第二十五章 锐角的三角比（8个知识归纳+14类题型突破）（解析版）

第二十五章锐角的三角比（8个知识归纳+14类题型突破）1.掌握正弦、余弦、正切概念；2.掌握特殊角的三角函数值；3.掌握解直角三角形的应用；知识点1．正切与余切1.正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tanA．．2.余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cotA．．aacABCb知识点2．正弦与余弦1.正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sinA．．2.余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cosA．．aacABCb知识点3．特殊锐角三角比的值1.特殊锐角的三角比的值30°45°1160°3.通过观察上面的表格，可以总结出：当090，的正弦值随着角度的增大而增大，的余弦值随着角度的增大而减小；的正切值随着角度的增大而增大，的余切值随着角度的增大而减小．知识点4．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边=ac，cos（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）知识点5．解直角三角形的应用——仰角、俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角；知识点6．解直角三角形的应用——方位角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．知识点7．解直角三角形的应用—:坡度、坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．知识点8．解直角三角形的综合应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．题型一正弦的概念与计算1．（2023秋·上海普陀·九年级校考期中）在中，，那么的值是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】直接利用锐角三角函数关系得出的值即可．【详解】解：∵，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，正确记忆正弦值与各边之间的关系是解题关键．2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知在中，，，垂足为点，那么下列线段的比值不一定等于的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，进行逐一判断即可．【详解】A.，，，，，，由图得：与不一定相等，不一定等于，故此项错误；B.在中，，故此项正确；C.在中，，故此项正确；D.在中，，故此项正确．故选：A．【点睛】本题考查了锐角三角函数中正弦函数的定义，理解锐角三角函数的定义是解题的关键．巩固训练：1．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考阶段练习）在中，，，，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据计算选择即可．【详解】∵，，，∴，故选C．【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．2．（2023秋·山东聊城·九年级校联考阶段练习）在中，，，，则的值为．【答案】【分析】勾股定理计算出，根据直角三角形中，角的正弦是角的对边比斜边，推出，得出的值即可．【详解】解：∵在中，，，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了正弦的定义、勾股定理，明白“直角三角形中，角的正弦是角的对边比斜边”是解题的关键．3．（2021秋·河北邢台·八年级统考期中）如图所示，在中，，，且，求：

(1)的值；(2)的周长及面积．【答案】(1)(2)；【分析】（1）根据锐角三角形函数的定义求得，根据勾股定理求得，根据锐角三角形函数的定义即可求解；（2）结合（1）中结论即可求解．【详解】（1）解：∵，，∴，∴，∴，∴．（2）解：的周长，．【点睛】本题考查了锐角三角形函数，勾股定理，三角形的面积公式等，熟练掌握以上知识是解题的关键．题型二余弦的概念与计算1．（2020秋·上海嘉定·九年级统考期中）如图，的顶点在网格图的格点上，的值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由网格构造直角三角形，利用勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．【详解】解：如图，取格点D，

在中，，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查求教的余弦值，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．2．（2023·上海杨浦·统考一模）已知点在平面直角坐标系中，射线与x轴正半轴的夹角为α，那么的值为（）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】作轴于H．利用勾股定理求出，利用余弦的定义即可解决问题．【详解】解：如图，作轴于H．∵，∴，，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．巩固训练1．（2023秋·河北石家庄·九年级石家庄市第二十七中学校考期中）如图，在中，，，，则等于（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据勾股定理可求出的值，再根据余弦的计算方法求解．【详解】解：在中，，，，∴，∴，故选：．【点睛】本题主要考查勾股定理，余弦值的计算方法，掌握以上知识是解题的关键．2．（2023秋·上海青浦·九年级校考阶段练习）在中，，，，则的余弦值为.【答案】/【分析】先利用勾股定理求得斜边的长，再根据余弦函数的定义求解可得．【详解】解：如图所示，

在中，∵，，∴，则．故答案为：．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及余弦函数的定义．3．（2023秋·江西吉安·九年级统考期末）在中，，，．(1)求的长；(2)求，的值．【答案】(1)25(2)，【分析】（1）利用勾股定理进行求解即可；（2）根据余弦和正切的定义进行求解即可．【详解】（1）解：∵在中，，，∴由勾股定理，得．

（2）解：∵在中，，，，，∴，．【点睛】本题主要考查了求角的余弦值，正切值和勾股定理，熟知锐角三角函数的定义是解题的关键．题型三正切的概念与计算1．（2023·上海·九年级假期作业）在平面直角坐标系中，已知点与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为，那么的值是()A．2 B． C． D．【答案】B【分析】过点A作轴于点B，由题意易得，然后问题可求解．【详解】解：过点A作轴于点B，如图所示：由题意得：，∵，∴，∴；故选B．【点睛】本题主要考查三角函数及坐标与图形，熟练掌握求一个角的正切值是解题的关键2．（2023·上海·一模）在直角坐标平面内，如果点，点与原点的连线与轴正半轴的夹角是，那么的值是（

）A．4 B． C． D．【答案】A【分析】由锐角的余切定义，即可求解．【详解】解：如图，∵点，∴．故选∶A【点睛】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，关键是掌握锐角的三角函数定义．巩固训练1．（2023秋·辽宁沈阳·九年级东北育才双语学校校考阶段练习）在中，，，则下列式子成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据各个三角函数的定义即可解答．【详解】解：A、∵，∴，故A不成立，不符合题意；B、，∴，故B成立，符合题意；C、，∴，故C不成立，不符合题意；D、，∴，故D不成立，不符合题意；故选：B．

【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，解题的关键的数量掌握各个三角函数的求法．2．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考期中）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点，则t的值是．

【答案】【分析】取格点，连接交于点，连接，，可得，证明，根据正切的定义，即可求解．【详解】解：如图所示，取格点，连接交于点，连接，

∵∴四边形是平行四边形，∴∴，∵∴四边形是平行四边形，∴，∵∴∴∴，故答案为：．【点睛】本题考查了网格与勾股定理，求正切，熟练掌握三角函数的定义将角度转化到直角三角形中是解题的关键．3．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在中，，，垂足为点Q．

(1)．(2)______，______．（用正切或余切表示）【答案】(1)(2)【分析】（1）根据角的正切值可进行求解；（2）根据角的正切值可进行求解【详解】（1）解：由题意得：；故答案为；（2）解：由题意得：，；故答案为【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握“直角三角形中一个锐角A的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（）”是解题的关键．题型四特殊角的三角函数值1．（2023·上海·九年级假期作业）的值等于(

)A． B． C． D．1【答案】A【分析】根据进行计算即可得出答案．【详解】解：．故选A．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值．牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．2．（2021·上海·九年级专题练习）在平面直角坐标系内P点的坐标是，则P点关于y轴对称点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，再利用关于y轴对称横坐标互为相反数，纵坐标不变进而得出答案．【详解】解：∵P点的坐标是（cos30°，tan45°），∴P，∴P点关于y轴对称点P′的坐标为：，故选：D．【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．巩固训练1．（2022秋·江苏苏州·九年级星海实验中学校考阶段练习）在中，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．【详解】解：∵，则，故选：B．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．2．（2022春·湖北武汉·九年级武汉市常青第一中学校考自主招生）计算：．【答案】5【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【详解】解：故答案为：5．【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．3．（2022秋·云南红河·九年级统考期末）（1）计算：；（2）解方程：．【答案】（1）；（2），【分析】（1）先根据算术平方根，特殊角锐角函数值，零指数幂的性质化简，再计算，即可求解；（2）利用配方法解答，即可求解．【详解】（1）解：原式（2）解：．．．解得：，．【点睛】本题主要考查了算术平方根，特殊角锐角函数值，零指数幂的性质，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．题型五特殊角三角函数值的混合运算1．（2021·上海·九年级专题练习）下列计算中错误的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据三角函数值进行计算判断即可．【详解】A、，故错误；B、，故正确；C、，，因此，故正确；D、，，因此，故正确；故选：A．【点睛】本题考查特殊三角函数值，比较基础，熟练记忆是关键．2．（2019秋·九年级单元测试）计算的结果是（）A．2 B． C． D．1【答案】C【详解】解：原式=故选C．巩固训练1．（2023春·黑龙江大庆·八年级校考期中）下列计算结果是有理数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的运算法则和特殊角的三角函数值计算各选项，再判定即可得出答案．【详解】解：A、，结果是无理数，故此选项不符合题意；B、，结果是有理数，故此选项符合题意；C、，结果是无理数，故此选项不符合题意；D、，结果是无理数，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查二次根式运算，特殊角三角函数，有理数．熟练掌握二次根式运算和特殊角三角函数值是解题的关键．2．（2023秋·山东东营·九年级统考阶段练习）计算：．【答案】/【分析】根据特殊角三角函数值进行求解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知30度，60度角的三角函数值是解题的关键．3．（2022秋·黑龙江大庆·九年级校考期末）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用平方差公式及单项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并同类型即可；（2）先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，后计算加减．【详解】（1）解：原式；（2）原式．【点睛】此题考查了实数及整式的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算．题型六根据特殊角三角函数值求角的度数1．（2022·上海·九年级专题练习）若cosα＝，则锐角α的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【分析】根据cosα＝，求出锐角α的度数即可．【详解】解：∵cosα＝，∴α＝60．故选：C．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.2．（2022·上海·九年级专题练习）已知α为锐角，若，则α的度数是(

)A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【分析】根据60度角的正弦值是解答即可．【详解】解：∵α为锐角，，∴α=60°．故选C．【点睛】此题比较简单，只要熟知特殊角度的三角函数值即可．巩固训练1．（2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）在中，若，，这个三角形一定是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】根据特殊角的三角函数值求解．【详解】解：在中，，，，，，故为直角三角形．故选：B．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．2．（2022·湖北黄冈·统考模拟预测）在中，如果满足，则．【答案】/75度【分析】根据非负数的性质和特殊角的三角函数值求出，，再根据三角形内角和定理即可得出答案．【详解】解：，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，掌握两个非负数的和为0，则这两个非负数分别等于0是解题的关键．3．（2023·上海·九年级假期作业）求满足下列条件的锐角：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据特殊角的三角函数值求解即可；（2）根据特殊角的三角函数值求解即可．【详解】（1）解：由得，则；；（2）解：由得，则．【点睛】本题主要是对特殊锐角三角比的值的综合运用，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．题型七利用同角三角函数关系求值1．（2022春·九年级单元测试）若，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】对原式左右两边进行平方计算，然后结合同角三角函数关系求解即可．【详解】解：∵，∴，即：，∵，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查同角三角函数之间的关系，熟记并熟练运用基本结论是解题关键．2．（2022春·浙江·九年级专题练习）如图，已知是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用直角三角形的边角间关系，计算得结论．【详解】解：∵是斜边边上的高，∴都是直角三角形．在中，∵，故选项B不正确；在中，∵，故选项A、C不正确．在中，∵，∴．∴，故选项D正确．故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．巩固训练1．（2022秋·山东聊城·九年级临清市京华中学校考开学考试）在中，，，则值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用同角三角恒等式计算出，然后根据求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查了同角三角函数的关系：熟练掌握同角三角函数之间的关系．2．（2023春·广东汕头·九年级校考阶段练习）在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有，则△ABC的形状是．【答案】等边三角形【分析】根据非负数的性质求出tanB和sinA的值，然后求出∠A、∠B的度数，即可判断△ABC的形状．【详解】解：由题意得，tanB=，sinA=，则∠A=60°，∠B=60°，∠C=180°-60°-60°=60°．故△ABC为等边三角形．故答案为：等边三角形．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及非负数的性质．3．（2019春·九年级单元测试）如图1，2，3，根据图中数据完成填空，再按要求答题：____；____；____．（1）观察上述等式，猜想：在中，∠C=90°，都有____；（2）如图4，在中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理证明你的猜想；（3）已知∠A＋∠B=90°，且，求的值．【答案】填空：1；1；1；（1）1；（2）证明见解析；（3）．【分析】（1）根据三角函数的定义和所给信息可完成三个等式，再由前面的结论，即可猜想出在中，∠C=90°，的值；（2）在中，∠C=90°，利用锐角三角函数的定义得出，，则，再根据勾股定理得到，从而证明结论；（3）利用所得关系式，结合已知条件，进行求解即可．【详解】；；；（1）观察上述等式，可猜想：；（2）在中，∠C=90°∴，，，∴；（3）∵，，∴．故答案为：填空：1；1；1；（1）1；（2）证明见解析；（3）．【点睛】本题考查在直角三角形中互余两角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单．题型八互余两角三角函数的关系1．（2023春·上海普陀·九年级统考期中）在中，，已知，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用互余两角的三角函数关系求解，即可得到答案．【详解】解：在中，，，，，故选：A．【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系，解题关键是掌握一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．2．（2023春·湖北襄阳·九年级统考期中）在中，，下列等式不一定成立的（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据三角函数的定义逐项验证即可得到答案．【详解】解：、，，故本选项不符合题意；B、，，故本选项不符合题意；C、，，故本选项符合题意；D、，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查直角三角形中互余两角三角函数的关系以及三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是关键．巩固训练1．（2023秋·全国·九年级专题练习）三角函数，，的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：和都小于1，大于1，故最大；只需比较和，又，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较解答即可．【详解】根据锐角三角函数的概念，知．又∵，正弦值随着角的增大而增大，∴，∴，故选C．【点睛】本题考查锐角三角函数．掌握锐角三角函数的性质是解题关键．2．（2022秋·江苏泰州·九年级统考期中）在中，，a、b、c分别为、、的对边，若，则的值为．【答案】【分析】根据锐角三角函数的定义以及解一元二次方程进行解答即可．【详解】解：∵，即，∴，又∵，∴，∴（取正值），故答案为：．【点睛】本题考查锐角三角函数，理解锐角三角函数的定义以及解一元二次方程是正确解答的前提．3．（2023春·九年级单元测试）已知，且，求的值．【答案】【分析】把已知条件两边平方得到，再利用，则，然后得到，当，，于是，加上，利用加减法即可求得．【详解】解：∵，∴，即，而，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴，而，∴，∴．【点睛】本题考查了同角的三角函数的关系，利用好，并求出是解题的关键．题型九解直角三角形1．（2022·福建南平·统考二模）如图，将矩形ABCD放置在一组等距的平行线中，恰好四个顶点都在平行线上，已知相邻平行线间的距离为1，若，则矩形ABCD的周长可表示为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造直角三角形，运用三角函数的定义求得线段BC和CD的表达式，进而求得矩形的周长．【详解】解：如图，过D作DF⊥CE于点F，过B作BG⊥CE于点G，∵，，DF=2，∴，∵矩形ABCD，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，，∴，∵，∴矩形ABCD的周长为故选：B．【点睛】本题考查了三角函数的定义，构造直角三角形，运用三角函数的定义求相应线段的表达式是解题关键．2．（2021春·江苏·九年级专题练习）不能判断是直角三角形的条件是（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】对于A，B可根据比例关系分别求出各个角的度数，根据有一个角是直角的三角形为直角三角形即可判断，对于C，结合sin2A+cos2A=1，可求得sinB=cosA，即∠A与∠B互余，即可判断，根据勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形.【详解】对于选项A，∠A:∠B:∠C=2:3:5，设，则，∵,即∴△ABC是直角三角形；对于选项B，设∵解得，所以△ABC不是直角三角形；对于选项C，sin2A+sin2B=1，sin2A+cos2A=1，∴sinB=cosA，即∠A与∠B互余，则△ABC是直角三角形；对于选项D，AC2+BC2=AB2，则△ABC是直角三角形.故选B.【点睛】本题考查直角三角形的定义，同角的三角函数关系，互余两角三角函数关系，勾股定理的逆定理.要判断一个三角形是直角三角形，若已知角，只要判断有一个角是90°或者有两个角互余（类似本题A，B这种情况，其实只要能判断两角之和等于第三个角就可判断它是直角三角形），若已知边，则需要用勾股定理的逆定理判断.巩固训练1．（2023秋·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考阶段练习）在中，，若，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】画出图形，根据余弦的概念可得，根据勾股定理可得与的关系，即可求出．【详解】解：根据题意可得：，在中，，，故选：A．

【点睛】本题考查了余弦和正切的概念，解直角三角形，画出图形，根据三角函数的值转化到直角三角形的边长之比，是解题的关键．2．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）在Rt△ABC中，∠C＝90，sinA＝，则sinB＝．【答案】．【详解】解：在中，

又解得：故答案为：．3．（2023·全国·九年级专题练习）阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系（如图）：．一般地，当、为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：；．例如：．根据上述材料内容，解决下列问题：（1）计算：_______；（2）在中，，请你求出和的长．【答案】（1）；（2），【分析】（1）根据题干中的公式可求．（2）根据锐角的三角函数值，求AC和BC的值【详解】解：（2）中，∵，∴．∵，∴．【点睛】本题考查了同角三角函数关系，合理利用题干中告知的公式是本题的关键．题型十仰角俯角问题1．（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，小明站在点C处测得树顶A的仰角为，若小明的测量点到地面距离，测量点与树底距离，则这棵树的高度是（

）A．6m B．m C．m D．m【答案】D【分析】在中，利用正切函数的定义即可求解．【详解】解：∵，，，∴四边形是矩形，∴，，在中，，，∴，∴，故选：D．【点睛】此题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确构造直角三角形并熟练掌握锐角的三角函数概念是解题关键．2．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）北京2022年冬奥会计划于2月4日开幕，2月20闭幕．如图，表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为，底端点C与顶端点B的距离为50米．则赛道的长度为（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】根据，即可求解．【详解】解：根据题意可得：米，，，∵，∴（米），故选：C．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握正弦=对边与斜边之比．巩固训练1．（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，线段、分别表示甲、乙建筑物的高，于点，于点，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点处测得点的仰角为，则乙建筑物的高约为（）（参考数据：）

A． B． C． D．【答案】B【分析】作垂线构造直角三角形，再利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】过点作，垂足为，

由题意得：，，在中，，∴，∴，故选：．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．2．（2022春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门的顶部C的俯角为，底部D的俯角为，如果A处离地面的高度米，则起点拱门的高度为．（结果精确到1米；参考数据：，，）

【答案】6米【分析】作于，则四边形为矩形，根据矩形的性质得到，，根据正切的定义求出，结合图形计算即可得出答案．【详解】解：作于，则四边形为矩形，

∴，，由题意得：，，∴为等腰直角三角形，，∴米，∴米，∵在中，，∴（米），∴（米），故答案为：6米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．3．（2022秋·陕西宝鸡·九年级校考期末）宝鸡市文化景观标志“天下第一灯”，将炎帝之火、青铜之光和金凤还巢诸多元素综合在一起．小明想用所学的知识来测量该灯的高度．如图所示，他在B处安装了高为1．5米的测倾器（即米），其测得灯顶端E的仰角为37°；他从点B开始沿直线BF方向走了24米（即米），在D处竖立一长为1．5米的标杆CD（即米），发现水平地面上的点P、标杆的顶端C与灯顶E恰好在一条直线上，已知，，，米，根据测量示意图求该灯的高度．（参考数据：，，）

【答案】37.5米【分析】过点A作于点G，则四边形、四边形均为矩形，设米，则米，证明，列出比例式求出，进而求出，利用，列出方程进行求解即可．【详解】解：如图，过点A作于点G，则四边形、四边形均为矩形，

∴米，米，．设米，则米，∵，，∴，∴，即，∴，又∵米，，∴米，∵，即，∴，解得：，∴该灯的高度为37.5米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，同时考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．题型十一方位角问题1．（2022秋·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考阶段练习）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，则海轮行驶的路程的值为（）

A．海里 B．海里C．海里 D．海里【答案】C【分析】根据方向角的概念可知，由锐角三角函数的定义求出的值，在中根据求出的值，由即可得出结论．【详解】解：由题意得，，，∵，∴，∵，，，∴，∴（海里）故选C．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟知方向角的概念是解答此题的关键．2．（2023春·湖北随州·九年级校联考阶段练习）如图，在一笔直的海岸线上有，两个观测站，观测站在观测站的正东方向，有一艘小船在点处，从处测得小船在北偏西方向，从处测得小船在北偏东的方向，点到点的距离是千米则，两观测站之间的距离为千米注：结果有根号的保留根号（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】过点作于点，在中，可得千米，在中，，求出，根据可得答案．【详解】解：过点作于点，

由题意得，，，千米，在中，，千米，在中，，解得，千米．故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．巩固训练1．（2022·河北衡水·校考模拟预测）如图，某渔船正在海上处捕鱼，先向北偏东的方向航行到处，然后右转再航行到处．在点的正南方向，点的正东方向的处有一条船，也计划驶往处，那么它的航向是()A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东【答案】C【分析】连接，由题意得：，，，，，根据得出，进而根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：如图，连接，由题意得：，，，，，，，，，，即处在处的北偏东方向，故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．2．（2023秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）已知B港口位于A观测点北偏东方向，且其到A观测点正北风向的距离的长为，一艘货轮从B港口沿如图所示的方向航行到达C处，测得C处位于A观测点北偏东方向，则此时货轮与A观测点之间的距离的长为．

【答案】【分析】根据，和勾股定理求出的长，再根据求出的长，即可得到以及的长，进而得到答案．【详解】解：，，过点作．交的延长线于，在中，，，，，，即，，，在中，，，，．

故答案为：．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，根据已知构造直角三角形得到边长是解题的关键．3．（2023秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东方向上，且A，P之间的距离为32海里．

(1)若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？(2)如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自A处开始改变航行方向，沿南偏东度方向航行确保安全通过这一海域，求的取值范围．【答案】(1)有危险(2)时，轮船能安全通过这一区域【分析】（1）过P作于B，则的长是A沿方向距离P点的最短距离，求出最短距离，再比较比较即可；（2）设轮船沿南偏东航向是射线，过点P作于D，利用特殊角的三角函数值确定答案．【详解】（1）解：过点P作轮船航线于B，则的长是A沿方向距离P点的最短距离，由题意得，，∴在中，，∴，∴，∵，答：若轮船继续向正东方向航行有触礁危险．（2）解：设轮船沿南偏东航向是射线，过点P作于D，当时，角的度数最大，∵在中，，，∴，∴，∴，∴沿南偏东最大角度为方向航行确保安全通过这一海域，即时，轮船能安全通过这一区域．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，关键是如何构造直角三角形并知道求哪一条线段的长．题型十二坡度坡比问题1．（2023春·浙江宁波·八年级统考期中）如图，大坝横截面的迎水坡的坡比为∶，即∶∶，若坡面长度米，则坡面的水平宽度长为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据坡度的概念得到，根据勾股定理计算即可．【详解】解：坡面的坡度为：，，即，由勾股定理得，，则，解得，故斜坡的水平宽度的长为米．故选：D．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．2．（2023春·吉林长春·九年级统考开学考试）如图，一斜坡的坡度，小明同学沿斜坡的坡面从点A向上走了100米到达点B处，则小明上升的高度为（

）

A．米 B．20米 C．米 D．米【答案】A【分析】设米，根据坡度，得出，利用勾股定理求解即可．【详解】解：设米，因为斜坡的坡度，则米，小明同学沿斜坡的坡面从点A向上走了100米到达点B处，所以，，解得，，故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是根据坡度表示出两条直角边的长．巩固训练1．（2023·广东广州·统考一模）如图是一个山坡，已知从处沿山坡前进160米到达处，垂直高度同时升高80米，那么山坡的坡度为（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用勾股定理得出的长，进而利用坡度的定义得出答案．【详解】解：由题意可得：（米），则山坡的坡度为：，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理、解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题的关键．2．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）小华和小源利用无人机测量某座山的垂直高度．如图所示，无人机在地面上方130米的D处测得山顶A的仰角为，测得山脚C的俯角为．已知的坡度为，点A，B，C，D在同一平面内，则此山的垂直高度为米．（结果精确到0.1）（参考数据：，，，）

【答案】222.9【分析】过D作于点H，过点C作于点R，设米，则米，构建方程求解即可．【详解】解：过D作于点H，过点C作于点R，

设米，则米，∵，∴米，米，在中，米，∵∴解得，∴米，故答案为：222.9．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．3．（2023秋·山东聊城·九年级聊城市实验中学校考阶段练习）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A测得大树顶端的仰角为，沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡比为，，A，在同一水平线上．

(1)求小明从点A到点的过程中，他上升的高度．(2)大树的高度约为多少米参考数据：，，【答案】(1)小明从点A到点的过程中，他上升的高度为米(2)大树的高度约为米【分析】（1）作于，在中，，则．由勾股定理得,即可求出答案；（2）延长交于点设米．求出米在中，，则米在中，，则米．由得到，即可求得答案．【详解】（1）作于，如图所示，

在中，，．，，米答：小明从点A到点的过程中，他上升的高度为米（2）如图，延长交于点设米．由题意，得，米．米，米在中，，米在中，，米．，，解得．答：大树的高度约为米【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡角、仰角、三角函数的概念等知识是解题的关键．题型十三三角函数的其他应用1．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考阶段练习）如图，为了测量河岸，两点的距离，在与垂直的方向上取点，测得，，那么等于（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意知，，则，即，计算求解即可．【详解】解：由题意知，，∴，即，解得，，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．2．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为，已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意和图形，可以用含的式子表示出的长，从而可以解答本题．【详解】解：由题意可得，立柱根部与圭表的冬至线的距离为，故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．巩固训练1．（2023秋·河北保定·九年级校考阶段练习）马路边上有一棵树，树底距离护路坡的底端有3米，斜坡的坡角为60度，小明发现，下午2点时太阳光下该树的影子恰好为，同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，下午4点时又发现该树的部分影子落在斜坡上的处，且，如图所示，线段的长度为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，求出，延长，交于点，根据30度角的直角三角形即可求出结果．【详解】解：同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，米，树的高度是6米；延长，交于点，

，，，米，米，米，线段的长度为，故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及平行投影，解决本题的关键是作出辅助线得到的影长．2．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化名片，如图2，线段表示“铁军”雕塑的高，点，，在同一条直线上，且，，，则线段的长约为m.（计算结果保留整数，参考数据：）

【答案】【分析】由，可得，可推得，由三角函数求出即可．【详解】∵，，，∴，∴，又∵，∴，∵，∴解得，故答案为：．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出的长是解题关键．3．（2022·福建宁德·统考一模）某市游乐园有一座匀速旋转的摩天轮，其前方有一座三层建筑物，小明想利用该建筑物的高度来估计摩天轮的高度，他通过实际体验发现，摩天轮旋转一周需要24分钟，从最低点A处坐上摩天轮，经过3分钟到点B处时，该建筑物的屋顶正好在水平视线上．根据经验估计，该建筑物的第一层约为5米，其余两层每层约为3.5米，摩天轮最低点A离地面2米，在不考虑其它因素的前提下，估计摩天轮的高度是多少米．(参考数据：，，，最后结果保留整数米)

【答案】摩天轮的高度约为70米．【分析】延长交于点，通过旋转时间可以确定，由题意可得：米，米，设摩天轮的半径为米，通过解直角三角形即可求解．【详解】解：如图，延长交于点，延长交地面于点．

由题意知：，．设摩天轮的半径为米，则，由题意知：（米），（米）．∴．在中，∵，即：，解得：，摩天轮的高