电路原理课件

第一章电路的基本概念和基本定律主要内容:1>电路元件;2>电压电流的参考方向;3>基尔霍夫定律;4>无源电阻网络的简化;5>Y－

变换.

第一节电路和电路元件1）由电气设备以各种方式连接组成的总体称为电路。简单电路如手电筒，包括电池、灯泡、开关及连线复杂的电路如超大规模集成电路、通信网络、自动控制系统、高压电网等。2）为了对实际电路进行分析研究，把各种各样的实际电路元件根据其主要物理性质，抽象成理想化的电路模型元件，这些元件包括电阻元件、电感元件、电容元件、独立电源元件、受控源元件、二端口和多端元件等。3）电路计算基本物理量及单位：电流（安培）1安培=1库仑/秒

1A=103mA=106

A

电压（伏特）1伏特=1焦尔*1库仑1V=103mV=106

V

电功率（瓦特）1瓦特=1安培*1伏特

1KW=103W

电能（焦尔）1焦尔=1瓦特*秒电能（度）1度=1千瓦小时（KW•h）=3.6×106J1.1电阻元件电阻：端电压与电流有确定函数关系，体现电能转化为其它形式能量的二端器件，用字母R来表示，单位为欧姆

。实际器件如灯泡，电热丝，电阻器等均可表示为电阻元件。

伏安特性是用图形曲线来表示电阻端部电压和电流的关系，当电压电流成比例时（特性为直线），称为线性电阻，否则称为非线性电阻。表示符号伏安特性U=f(I)线性电阻的电压电流特性符合欧姆定律

U=R×IUIR=电阻:电导:IUG=电阻元件消耗的功率：U2RP=U×I=I2×R=电阻元件消耗的能量：W==P×t=I2Rt1.2电容元件1）电容元件是体现电场能量的二端元件，用字母C来表示，其单位为法拉（F）。2）电容上储存的电荷与端电压U

之间关系3）当电压和电流如图方向时，有

电容电压与电流具有动态关系.4)电容电压具有“记忆”功能记忆单元物理模型5)分布电容和杂散电容概念导体间电位差电场电荷积累电容效应1.3电感元件1）电感元件是体现磁场能量的二端元件，用字母L来表示，其单位为亨利（F）。2）电感交链的磁通链

与电流i

之间有

=Li

3）当电压和电流如图方向时，有

磁链1.4独立电源元件1）独立电压源独立电压源两端提供一个恒定或随时间按一定规律变化的电压，与流过电压源的电流无关。

右图是电压源的常用符号，Us表示电压源从正到负有Us伏压降。

非零电压源不能直接短路，两个不等值的电压源不能并联。当电压源数值Us=0时，相当于一根短路线。2）独立电流源独立电流源端部流出一个恒定或随时间按一定规律变化的电流，与电流源端部电压无关。

右图是电流源的常用符号，Is表示电流源端部流出的电流值。

非零电流源不能开路

，两个不等值的电流源不能串联。当电流源数值Is=0时，相当于电路开路。I1=Us1/R1

I2=Us2/R2I3=(Us1＋Us2)/R3I11=I1＋I3I22=I2＋I3电流计算举例当电压源数值Us=0时，相当于一根短路线。当Us2=0V时，

I2=0I22=I3理想电源与实际电源理想电压源实际电压源*电源信号的分类及意义*1)直流电信号

2)正弦交流信号

3)方波信号

4)三角波信号

5)一般信号不同类型信号源传输特点:电压型发送端接收端线路阻抗电流型接收端发送端线路阻抗电流环

受控电源是一些实际电路器件的理想化模型，它们的输出电压和电流受到电路中其它部分电压或电流的控制，故又称非独立电源。受控电源分受控电压源和受控电流源，它们为四端元件。1.5受控源元件电流控制电流源

CurrentControlCurrentSource

简写为CCCS

三极管集电极电流IC

受基极电流Ib控制。实际三极管元件等效于一个电流控制的电流源。受控源物理模型三极管元件

Ic=

Ib

为电流放大系数受控源模型受控源类型电压控制电压源VoltageControlVoltageSource(VCVS)电压控制电流源VoltageControlCurrentSource(VCCS)电流控制电压源CurrentControlVoltageSource(CCVS)电流控制电流源CurrentControlCurrentSource(CCCS)含受控源电路计算例1图示电路，已知Us=10V,R1=R2=R3=10,=10，求R3上电压为多少？解：控制变量I=R3上电压

受控电压源电压I=10×1=10V例2图示电路，已知Us=10V,R=10,当

=2，0，－2时，求I1为多少？特别当

=-1时，I1为无穷大，电路无解。解：I2=当

=2时，I1=

当

=0时，I1=

当

=-2时，I1=第二节电压电流的参考方向1）支路电流的参考方向是任意规定的正电荷运动方向，图示电路表示电流参考方向为从a流向b。I=1AI=－1A电流代数值是在指定参考方向下的数值。

如图电路，若I=1A，则表示实际电流方向与参考方向一致，若I=－1A，则表示实际电流方向与参考方向相反。2）电压参考方向是指电压降落的方向，可用+、－符号表示，也可以用带箭头线表示，如图所示。电路描述和计算时，首先要设定电压电流的参考方向，然后才能写出表达式，并进行计算。支路电压表达式书写U=I×RU=－I×R电阻上电压电流参考方向不同时，欧姆定律有不同的表达式U=－I×R＋UsU=I×R＋Us支路电压表达式（各串联元件电压降之和）U=I×R－UsU=－I×R－Us支路电压表达式（各串联元件电压降之和）注意：熟练书写一段支路的电压表达式是书写各种电路方程的基础，必须熟练掌握！参考方向是电路课程的重要概念，电路中电流的描述和计算都是在一定参考方向下进行，电流的表达式、数值和电路中电流的参考方向是密切相关的。电路作业解题计算必须画出电路图,并标注电压电流参考方向！注意：电路及参考方向如图，已知R1=R2=R3=10

，Us1=Us2=Us3=12V,Is1=1A,Is2=2A,Is3=3A,求Uad。参考方向应用举例解：Uad=U1－U2＋U3U1=Us1+I1×R1=Us1＋Is1×R1=12＋1×10=22V例1：U2=I2×R2＋Us2=－Is2×R2+Us2=－2×10＋12=－8VU3=Us3－I3×R3=Us3－Is3×R3=12－3×10=－18VUad=U1－U2＋U3

=22－(－8)＋(－18)=12V例2：电路如图,已知求和电压。解：功率

直流电路中某器件的功率是电压(伏）和电流（安）的乘积注意:

上式中U、I均需设定参考方向P=U×I

功率的单位是瓦(W)

若器件电压电流参考方向一致（称作关联参考方向），如图所示关联参考方向P=U×I>0表示该器件吸收功率；P=U×I<0表示该器件发出功率；则功率计算时：P=U×I若器件电压电流参考方向不一致（称作非关联参考方向），如图所示注意：式中U、I均为对应参考方向下的电压电流代数值。非关联参考方向P=U×I>0表示该器件发出功率；P=U×I<0表示该器件吸收功率；则功率计算时：P=U×I功率计算例1.电路及方向如图，已知Us=10V,Is=2A,R=10R,求电压源、电流源和电阻的功率。电阻功率：PR=UR×I=－20×(－2)=40W（消耗功率）电压源功率：PU=US×I=10×(－2)=－20W（消耗功率）电流源功率：PI=UI×IS=30×2=60W（发出功率）解：I=－Is=－2AUR=I×R=－2×10=－20VUI=－UR＋Us=20＋10=30V最大功率传输

如图电路，R0和U0已知，负载R可变，问当R为多大时它吸收的功率最大？当R变化时，为求P的最大值，对P求导，并令最大功率为：解得R=R0，此时电阻R获得最大功率,解：电阻R吸收的功率为讨论:

最大功率传输时,负载能获得最大功率,但系统效率为50%.

对于能量传输系统(电力系统),考虑的是系统效率,最大功率传输方式要根据具体情况而定.

第三节基尔霍夫定律支路：单个或若干个二端元件所串联成的电路。节点：两条以上支路的交汇点。回路：若干条支路组成的闭合路径。6条支路4个节点3条回路

注意：该电路除上述3条回路外，还可选择多条不同的回路。支路、节点、回路的概念KIRCHHOFF’SLAW1）基尔霍夫电流定律电路中任一节点电流的代数和为零

其中流出节点的电流取正号，流入节点的电流取负号。节点1：－I1＋I2＋I3=0节点2：－I3＋I4＋I5=0节点3：－I2－I4＋I6=0节点4：I1－I5－I6=0Kirchhoff’sCurrentLaw(KCL)2）基尔霍夫电压定律电路任一闭合回路中各支路电压（元件电压）的代数和为零支路（元件）电压方向与回路绕行方向一致时取正号，相反时取负号。回路1：－U2＋U3＋U4=0回路2：－U1－U5－U3=0回路3U4＋U6＋U5=0注意：支路电压方向取为与支路电流方向一致。Kirchhoff’sVoltageLaw(KVL)回路1：I3×R3

＋I4×R4＋Us2=0回路2：Us1－I5×R5－I3×R3=0回路3：I4×R4＋I6×R6－I5×R5=0把支路电压用支路元件电压来表示，得：回路1：I3×R3

＋I4×R4=－Us2回路2：－I5×R5－I3×R3=－Us1回路3：I4×R4＋I6×R6－I5×R5=0上式可写为

任一支路电阻压降代数和等于电压源代数和，电阻电流方向与回路方向一致时，RI前取正号，反之为负；电压源压降方向与回路方向一致时，Us为负，反之为正。得KVL的另一个形式为：

电压降电压升讨论:

电路中电压电流的变化遵循两类约束条件:第二类是元件连接关系(拓扑约束)基尔霍夫定律第一类是元件特性关系(电压电流关系VCR)利用两类约束条件解复杂电路

右图电路，若电阻和电压源的数值均已知，则由KCL和KVL得方程：节点1：－I1＋I2＋I3=0节点2：－I3＋I4＋I5=0节点3：－I2－I4＋I6=0回路1：I3×R3

＋I4×R4=－Us2回路2：－I5×R5－I3×R3=－Us1回路3：I4×R4＋I6×R6－I5×R5=0由上面6个方程可解出6个支路电流变量。第四节电压源和电流源的等效替换==等效替换是指：左图的RS和US替换为右图的RS和IS，其端口电压U和电流I的关系不变。

对于任意变化的负载电阻R，若RS和US电路时的电压电流与RS和IS电路时完全一样，则在电路计算时，RS和US电路（电压源电路）与RS和IS电路（电流源电路）可等效替换。等效替换条件左图：U=US－I×RS,右图：U=IS×RS

－I×RS等效的条件：US=IS×RS

或IS=

US/RS==

在电路计算时，与电阻RS串联的电压源US可等效为与电阻并联的电流源IS。等效替换同时适用于独立源和受控源。例:求I的值.依此类推,可简化左侧电路。例:如图电路，已知IS1=1.5A,R2=R3=8,=4,求I2和I3？解：由电压源和电流源等效替换，把支路2的受控电压源转换为受控电流源。由US=RS×IS

I3=R2×IS得等效电流源为I3/R2，电路如下图由分流公式可得：代入数据有I3=0.5（1.5＋0.5I3）

I3=1A

I2=IS1－I3=0.5A

电压源和电流源的等效互换可简化电路计算。第五节无源电阻网络的简化1）一端口网络的简化一端口网络：任一复杂电路通过两个连接端子与外电路相连。

无源一端口网络：一端口网络内无独立电源，称为无源一端口网络，常用方框加P来表示一个无源网络。无源一端口网络可简化为一等值电阻。Ro=R1＋1》利用串并联方法简化2》利用电路的对称性简化例1图示电路，R1=1

，R2=2

，R3=2

，R4=4

，

R5=1

，求Rab？解：由于R1/R3=R2/R4，一端口网络为平衡电桥，电阻R5上的电压和电流为零，在电路计算时可移去R5电阻，可得简化规则：电路中某一条支路电流为零，则该支路可开路电路中某一条支路电压为零，则该支路可短路例2图示电路，所有电阻阻值均为R，求Rab?解：由电路的对称性可知，cdef为等位点，计算时dc和ef支路的电阻可移去，ab间为3条并联支路，Rab为例3：图中各电阻都是R，求ab间的等效电阻。例4：图示电路为向右无限长电阻网络，各电阻值是R，求入端等效电阻R0。解：右侧为无限长，则去掉第一节两个电阻后，入端电阻值不变。2）Y－

变换1）Y－

变换概念：Y型电路

型电路Y－

等效转换

如果左图中

连接的三个电阻R12、R23、R31用右图Y连接的三个电阻R1、R2、R3来替换，并使流入三个端部的电流和端部电压保持不变，对于外电路来说，Y或

电路等效，这种变换为Y－

等效转换。

为使得变换后外电路状况不变，Y和

连接的电阻数值要满足一定转换关系。Y－

变换电阻等效公式

断开3端，1－2端电阻应相等同理，分别断开2和1端，有等式由上面三式，解得上式为

Y变换式，已知

电阻，可由上式求Y电阻。由上面三式可求出逆变换上式为Y

变换式，已知Y电阻，可由上式求

电阻。等效变换记忆法R

相邻电阻乘积RY=R

RY两两相乘之和R

=RY相对电阻特别当Y和

三个电阻相等时，有

R

=3RY例1

已知R1=20

，R2=10，R3=50，R4=30，R5=5，R6=4，US=10V，求支路电流I6=？解：把

连接R1、R3、R4转换为Y连接，如下图所示，由Y转换式，转换后电阻为：201050305610151054由Ra=10,Rb=6,Rc=15,得610151054例:电阻网络的简化.求图示电路的等效电阻.(1)(2)（3）（4）（5）利用对称性求解:本章小结1）电路基本器件：电阻，电容，电感；独立电压源，独立电流源；受控电源：VCVS，VCCS，CCVS，CCCS2）参考方向：电路分析与计算必须先标出参考方向，功率判别。3）基尔霍夫定律：KCLKVL4）电路的等效和简化：电压源/电流源、Y/

、对称性等。

本章内容

1.网络图论初步2.支路电流法3.网孔电流法4.回路电流法5.节点电压法6.改进节点法

7.割集电压法第二章(1)电路基本分析方法概述

本章讨论线性电阻电路的一般分析方法，包括：

支路电流法回路电流法网孔电流法节点电压法割集电压法

分析方法的理论基础是基尔霍夫电压定律（KVL）和电流定律（KCL），以及元件电压电流关系。通过建立电路方程来分析计算电路中的电压电流功率，并讨论如何借助网络图论的知识来选取独立方程。

本章内容是电路分析的基础，掌握各种计算方法对电路分析是十分重要的。讨论:电路方程的建立

右图电路，若电阻和电压源的数值均已知，则由KCL和KVL得方程：回路1：I3

×R3

＋

I4×R4=－Us2回路2：－I5

×R5－I3

×R3=－Us1回路3：I4×R4＋

I6

×R6－I5

×R5=0回路4：I6

×R6=Us1+Us2(外围回路,顺时针)

回路5：........通过网络图论知识来选取一组合适的方程.节点1：－I1＋I2＋I3=0节点2：－I3＋I4＋I5=0节点3：－I2－I4＋I6=0节点4：I1－I5－I6=02.1网络图论的概念图的概念：对于一个由集中参数元件组成的电网络，若用线段表示支路，用黑圆点表示节点，由此得到一个由线条和点所组成的图形，称此图为原电网络的拓扑图，简称为图。2.1.1电路图与拓扑图实际电路图线图是由点（节点）和线段（支路）组成，反映实际电路的结构（支路与节点之间的连接关系）。对应的线图有向图

如果线图各支路规定了一个方向（用箭头表示，一般取与电路图中支路电流方向一致），则称为有向图。有向图b表示支路数

n表示节点数表示网孔数回路：由若干支路组成的通路。网孔回路：回路内无任何支路，则此回路称为网孔回路。

当图的任二节点间至少存在一条通路时，称为连通图，否则为非连通图。非连通图

连通图任二个节点之间至少存在一个回路，则称为不可分图，否则为可分图。可分图有向图结构形式:

如果图能无任何交叉地画在平面上，则称为平面图，否则为非平面图。非平面图=b－

n＋

1连通平面不可分图的网孔数为2.1.2树的概念

树T是图G的一个子图，它包含所有节点与一些支路的集合。树T满足下面三个条件：T是连通的；包含G的全部节点；不包含回路。树T1有向图G树T2

有向图树的选择是不唯一的，一般可选出多个树。树支、连支、单连支回路树T所包含的支路称为树支；（图中支路1、2、3）图G中其余的支路称为连支；（图中支路4、5、6）树支数=n

－1(节点数减1）连支数=支路数－树支数

=b－

n＋1=（网孔数）单连支回路回路1回路2回路3单连支回路：每一连支可与其两端之间的唯一树支路径构成一条唯一的回路。此回路称为单连支回路。回路方向与连支一致。如选1、2、3为树支，则有连支4、5、6组成的单连支回路如下

选定了有向图的树，则单连支回路的路径与方向也唯一确定了。选1、4、6为树的单连支回路。选1、2、3为树的单连支回路。已知连支电流可解出电路各支路电流!2.1.3割集割集是图的一个子集（某些支路的集合），满足移去该子集，连通图分为两部分；少移去其中任一条，图保持连通。

割集用符号CS来表示，规定了割集的方向，则割集又可看成一个闭合面。割集为一个广义的节点，流出割集表面的电流代数和为零。如图，割集CS1包含1、2、3支路，割集CS2包含1、2、5、6支路，割集CS3包含1、4、6支路。单树支割集

选定一个树，每一割集只包含一条树支，则称为单树支割集。单树支割集的方向取与树支方向一致。如图，选1、2、3支路为树支，则单树支割集如图所示。已知树支电压可解出电路各支路电流!割集1包含的支路：1，4，6割集2包含的支路：2，4，5，6割集3包含的支路：3，5，6小结本节主要介绍网络图论的基本知识，需掌握的主要知识点有：节点、支路、回路、网孔有向图树、树支、连支、单连支回路割集、单树支割集

网孔回路数=单连支回路数=支路数－节点数＋1

以支路电流作为未知量，直接应用KCL和KVL建立电路方程，然后求解所列的方程组解出各支路电流，这种方法称为支路电流法。2.2支路电流法电路节点数为n，支路数为b.

为求b个支路电流，必须有b个独立方程。

如图所示电路，共有4个节点，6条支路，设电源和电阻的参数已知，用支路电流法求各支路电流。下面介绍支路电流法求支路电流的步骤及方程的选取：1>.

对各支路、节点编号，并标出支路电流的参考方向。2>.

根据基尔霍夫节点电流定律，列出节点电流方程：节点1：-I1-I2+I3=0节点2：+I2+I4+I5=0节点3：-I3-I4+I6=0节点4：+I1-I5-I6=0注意：节点4的电流方程为其余3个方程的线性组合，此方程为非独立方程，在计算时应删除。在用支路法计算时，只需列出n-1

个独立的节点电流方程。建立节点电流方程3>.

根据基尔霍夫回路电压定律，列出回路电压方程：建立回路电压方程时，可选取网孔回路或单连支回路。电路中无电流源支路时，可选择网孔回路。网孔回路电压方程必为独立方程。网孔回路电压方程数=b（支路数）－n（节点数）＋1建立回路电压方程回路1：I1×R1－US1－I2×R2＋I5×R5=0回路2：I3×R3＋US3－I4×R4＋I2×R2=0回路3：I4×R4＋I6×R6－I5×R5=0

图中设定三个网孔回路的绕行方向，列出回路电压方程：解出支路电流4>.

由n-1个节点电流方程和b-n+1个网孔电压方程（共b

个方程）可解出b个支路电流变量。回路1：I1×R1－US1－I2×R2＋I5×R5=0回路2：I3×R3＋US3－I4×R4＋I2×R2=0回路3：I4×R4＋I6×R6－I5×R5=0节点1：-I1-I2+I3=0节点2：+I2+I4+I5=0节点3：-I3-I4+I6=0由上面的六个方程可解出六个支路电流变量。支路电流法例题1例1.图示电路，US1=10V，US3=13V，R1=1

，R2=3

，R3=2

，求各支路电流及电压源的功率。用支路电流法解题，参考方向见图－I1＋I2－I3=0I1×R1－US1＋I2×R2=0I2×R2＋I3×R3－US3=0－I1

＋I2

－I3=0I1

－10＋3×I2=03×I2

＋2×I3

－13=0解得：I1=1A，I2=3A，I3=2A

电压源US1的功率：PUS1=US1×I1=10×1=10W(发出）电压源US3的功率：PUS3=US3×I3=13×2=26W(发出）支路电流法例题2例2.

图示电路，US=7V，R1=1

，R2=3

，IS=1A。求各支路电流及电流源的功率。（外围有电流源支路）

节点电流方程I1－I2＋IS=0

网孔1电压方程－I1×R1－I2×R2－US=0解：取网孔回路方向如图，列节点电流方程和网孔1的电压方程如下代入数据得I1－I2＋1=0解得I1=－2.5A

－I1－3×I2－7=0I2=－1.5A电流源功率为PIS=(I2×R2)×IS=－4.5W(吸收功率)

网孔2因为存在电流源，无法列写电压方程。实际上由于电流源支路的电流已知，支路电流变量数减少一个，该网孔电压方程无需列写。建立单连支回路电压方程5)电路中存在电流源支路时，用支路电流法解题时电压方程的建立可选单连支回路。回路1：I3×R3＋US3＋I6×R6＋I1×R1－US1=0回路2：I4×R4＋I6×R6－I5×R5=0在选取单连支回路时，电流源支路选为连支。如选1,5,6支路为树支，则可列出连支3,4的单连支回路1和2的电压方程:单连支回路3为电流源连支，因此该回路不列电压方程。

由上面2个单连支回路电压方程和3个节点电流方程即可解出5个支路电流变量。节点电流方程为

-I1-IS2+I3=0IS2+I4+I5=0-I3-I4+I6=0支路电流法例题3例3.

图示电路，US1=1V，US2=5V，IS2=2A，IS4=4A，R1=1

，R3=3

，R4=4

，R5=5，求各支路电流及电流源的功率。解：支路及节点见图，对节点1，2列电流方程－I1－IS2＋I3=0

－I3－IS4＋I5=0电路中存在两条电流源支路，选取支路1，3为树支，则连支5的单连支回路电压方程为:I5×R5＋I1×R1－US1＋I3×R3=0代入数据得：

－I1－2＋I3=0

－I3－4＋I5=05×I5＋I1－1＋3×I3=0解得I1=－3.89AI3=－1.89AI5=2.11A电流源IS2、IS4两端的电压UIS2、UIS4为UIS2=US1－R1×I1－US2=1－1×(－3.89)－5=－0.11VUIS4=R5×I5＋R4×IS4=5×2.11＋4×4=26.55V电流源IS2、IS4的功率为PIS2=UIS2×IS2=－0.22W(吸收功率）PIS4=UIS4×IS4=106.2W(发出功率）支路电流法例题4

（包含受控源支路分析）例4.图示电路，US1=1V，，R1=1

，R2=2

，R3=3

，=3，求各支路电流。解：电路中存在一个电压控制电压源（VCVS），对于存在受控源电路，用支路电流法解题时，①受控源先当作独立电源，列节点和网孔方程

I1＋I2＋I3=0I1×R1－I2×R2－US1=0I2×R2＋

U1－I3×R3=0②补充受控源控制变量关系式(控制变量表示为支路电流)U1=－R1×I1代入数据

I1＋I2＋I3=0

I1－2×I2－1=02×I2＋3×U1－3×I3=0U1=－I1解得

I1=1A，I2=0A，I3=－1A小结1）支路电流法是以支路电流为变量，应用KCL和KVL列出节点和回路方程求解电路的方法。2）对n-1个节点列KCL方程，可得n-1个独立方程，对b-n+1条回路列KVL方程，可得b-n+1个独立方程，共得b个线性方程组。解此方程组得b个支路电流变量。3）在选择回路时，如果电路无电流源，则可选择网孔回路；如果存在电流源，则选择单连支回路，电流源支路选为连支。4）如果存在受控源，在列方程时把受控源当作独立电源，然后列补充方程，把受控源的控制变量用支路电流来表示。2.3网孔电流法支路电流法直接应用KCL，KVL解电路，很直观，其电路方程个数为支路数b。但是当支路数很多时，必须建立b个方程，求解工作量颇大。

网孔电流法分析解决问题的出发点是：对于电路中实际流动的支路电流，用一组假设的网孔电流来替代。以网孔电流作为独立变量求解，然后求取支路电流，这种方法称为网孔电流法。

1>网孔电流与支路电流支路电流与网孔电流的关系：

I1=IM2，I2=IM1－IM2，I3=IM1I4=IM3-IM1，I5=IM2－IM3，I6=IM3

如图所示，实际流动的支路电流I1~I6，用一组假设的网孔电流Im1、Im2

、Im3来替代。以网孔电流作为独立变量求解，然后求取支路电流。

2>网孔回路电压方程的建立

如图所示电路,用网孔电流法求各支路电流。网孔1：(R2＋R3＋R4)Im1－R2×Im2－R3×Im3=－Us3

自回路电流压降

互回路电流压降回路电压源电压升1）选定各网孔电流的参考方向，一般参考方向可选为一致（全为顺时针或逆时针）。2）根据KVL，列写各网孔回路的电压方程。网孔1：(R2＋R3＋R4)Im1－R2×Im2－R3×Im3=－Us3

自回路电流压降

互回路电流压降回路电压源电压升网孔回路电压方程可分为三部分。第一部分为本身网孔电流产生的压降。第二部分为相邻网孔电流在该回路上产生的压降，互回路电流方向与网孔回路电流参考方向一致时为正，反之为负。列写互回路时注意不要漏写。第三部分为回路电压源代数和，以电压升为正，反之为负。网孔2：－R2×Im1＋(

R1＋R3＋R5)Im2－R5×Im3=Us1－Us5网孔3：－R4×Im1－R5×Im2＋

(R4＋R5＋R6)Im3

=Us5

以此规律可列写出另两个网孔的方程：3>由网孔电流解出支路电流

由上面三个方程可解出三个网孔回路电流变量Im1，Im2，Im3。支路电流为：

I1=Im2I2=Im1

－Im2

，I3=Im1I4=Im3

－Im1

，I5=Im2

－Im3I6=Im3网孔法例1例1.图示电路，US1=10V，US3=13V，R1=1

，R2=3

，R3=2

，试用网孔电流法求各支路电流。解：取网孔回路及参考方向如图，列写回路电压方程

(R1＋R2)Im1－R2×Im2=Us1(R2＋R3)Im2－R2×Im1=－Us3代入数据得

4×Im1－3×Im2=10得Im1=1A5×Im2－3×Im1=－13Im2=－2A支路电流I1=Im1=1A,I2=Im1－Im2=3A,I3=－Im2=2A网孔法例2例2.图示电路，US=27V，Is=2A，R1=1

，R2=2

，R3=3

，R4=4

，R5=5

，R6=6

，求各支路电流。解：电路中最外围支路存在一个电流源，取网孔回路如图，对网孔1和2列回路电压方程（R2＋R3＋R6)Im1－R3×Im2－R2×Is=－Us(R1＋R3＋R4)Im2－R3×Im1－R4×Is=Us网孔回路3的回路电流可直接写出

Im3=Is=2代入数据得11Im1－3Im2－4=－278Im2－3Im1－8=27解得

Im1=－1A,Im2=4A,Im3=2A支路电流为I1=－Im2=－4A,I2=Im3－Im1=3A,I3=Im2－Im1=5AI4=Im3－Im2=－2A,I5=Im3=2A,I6=Im1=－1A注意：电路的最外围支路存在电流源时，仍旧可用网孔电流法求解支路电流。网孔法例3（包含受控源电路）例3.图示电路，US3=7V，R1=R2=1

，R4=2

，R5=4

，a

=2，求各支路电流。解：取网孔回路参考方向为顺时针方向，对于受控电源，在列网孔回路电压方程时，先作为独立电源处理，然后再把受控变量表示为网孔电流。1）列各回路电压方程

(R1＋R2)Im1－R2×Im2=aU2

－R2×Im1＋(R2＋R4)Im2－R4×Im3=Us3

－R4×Im2＋(R4＋R5)Im3=－aU22）方程中受控源控制变量U2表示为网孔电流

U2=R2(Im2－Im1)解得Im1=3A,Im2=4A,Im3=1A支路电流I1=Im1=3A,I2=Im2—Im1=1A,I3=－Im2=－4AI4=Im2－Im3=3A,I5=Im3=1A,I6=Im3－Im1=—2A代入数据得

2Im1－Im2=2U2

－Im1＋3Im2－2Im3=7

－2Im2＋6Im3=－2U2U2=Im2－Im1小结

网孔电流法以电路的网孔电流作为变量求解电路，比支路法方程个数减少；网孔电压方程的一般内容为：

自回路电流压降

相邻回路电流压降之和=回路电压源电压升之和受控源在网孔电流法列方程时先当作独立电源处理，然后把控制变量表示成网孔电流变量（补充方程）；当电路中存在电流源时（不全为最外围支路），网孔法分析不方便（用回路电流法）。2.4回路电流法

回路电流法是以选定的回路电流作为变量来分析计算电路的一种方法；当电路存在电流源时（不全在外部周界上），用回路电流法解题比网孔法方便；回路电流法在选择独立回路时，一般选择单连支回路，通过选择特定的树可简化存在电流源电路的计算；选择单连支回路电流作为求解变量，建立的回路电压方程必定是独立方程；网孔电流法是回路电流法的一种特殊情况。2.4.1回路电流选择

如图电路，用回路电流法求各支路电流。1）选择回路电流并标出方向。回路的选择要保证能建立足够数量的独立方程来解出电路变量。

网孔回路和单连支回路都为独立回路。选择单连支回路时，具有电流源的支路选为连支。如图电路，选择2，4，6支路为树支，则单连支回路的路径和方向如图所示。2.4.2建立回路电压方程

确定回路电流和参考方向以后，根据KVL，可建立各回路的回路电压方程。回路1的电压方程为（R2＋R3＋R4）IL1－（R2＋R4）IL2－R4×IL3=－US3

自回路压降

互回路压降代数和=回路电压源代数和上式1>.第一部分是自回路电流产生的压降。

2>.第二部分是其余回路电流在该回路上产生的电压降。方向与主回路电流一致时为正，反之为负。

3>.等式右边是回路中所有电压源的电压升代数和。

同理可写出回路2的回路电压方程

（R1＋R2＋R4＋R6）IL2－（R2＋R4）IL1＋（R4＋R6）IL3=US1列写回路电压方程时应注意：1>.选b－(n－1)个独立回路电流；2>.列写互回路压降时注意不要漏写；回路3中有电流源存在，由于选择支路5为单连支回路，因此回路电流即为该连支电流

IL3=IS53>.方程右边电压源是以电压升为正。4>.电流源支路的回路电压方程无需列写，可直接写出回路电流值。

由上面三个方程即可解出三个回路电流IL1，IL2，IL3。2.4.3求解回路和支路电流由回路电流可写出各支路电流为:I1=IL2I2=－IL1＋IL2I3=IL1I4=－IL1

＋IL2

＋IL3I5=IL3=IS5I6=IL2

＋IL3回路电流法例1例1已知R1=1

，R2=2

，R3=3，R4=4，R5=5，R6=6，US=27V，IS=2A，用回路电流法求电压源和电流源发出的功率。解：支路5为电流源支路，因此选1、4、6支路为树支，得三条单连支回路如图所示。

根据选定的单连支回路，可列出回路电压方程:代入数据得:

IL1=28IL2

＋2＋5IL3=2713IL3＋2×7＋5IL2=0IL1=IS（R1＋R3＋R4）IL2＋R1×IL1＋（R1＋R4）IL3=US(R1＋R2＋R4＋R6)IL3＋(R1＋R6)IL1＋(R1＋R4)IL2=0解得:

IL1=2AIL2=5AIL3=－3A电流源两端的电压降为:UI=R6(IL1＋IL3)＋R1(IL1＋IL2＋

IL3)＋R5×IL1

=6×(－1)＋1×4＋5×2=8V电压源发出的功率为:PUS=I3×US=IL2×US=5×27=135W(发出功率)电流源发出的功率为:

PIS=UI×IS=16W回路电流法例2例2已知R1=1

，R2=2

，R3=3，R4=4，IS5=6A，IS6=6A，用回路电流法求各支路电流。解：电路包含两个电流源，选支路1、3、4为树支，回路电流及方向如图，此时只需列一个回路方程

IL1=IS2，IL2=IS6(R1＋R2＋R3)IL3－R1×IL1

＋R3×IL2=0

代入数据解得IL3=－2A各支路电流为

I1=IL1－IL3=8AI2=IL2=－2AI3=IL2

＋IL3=4AI4=IL1＋IL2=12A

从该例题可看出，当电路包含较多的电流源支路时，用回路电流法解题较方便。回路电流法例3(含受控源电路分析)例3已知R1=R2=R3=R4=R5=2，US4=US6=2V，IS2=1A，g=0.5,用回路电流法求各支路电流。解：1)对于包含受控源的电路，在用回路电流法解题时，先把受控源当作独立电源来列写回路电压方程。该电路包含两个电流源支路（一个独立源和一个受控源），因此选择支路3、4、6为树支，三个回路电流及参考方向见图所示。2)把受控源的控制变量用回路电流来表示（列补充方程）

U6=－R6（

IL1＋IL3）列回路电压方程如下

IL1=IS2

IL2=gU6(R1＋R4＋R6)IL3＋R6×IL1－R4×IL2=US6－US4R1=R2=R3=R4=R5=2，US4=US6=2V，IS2=1A，g=0.5代入数据得:6×IL3

＋2×1＋2×0.5×2×（1＋IL3）=0IL3=－0.5A，IL2=gU6=－0.5A回路电流法例4例4已知R2=2

，R3=3，R4=4，R5=5,==2,US4=4V，IS=2A，用回路电流法求I1和I4。解：该电路包含受控源，取回路电流及参考方向如图，列写各回路电压方程IL1=

I5(R2＋R3)IL2＋R2×IL1－R3×IL3=－U3(R3＋R4＋R5)IL3＋R5×IL1－R3×IL2=US4(含受控源电路分析)列补充方程，把控制变量U3

和I5用回路电流来表示:U3=R3(IL3－IL2)I5=IL1＋IL312×IL3＋5×IL1－3×IL2=4U3

=3×(IL3－IL2),I5

=IL1＋IL3代入数据得

IL1=2I5,即IL1=－2IL35×IL2＋2×IL1－3×IL3=－2U3解得:IL2=－0.8A,IL3=0.8A,IL1=－1.6AI1=IL2=－0.8A,I4=IL3=0.8A2.5节点电压法以节点电压作为独立变量，建立节点电压方程，求解节点电压再确定支路电流，称为节点电压法。电压:

两点之间电位差.电位:

相对于参考点间的电势能.1）设电路有n个节点，以其中任一节点作为参考节点，令参考节点的电位为零，则其余各节点相对于该参考点的电位就是节点电压。节点电压法概述如图，节点1的电压U①=U1，节点2的电压U②=U5。2）如果各节点电压已经求出，则各支路电流便可确定。如对于电流I5，有I5=U②R53）以节点电压作为独立变量，建立节点电压方程，求解节点电压后再确定支路电流，这种方法称为节点电压法。4）在用节点电压法解题时，对于n个节点，因为已选定一个节点为参考点，则有n

-1个独立节点电压变量，必须建立n

-1个独立方程才可求解。

节点电压与支路电流关系如图电路，取节点4为参考节点。则节点电压与支路电流关系为：

U①=Us1+I1×R1U②=I5×R5U③=I6×R6U①－U③

=I3×R3＋Us3如节点电压已知，则可计算支路电流，对于I1该支路电压为：U①－U④=US1＋R1×I1

得I1=(U①－Us1)/R1=G1(U①－Us1)

同理，可写出其余各支路电流

I2=G2（U②－U①）

I3=G3(U①－U③－Us3)I4=G4（U②－U③）

I5=U②/R5=G5U②I6=U③/R6=G6U③支路电流=支路电导×（电流流出节点电压－电流流入节点电压

支路电压源）支路电流方向与电压源压降方向一致时取负号,反之取正号.节点电压方程的建立

节点电压方程的形式可由KCL方程导出，对于节点①列写KCL方程

I1－I2＋I3=0(节点电压方程的实质是KCL表示式)!!G1(U①－Us1)－Is2＋G3(U①－U③－Us3)=0代入用节点电压表示的各支路电流表达式：整理后得：U①(G1＋G3)－U③G3=G1Us1＋G3Us3＋Is2此式即为节点①的节点电压方程.主节点电压项1）方程第一项为主节点电压U①与主节点相连的各支路电导之和的乘积。由于支路2中电流源Is2为理想电流源，内阻为∞,，故支路2电导为零，所以U①的系数中只有支路1,3电导G1,G3之和。

与主节点相连的各支路电导之和称为自电导，对于主节点①记为G11。自电导永远为正。上式是从节点电流方程出发推导出的节点电压方程，由此方程式可总结如下节点电压方程列写规律：U①(G1＋G3)

－U③G3=G1Us1＋G3Us3＋Is2U①(G1＋G3)－U③

G3

=G1Us1＋G3Us3＋Is22）节点电压方程中第二项为相邻节点电压U③与互电导乘积的负值。节点③通过支路3与主节点相邻，主节点与相邻节点之间相联接的各支路电导之和称为互电导。节点①和③之间只有支路3相连，因此相邻节点③的互电导为G3。互节点电压项注意：节点②也与主节点①相邻，但由于其互电导为零（电流源支路），因此式中未出现该项。

节点电压方程中应包含所有与主节点相邻的节点电压与互电导的乘积项（其值恒为负）。U①(G1＋G3)－U③G3=G1Us1＋G3Us3＋Is23）节点电压方程中右边第一项为与主节点①相连的各支路上的独立电压源与该支路电导的乘积之代数和，电源正极性指向主节点时为正，反之为负。支路电压源支路电流源U①(G1＋G3)－U③G3=G1Us1＋G3Us3＋

Is24）节点电压方程中右边第二项为与主节点①相连的各支路上的独立电流源代数和，电流源的电流流入主节点时为正，反之为负。可见每个节点电压方程包含四个部分，据此可分别写出节点2和3的电压方程为：节点2：

（G4＋G5)U②－G4×U③=－Is2节点3：

（G3＋G4＋G6)U③－G3×U①－G4×U②=－G3×US3U①(G1＋G3)－U③G3=G1Us1＋G3Us3＋Is2（G3＋G4＋G6)U③－G3×U①－G4×U②=－G3×US3（G4＋G5)U②－G4×U③=0

由三个节点电压方程，即可解出三个节点电压，然后根据节点电压和支路电流的关系求出支路电流。节点1:节点2:节点3:节点法例1例1:已知R11=R12=0.5

，R2=R3=R4=R5=1，US1=1V，US3=3V，IS2=2A，IS6=6A，用节点电压法求各支路的电流。解：取节点3为参考节点，列出节点1和2的电压方程注意：节点1的自电导中没有包含项，尽管该支路有电阻R2，但电流源内阻为无穷大，该支路的总电导为零。电流源支路串联电阻在列节点方程时不起作用。代入数据整理得3U1－2U2=－43U2－2U1=9解得节点电压为U1=1.2V,U2=3.8V各支路电流分别为

I1=（US1－U1）/(R11＋R12)=(1-1.2)/(0.5+0.5)=－0.2AI3=（U1－U2＋US3）/R3=0.4AI4=（U1－U2）/R4=－2.6AI5=U2/R5=3.8A齐尔曼定理

当电路只包含两个节点时，若设节点2为参考节点，则节点1的电压表达式可由节点法直接列写为：一般表达式:节点法例2

（包含纯电压源支路）例2如图电路，已知US1=4V，US2=4V，US4=10V，IS3=1A，R1=R4=R5=2

，试求支路电流I4。解：该电路包含一条纯电压源支路，该支路的电导为无穷大，因此无法列写节点1和3的节点电压方程。取纯电压源支路的任一节点为参考节点。设节点3为参考节点，则节点1的电压可直接得到

U①=US2=4V列出节点2的电压方程为

(1/R4＋1/R5)U②

－U①/R4=－US4/R4－IS3注意：包含一条纯电压源支路的电路，在用节点电压法解题时，参考节点应选为纯电压源支路的任一节点上。代入数据解得

U②=(－US4/R4－IS3＋US2/R4)/(1/R4＋1/R5)=－4VI4=(U②

－U①＋US4)/R4=1A节点法例3例3已知R3=R4=4

，

=3，g=1S，IS2=0.5A，用节点电压法求I4的电流。（包含受控源支路）1）对于受控源，在用节点法计算时，先把受控源当作独立电源来处理，按一般方法列节点电压方程。应用齐尔曼定理，令节点2为参考节点，则节点1的电压为R42)把受控源的控制变量转化为节点电压表达式。I4=U1/R4U3=U1－

I4=(1－

/R4)U1把上面三式代入数据，得:I4=U1/R4=U1/4U3=U1/4解得U1=－8V，I4=U1/R4=－2AR4节点法例4例4已知R3=2

，R4=4，R5=1，R6=6，US1=8V，US2=4V，用节点电压法求支路电流I1和I2

。解：取节点4为参考节点，则有

U①=US1，

U③=US1＋US2U②－U①－U③=0节点2：U①=8V，U③=12VU②=4VI5=U②/R5=4AI6=U③/R6=2AI4=（U②－U③）/R4=－2AI1=I5＋I6=6AI2=I6－I4=4A代入数据解得:节点法例5例5已知R1=1

，R2=2

，R3=3，R5=5，US1=1V，US5=5V，要使Uab=0，试求g的值。解：用节点法求解,设b点为参考节点,列节点a和c方程补充方程U3=Uc代入数据得由题意知，Ua=0，得

g=－1.5S节点法例6例6已知R2=2

，R3=3，R4=4，R5=5,==2,US4=4V，IS=2A，用节点电压法求I1和I4。解：该电路包含一个纯电压源支路（受控电压源），选节点1为参考节点，列节点电压方程②U②=－

U3③(1/R2＋1/R3＋1/R5)U③－U②/R2－U④/R5=0④(1/R4＋1/R5)U④－U③/R5=－US4/R4－I5补充方程U3=－U③I5=(U③－U④)/R5解得:U②=16V,U③=8V,U④=4/3VI4=(U④+US4)/R4=4/3AI3=U③/R3=8/3AI1=I3+I4=4AU③－U②/2－U④/5=0U④－U③/5=－1代入数据得

U②=－2U3=2U③2.5改进节点法

对于只有一条纯电压源支路的电路,用节点法解题时,可以通过选择合适的参考节点来实现。

但对于有多条且不相连纯电压源支路的电路，无论选那个参考节点，都无法列写节点电压方程（支路电导无穷大）。

在列写节点电压方程时，把电压源支路用一电流源支路来替代，电流源数值为该支路电流，同时对电压源支路的两个节点列电压补充方程，从而解出节点电压的方法，称为改进节点法。改进节点法列方程

如图电路，设定节点4为参考节点，则节点2的电压可直接写出。支路3中电压源US3用一个IS=I3的待求变量来替代。列节点电压方程得

U②=US4

（1/R1+1/R2)U①-U②/R2=-I3(1/R5+1/R6)U③-U②/R5=I3由于引入了支路电流变量I3，故还需一个方程。由于电压源两端的节点电压差值已知，列节点电压补充方程

U③-U①=US3

从上面三个方程即可解出U①,U③和I3三个变量。2.6割集电压法

电路中如果树支支路电压已知,将KVL应用于每个单连支回路,可算出各连支支路电压。

电路分析时以树支电压为变量，先求解树支电压，然后求支路电压电流的方法称为割集电压法。树支电压与连支电压

电路如图所示，选支路4、5、6为树支，则单树支割集及方向见图。