全等三角形模型压轴题综合训练（三）（解析版）（人教版）

全等三角形模型压轴题综合训练（三）一、单选题1．如图．正方形的对角线，交于点，是边上一点，连接，过点作交，于点，若四边形的面积是，则的长为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】过点作于点，过点作于点，可得出四边形为矩形，根据正方形性质即可证明四边形为正方形，通过证明可以得出正方形的面积等于四边形的面积，进而求出的长，即可得出最后结果．【详解】解：过点作于点，过点作于点，

，四边形为矩形，四边形为正方形，，，，四边形为正方形，，，，，，，正方形的面积等于四边形的面积，，（负值舍去），．故选：．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．2．如图，在平行四边形中，，E是的中点，于点F，则的面积为（

）

A． B． C．4 D．6【答案】A【分析】根据平行四边形对边平行可得，再利用两直线平行，内错角相等可得，根据线段中点的定义可得，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再解直角三角形求出、，求出，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：如图，延长和交于点，在平行四边形中，，

，为的中点，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，故选A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的面积，熟记各性质是解题的关键．3．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点为轴上的一个动点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以为边在右侧作等边，连接并延长交轴于点，过点作于点，利用全等三角形的性质证明，所以，推出点在过定点且与垂直的直线上运动，即点在直线上运动，求出的长即可解决问题．【详解】解：如图，以为边在右侧作等边，∴，连接并延长交轴于点，过点作于点，在矩形中，∵，∴，，∴，∵是等边三角形，∴，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴点在过定点且与垂直的直线上运动，即点在直线上运动，∵是等边三角形，∴，∴，∵，∴，当点与不重合时，，当点与重合时，，综上所述：，∴的最小值为，故选：B．

【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．4．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，则点的坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】过点作轴，垂足为，过点作，垂足为，证明，得到，，计算的长即可．【详解】解：如图，过点作轴，垂足为，过点作，垂足为，

∴，∴∵四边形是正方形，点的坐标为，点的坐标为，∴，，，，∴，，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴点，故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形，熟练掌握正方形的性质，准确理解线段与坐标的关系是解题的关键．5．如图，在四边形中，，，、分别是、的中点，若的长恰为整数，则的长可以是（

）

A．，， B．， C．，， D．，，，【答案】C【分析】连接并延长至，使得，连接、，证明，根据三角形三边关系，可得的范围，根据中位线的性质即可求解．【详解】解：如图，连接并延长至，使得，连接、，

，是的中点，，在与中，，，，，，，，当时，，，三点共线，，分别是的中点，，是的中位线，，长的取值范围为：，的长可以是：，，，故选：C．【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，三角形全等的判定与性质，三角形的三边关系，准确作出辅助线并灵活运用三角形三边关系，全等三角形的性质与判定是解题的关键．6．如图，在四边形中，平分，且，若，则一定等于（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】在上截取，连接，证明，得，，证出．由等腰三角形的性质得出，即可得出，代入已知角即可得解．【详解】解：在上截取，连接，如图所示：∵平分，∴，在和中，

，∴，∴，，∵，∴．∴．∵，∴，∴，∴，即，∴，故选D．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，四边形内角和，等边对等角等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．7．如图，中，，D为中点，在的延长线上取一点E，使得，与交于点F，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】过点作,交于点,连接,则为的中点,,得出是的中位线，由三角形中位线定理得出，由等腰三角形和三角形的外角性质证出,由证明,得出，由等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质得出得出，由平行线分线段成比例定理得出,因此,即可得出结果.【详解】过点作,交于点,连接,如图所示:

∵为中点,,∴为的中点,,∴是的中位线,∴,∵,∴D,∵,∴,在和中,，∴,∴,∵,为中点,∴∴,，∴,∵,∴,即,∴,∴,，故选:.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键.8．如图，等边中，为边上的高，点分别在上，且，连，当最小时，则（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如图1中，作，使得，连接，．证明，推出，由，可知，，共线时，的值最小，求出此时即可解决问题．【详解】解：如图1中，作，使得，连接，．

是等边三角形，，，，，，，，，，，，，共线时，的值最小，如图2中，当，，共线时，

，，，，，当的值最小时，，故选：．【点睛】本题考查轴对称、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．二、填空题9．如图，在正方形中，点为上点一点，连接，点在上，，连接，，连接，则．

【答案】7【分析】作于，交的延长线于，交的延长线于，则四边形是矩形，得到，由正方形的性质可得，，根据同角的余角相等可得，证明得到，证明得到，再由，可得，最后由三角形面积公式进行计算即可．【详解】解：如图，作于，交的延长线于，交的延长线于，

，则，四边形是矩形，，四边形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：7．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解题的关键．10．如图，已知，，，，绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P、Q．当为等腰三角形时，AP的长为．

【答案】或或【分析】分类讨论：①当，由，，则，过作与，于，利用三角形的中位线的性质得到，，，可得到与的长，然后利用等腰三角形的性质得到，易得，又，利用三角形全等的性质得到，则，即，则，然后根据三角形相似的性质得到：：，代值计算可得，从而求得；②当，则点在点，易证，然后根据三角形相似的相似比即可得到，从而求得；②当，则，而，得到，即，易证，然后根据三角形相似的相似比即可求得．【详解】解：①当，，，，则，过作与，于，如图，

为的中点，，，，，，，而，，又，，而，，即，，：：，即：：，，；②当，则点在点，如图，

，而，，，：：，即：：，，；③当，则，而，，即，如图，

，：：，即：：，．故答案为或或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：两腰相等，两底角相等．也考查了三角形全等的性质和三角形相似的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及分类讨论思想的运用．11．如图，在中，，，，点在线段上，，点是边上一动点，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，连接，当有最小值时，写出的值为.

【答案】【分析】过作垂线且使得，连接，构造得，根据点到直线垂线段最短知时，取最小值，求出此时即可．【详解】解：如图，过作垂线且使得，连接，

，，，在与中，，，，点到直线垂线段最短，时，取最小值，过点作交于，，,，，，取最小值时，故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，点到直线垂线段最短，平行线之间的距离相等，作出辅助线构造是本题的关键．12．如图，在中，，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，则周长为．

【答案】4【分析】先求解，如图，延长，交于，延长交于，依次证明，，，可得从而可得答案．【详解】解：∵，，，∴，如图，延长，交于，延长交于，

∵和的平分线相交于点O，交于E，∴，∵，∴，∴，同理可得：，∴，∵，∴，∴，∵，∴．∴的周长为．故答案为：4．【点睛】本题考查的是角平分线的定义，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构建全等三角形是解本题的关键．13．如图，四边形中，，，在边上，且，若，，则的长为．

【答案】【分析】延长至，使得，证明，进而根据已知条件得出，可得，过点作于点，则是矩形，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解．【详解】解：如图所示，延长至，使得，∵，∴又∵∴∴，

∵设，则，∵，∴∵∴，∴，∵，∴∴∵∴∴，过点作于点，则是矩形，∴，∴，∵，则在中，∴∴∵∴∴，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．三、解答题14．在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，，．点是线段上一点，交的延长线于点．

(1)如图①，若交于点，点作，交的延长线于点，求证：．(2)如图②，若，交于点，交于点，求的值．(3)如图③，若交BN的延长线于点．请证明：．【答案】(1)见解析；(2)(3)见解析【分析】（1）欲证明，只要证明即可；（2）作交的延长线于．先证明，推出，，再证明，推出，推出．（3）如图③中，作平分交于．只要证明，推出，再证明，推出，由，可得，由此即可解决问题；【详解】（1）证明：如图①中，

，，，，，，，，，，，，．（2）如图②中，作交的延长线于．

，，，，，，，，，，，，，，，，．（3）如图③中，作平分交于．

，，，，，，，，，，，，，．【点睛】本题属于三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，解决问题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．15．如图1，已知为等边三角形，点D和E分别是直线和边上的动点，连接和相交于点F．(1)如图1，点E为中点，点D为三等分点且，若，求；(2)如图2，已知，点H为中点，连接交于点Q，连接并延长交于点M，若，探究之间的数量关系并说明理由；【答案】(1)12(2)，见解析【分析】（1）取的中点K，连接．然后利用三角形中位线定理解答即可；（2）延长到T，使得，连接．证明四边形是平行四边形，再证明，最后根据线段的和差和等量代换即可解答；【详解】（1）解：如图1：取的中点K，连接．∵，∴，∵D为三等分点且，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；（2）解：结论：．理由如下：如图：延长到T，使得，连接．∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识，正确添加常用辅助线、构造特殊四边形和全等三角形解决问题是解题的关键．16．【模型建立】（1）如图1，在与中，，，，求证：；【模型应用】（2）如图2，在与中，，，，B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点，①求的大小；②，求的面积；【拓展提高】（3）如图3，在与中，，，，与交于点F，，，的面积为18，求的长．

【答案】（1）见解析（2）；（3）6【分析】（1）首先得到，然后证明出即可；（2）首先由得到，然后证明出，得到，进而求解即可；（3）连接，首先得到，然后证明出，然后得到，设的长度为a，列方程求解即可．【详解】证明：（1），∴，在和中

∴；（2）①，∴，在和中，∴，∴，∴；②作于点G，如图所示：

，∴，在和中，∴，∴，∴，∵点F为中点，∴；（3）连接，如图所示：

∵且，∴在和中，∴，∴，，∵，，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，是公共部分，∴，设的长度为a，则，解得：，负值舍去，故的长度为6．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定．17．等边的两边、所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且，，．当点M、N分别在直线、上移动时，探究之间的数量关系以及的周长Q与等边的周长L的关系．

(1)如图①，当点M、N在边、上，且时，之间的数量关系式为______；此时的值是______；(2)如图②，当点M、N在边、上，且时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；(3)如图③，当点M、N分别在边、的延长线上时，若，试用含x、L的代数式表示Q．【答案】(1)，(2)（1）问的两个结论仍然成立，证明见解析(3)，见解析【分析】（1）先证是等边三角形，再证，然后根据特殊直角三角形的性质即可求出、、之间的数量关系；（2）在的延长线上截取，可证，可得，再证，由全等三角形的性质可得结论仍成立；（3）在上截取，连接，可证，可得，然后证得，可证，即可得出．据此计算即可求解．【详解】（1）解：、、之间的数量关系，此时，理由如下：，，是等边三角形，是等边三角形，，，，，，，，，，，，，，，是等边三角形，，，，；（2）解：猜想：结论仍然成立，证明：如图，在的延长线上截取，连接，

，，，，，，，，，，，，的周长为：，；（3）证明：如图，在上截取，连接，

同（2）可证，，，，，，又，，，，，．∵等边的周长为L，∴，的周长．故答案为：．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等，综合性强，难度较大，解题的关键是掌握辅助线的作法．18．【问题提出】如图①，在中，，求边上的中线的取值范围．【问题解决】经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接，经过推理可知…（2）的取值范围为．【方法总结】解题时若条件中出现“中点”或“中线”，则可以考虑将中线加倍来构造全等三角形，从而将分散的已知条件转换到同一个三角形中，我们称这种添加辅助线的方法为“倍长中线法”．【应用】如图②，在中，点D为边的中点，点E在边上，与相交于点F，，求证：．【拓展】如图，在中，，平分，点E为边的中点，过点E作，交于点F，交的延长线于点G，若，则的面积为．

【答案】问题解决：；应用：见解析；拓展：9【分析】问题解决：证明，得到，利用三角形的三边关系，求出的取值范围，进一步计算即可；应用：延长至点，使，连接，证明，得到，证明为等腰三角形，得到，等量代换即可；拓展：延长至点，使，连接，证明，得到，，推出均为等腰三角形，得到，进而求出的长，根据，求出的长，利用三角形的面积公式进行计算即可．【详解】解：问题解决：延长到点E，使，连接，∵是的中线，∴，又，∴，∴，在中，，，，∴，∵，∴；故答案为：；应用：延长至点，使，连接，

同法可得：，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴；拓展：延长至点，使，连接，

同法可得：，∴，，∵，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴的面积为：；故答案为：．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是理解并掌握倍长中线法，构造全等三角形．19．（1）阅读理解：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是；（2）问题解决：如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，求证：；（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个角，角的两边分别交，于E、F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．

【答案】（1）（2）见解析（3），见解析【分析】（1）根据判定，选择即可．根据，运用三角形三边关系定理计算即可．（2）延长到点G使，再连接,证明，运用三角形三边关系定理计算即可．（3）延长到点M使，连接，证明，构造半角模