13.3 等腰三角形（解析版）

2023-2024学年八年级数学上册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版）13.3等腰三角形1.理解和掌握等腰三角形的概念、性质和判定；2.理解和掌握等边三角形的概念、性质和判定；3.理解和掌握含30°锐角的直角三角形的性质。一、等腰三角形1.等腰三角形(1)概念：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两边叫腰，另一条边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰与底边的夹角叫作底角。(2)理解：①等腰三角形是特殊的三角形，它具备三角形所有的性质，如内角和是180°，两边之和大于第三边等。②等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高所在的直线是它的对称轴。【理解与拓展】①对于等腰三角形的问题，我们说角或边时，一般都要指明是顶角还是底角，是底边还是腰，如没有说明则都有可能，要讨论解决，这是解决等腰三角形最容易忽视和错误的地方。②等腰三角形的顶角可以是直角、钝角或锐角，而底角只能是锐角。2.等腰三角形的性质1(1)性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。(2)适用条件：必须在同一个三角形中。(3)应用格式：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C。3.等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。习惯上称作等腰三角形“三线合一”。4.等腰三角形的判定(1)判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)。(2)与性质的关系：判定定理与性质定理是互逆的。(3)理解：性质和判定应用的前提都是在同一个三角形中，并且不经过三角形全等的证明，直接由等边得等角或由等角得等边，所以应用起来更简单、便捷。【理解与拓展】等腰三角形的判定方法主要有两种：一是判定定理，二是定义。题型一等边对等角如图，在中，，点P是AB边上的一个动点（不与顶点A、B重合）．则的度数可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先证明，再利用三角形的外角可得，结合，可得，从而可得答案．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴；故选B1．已知，​若，则的度数为（）A． B． C． D．无法确定【答案】B【分析】由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可求的度数，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故选：B．2．如图，在等腰中，，是边上的高，点是高上任意一点，点是边上任意一点，，，，则的最小值是（

）A．3 B．5 C． D．【答案】D【分析】如图所示，过点E作于H，连接，先证明得到，再证明得到，进而推出当三点共线且点F与点H重合时，有最小值，即此时有最小值，利用等面积法求出的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点E作于H，连接，∵，是边上的高，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴当三点共线且点F与点H重合时，有最小值，即此时有最小值，∵，∴，∴的最小值为，故选D．

题型二三线合一如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，连接，只要证明，即可推出，由，推出、、共线时，的值最小，最小值为的长度；【详解】如图连接PC，∴垂直平分，∴、、共线时，的值最小，最小值为的长度；

故选B1．如图，在中，是上一点，，垂直平分，于点，的周长为，，则的长为（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【答案】C【分析】根据三线合一的性质，得出，再根据垂直平分线的性质，得出，再根据等量代换，得出，进而得出，即可得出答案．【详解】解：周长，，，，，，∴，又∵垂直平分，∴，∴，∴，，．故选：C．2．汝州风穴寺三大国宝之一“宋代悬钟阁”的建筑风格堪称“咫尺之内造乾坤”．如图，“悬钟阁”的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解．【详解】解：，，，即是的高线，是等腰三角形，，是的角平分线，故A选项不符合题意；若，不能说明是的角平分线，故B选项符合题意；是等腰三角形，，是的角平分线，故C选项不符合题意；，，是的角平分线，故D选项不符合题意；故选：B．题型三等角对等边证明等腰三角形如图，已知在中，平分，平分，且，，若，则的周长是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据角平分线，平行线的性质，可得是等腰三角形，将的周长转换为的长，由此即可求解．【详解】解：∵平分，平分，∴，，∵，，∴，，∴，，∴是等腰三角形，即，∴的周长是，故选：．1．在中，，，D为线段上一点，且点D到、距离相等，则的形状为（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形【答案】C【分析】根据等边对等角求出，再根据角平分线的判定得到点D在的平分线上，即可求出，即可证明等腰三角形．【详解】解：∵，，∴，∵点D到、距离相等，∴点D在的平分线上，∴，∴为等腰三角形，故选C．2．的三边分别是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（

）A． B．C．， D．【答案】D【分析】根据等腰三角形的判定，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．【详解】解：A、因为，，所以，所以是等腰三角形；B、因为，所以设，则有两边相等的是等腰三角形；C、因为，所以，则，所以是等腰三角形；D、因为，，则，那么，，不能判定是等腰三角形．故选：D.题型四等角对等边证明边相等如图，在中，点O是内一点，连接、，垂直平分，若，，则点A、O之间的距离为（

）A．4 B．8 C．2 D．6【答案】A【分析】连接，由垂直平分线的性质可得，由等角对等边可得，即可求解．【详解】解：如图，连接，

∵垂直平分，∴，∵，，∴，∴，故选：A．1．如图，在中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交边于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点M，连接交于点E，过点E作交AB于点D，若，，则的周长为（

）A．8 B．11 C．10 D．13【答案】A【分析】根据作图得出，根据平行线的性质得出，等量代换得出，进而根据等角对等边得出，进而代入数据即可求解．【详解】解：由作图方法可知是的角平分线，∴，，，，，，∴的周长为8，故选A．2．如图，在中，和分别平分和，过作，分别交，于点，，若，，则线段的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得，进而可得，即得，再结合已知数据求解即可.【详解】解：∵和分别平分和，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴；故选：A.题型五等角对等角求边长如图，在中，的平分线交于点D，，过点D作交于点E，若的周长为16，则边的长为（）A．10 B．8 C．6 D．16【答案】A【分析】由题意可知，，有，可知，由三角形的周长可求的值，由可求的值．【详解】解：是的平分线∵∴∴∴∵的周长为16，∴∵，∴∴故选A．1．如图，在中，，，点D在上，，将线段沿着方向平移得到线段，点E，F分别落在，边上，则的周长为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】因为平移，所以，，，再根据，，得，，等角对等边，即，即可知道的周长．【详解】解：∵将线段沿着方向平移得到线段，∴，，，∵，，∴，，∴，∴，∴的周长为：，故选：C．2．在中，和的度数如下，能判定是等腰三角形的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根据等腰三角形性质，利用三角形内角定理对4个选项逐一进行分析即可得到答案．【详解】解：A、，不能判定是等腰三角形，故本选项不符合题意；B、，不能判定是等腰三角形，故本选项不符合题意；C、，能判定是等腰三角形，故本选项符合题意；D、，不能判定是等腰三角形，故本选项不符合题意；故选C．二、等边三角形1.等边三角形(1)概念：三边都相等的三角形是等边三角形。(2)认识：它是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质。(3)性质：等边三角形的3个内角都相等，并且每一个角都等于60°。【理解与拓展】等边三角形是轴对称图形，一共有3条对称轴。它的三边相等，3个内角相等，各边上的高、中线、对应角的平分线重合，且长度相等。2.等边三角形的判定(1)判定定理：①3个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。(2)判定方法：等边三角形的判定方法有3种，一是定义，另运用两个定理。【理解与拓展】关于等边三角形的判定定理，有时候在一个三角形中只要有两个角是60°，也可判定它是等边三角形。3.含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。【理解与拓展】①该性质是含有30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形没有这个性质，更不能应用。②这个性质主要应用于计算或证明线段的倍数关系。③该性质的证明出自等边三角形，所以它与等边三角形联系密切。题型六等边三角形的性质如图，是等边三角形，，若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】过C作，根据平行线的性质得到，，根据等边三角形的性质可得，再计算即可．【详解】解：如图，过C作，∵，∴，∴，∵是等边三角形，∴，∴，故选B．

1．如图，，等边的顶点，分别在，上，若，则的大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由是等边三角形，得到，求出，由平行线的性质得到．【详解】解：是等边三角形，，，，，．故选：C．

2．如图，是等边的一条中线，若在边上取一点，使得，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等边三角形的性质可得，再由，可得，即可求解．【详解】解：∵是等边三角形，∴，∵是等边三角形的中线，∴，∴，∵，∴，∴．故选：D．题型七等边三角形的判定下列说法错误的是（

）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合C．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等D．三个角都相等的三角形是等边三角形【答案】B【分析】根据等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故该选项正确，不符合题意；B.等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合，故该选项不正确，符合题意；C.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，故该选项正确，不符合题意；D.三个角都相等的三角形是等边三角形，故该选项正确，不符合题意；故选：B．1．若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（）A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．正三角形【答案】D【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．【详解】解：根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为正三角形．故选：D．2．若三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等，则该三角形一定为（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等边三角形 D．等腰三角形，但不一定为等边三角形【答案】C【分析】三角形的三条角平分线交于一点，这点到三个顶点的距离相等，由此可知三角形的三个内角相等，则三角形为等边三角形．【详解】如图：

∵内的三条角平分线的交点D到三个顶点的距离相等，∴，∴，又∵，∴，∴三角形为等边三角形；故选：C

题型八含30°角的直角三角形的性质如图，为等边三角形，于点D，点E为线段上的动点，连接，以为边在下方作等边，连接，则线段的最小值为（）A．2 B． C．1 D．【答案】C【分析】由等边三角形的性质可得三角形全等的条件，从而可证，推出，再由垂线段最短可知当时，值最小，利用含角的直角三角形的性质定理可求的值．【详解】解：∵为等边三角形，，∴，∵为等边三角形，∴，∴，∴，∴在和中，，∴，∴，当时，值最小，此时，∴，即线段的最小值为1．故选：C．1．如图，在中，为直角，，于D，若，则的长度是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】首先求出，可得，然后利用含直角三角形的性质求出和即可．【详解】解：∵为直角，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故选：B．2．如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为E，，则（

）A． B．2 C．3 D．【答案】C【分析】根据角平分线的性质求出，根据含30度角的直角三角形的性质求出，即得答案.【详解】解：∵是的角平分线，，，∴，∵，，∴，∴；故选：C.一、单选题1．已知中，，若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等腰三角形两底角相等得出，再根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵，，，．故选：C．2．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理，计算出的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等边对等角，得出，再根据角之间的数量关系，计算即可得出的度数．【详解】解：平分，，，，是线段的垂直平分线，，，，故选：B．3．下列命题是真命题的是（）A．相等的角是对顶角B．一个角的补角是钝角C．如果，那么D．等腰三角形的对称轴是顶角平分线、底边的高线、底边的中线所在的直线【答案】D【分析】根据命题，对顶角、补角、等腰三角形的性质等知识对各选项进行判断即可．【详解】解：相等的角不一定是对顶角，故A不符合题意；钝角的补角是锐角，故B不符合题意；当，则，那么，故C不符合题意；等腰三角形的对称轴是顶角平分线、底边的高线、底边的中线所在的直线，故D符合题意．故选：D．4．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（

）A．等边对等角 B．等角对等 C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质解答即可．【详解】解：∵，，∴，故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，故选：D．5．在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使为等腰三角形，则点P有（）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个【答案】C【分析】分三种情况讨论：以为腰，点为顶角顶点；以为腰，点为顶角顶点；以为底．【详解】解：如图：如图，以为腰，点为顶角顶点的等腰三角形有5个；以为腰，点为顶角顶点的等腰三角形有3个；不存在以为底的等腰，所以合计8个．故选：C．6．如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是()A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根据题意可得，进而可得，得出，根据垂直平分线的性质可得，进而得出，根据角平分线的定义得出，进而可得，，得出，，得出，进而即可求解．【详解】解：在中，，是等腰三角形；，，，点在的垂直平分线上，，是等腰三角形；，，平分，，，，是等腰三角形；，，，，是等腰三角形；，，是等腰三角形；，，是等腰三角形，综上所述，等腰三角形有，，，，，共个，故选：D．7．在中，，，则是（

）A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，根据等角对等边即可得出结论．【详解】解：∵在中，，，∴，∴，∴，∴是等腰三角形，故B正确．故选：B．8．如图，点在内部，平分，，连接若的面积为，则的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】延长交于D，由角平分线的定义得到，由余角的性质推出是等腰三角形，由等腰三角形的性质得到，即可得到的面积的面积．【详解】解：延长交于，平分，，，，，，，的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积的面积的面积，的面积的面积．故选：B．9．如图，点P是的角平分线上一点，点Q是上一点，且，若，则线段的长是（

）A． B． C．3 D．2【答案】D【分析】利用角平分线的定义以及平行线的性质推出，据此即可求解．【详解】解：∵点P是的角平分线上一点，∴，∵，∴，∴，∴，故选：D．10．如图，已知点A，B的坐标分别为和，在x轴上找一点C，使是等腰三角形，则符合条件的点C共有（

）A．3个 B．4个 C．6个 D．7个【答案】B【分析】分三种情形，，，，分别画图即可．【详解】解：如图，当时，以点A为圆心，为半径画圆，与坐标轴有三个交点（B点除外），当时，以点B为圆心，为半径画圆，与坐标轴有三个交点（A点除外），当时，画的垂直平分线与坐标轴有2个交点，综上所述：符合条件的点C的个数有4个，故选：B．二、填空题11．在平面直角坐标系中，点，，，若点满足；为等腰直角三角形且，则符合题意的点共有个．【答案】4【分析】根据题意，分三种情况讨论：①为腰且；②为腰且；③为底边且，确定符合条件的点个数，再根据，便可得到答案．【详解】解：如图①为腰且时，可得，②为腰且时，可得，③为底边且时，可得，∵∴和不符合题意，其它4个都符合题意故答案为412．如图，在等腰中，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合．若，则的度数是．【答案】【分析】延长交于点，连接、，交于点，由折叠得，则，由，平分，得垂直平分，则，，所以，由垂直平分，得，则，于是得，求得，则，于是得到问题的答案．【详解】解：延长交于点，连接、，交于点，点沿折叠后与点重合，点与点关于直线对称，垂直平分，，，，，平分，垂直平分，，，，垂直平分，，，，，，，故答案为：．13．如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则．【答案】2【分析】连接，等积法进行求解即可．【详解】解：∵为等边三角形，∴，连接，

则：，∵边上的高线，于点E，于点F．∴，即：，∴；故答案为2．14．如图，，平分，且，．的长是，若点M、N分别在射线、上，且为等边三角形，则满足上述条件的有个．【答案】1无数【分析】（1）先在中，证明，再利用角所对直角边是斜边的一半即可得答案；（2）先作辅助线，再利用三角形全等证明只要，就是等边三角形，这样就得到满足条件的三角形有无数个【详解】（1）∵，平分∴∴又∵∴故填：1（2）解：如图在、上截取，作．∵平分，∴，∵，∴，是等边三角形，∴，，∴，在和中，，∴．∴，∵，∴是等边三角形，∴只要，就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．故答案为：无数三、解答题15．如图，已知于点A，于点A，．(1)求证：；(2)求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据垂直的定义可得，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，即可证明结论成立；（2）根据等腰直角三角形的判定定理即可得到结论．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，即，在和中，，∴，∴；（2）解：∵，，∴是等腰直角三角形，∴．16．如图（1），在中，，的平分线相交于O点，过O作．(1)求证：；(2)如图（2），过A作，其他条件不变，探索，，之间有什么关系？证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析【分析】（1）根据角平分线的性质得，由，根据平行线的性质得，利用等量代换得到，然后根据等腰三角形的判定得到，同理可得，于是有；（2）根据角平分线的性质得，由，根据平行线的性质得，利用等量代换得到，然后根据等腰三角形的判定得到，同理可得，于是有．【详解】（1）解：证明：平分，，，，，，同理可得，；

（2）．理由如下：平分，，，，，，同理可得，．

17．如图，已知．(1)用直尺和圆规按下列要求作图：作的角平分线；作，交的延长线与点E；作，垂足为F．(2)图中的、相等吗？证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)，证明见解析【分析】（1）根据题目要求，进行作图即可；（2）根据，得出，进而得出，根据角平分线的定义得出，则，根据等腰三角形的性质即可得出结论．【详解】（1）解：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，交于点G、H；再分别以点G、H为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点I，连接点，交于点D，即为所求；②以点D为圆心，任意长为半径画弧，交于点K、J；再以点B为圆形，同样的长度为半径画弧，交于点L；以点L为圆心，长为半径，交以点B为圆心画的弧于点M，连接，交延长线于点E，即为所求；③以点A为圆心，大于点A到距离为半径画弧，交于O、P两点；再分别以点O、P为圆心，大于为