面积．【答案】(1)4；(2)的面积为【分析】（1）根据矩形性质和勾股定理即可解决问题；（2）证明△DFG是等腰直角三角形，求出DF即可解决问题．【详解】（1）解：∵四边形ABCD是长方形，∴