2021年贵州省高考数学试卷(文科)(全国新课标ⅲ)

2021年贵州省高考数学试卷(文科)(全国新课标ⅲ)

贵州省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合$A=\{x|x-1\geq0\}$，$B=\{1,2\}$，则$A\capB=$（）A。$\{\}$B。$\{1\}$C。$\{1,2\}$D。$\{1,2\}$2.$(1+i)(2-i)=$（）A。$-3-i$B。$-3+i$C。$3-i$D。$3+i$3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来。构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头。若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A。B。C。D。4.若$\sin\alpha=\frac{1}{2}$，则$\cos2\alpha=$（）A。$-\frac{3}{4}$B。$\frac{3}{4}$C。$-\frac{1}{4}$D。$\frac{1}{4}$5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）A。0.3B。0.4C。0.6D。0.76.函数$f(x)=\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{3}$的最小正周期为（）A。$2\pi$B。$\pi$C。$\frac{4}{3}\pi$D。$\frac{6}{5}\pi$7.下列函数中，其图象与函数$y=\lnx$的图象关于直线$x=1$对称的是（）A。$y=\ln(1-x)$B。$y=\ln(2-x)$C。$y=\ln(1+x)$D。$y=\ln(2+x)$8.直线$x+y+2=0$分别与$x$轴，$y$轴交于$A$，$B$两点，点$P$在圆$(x-2)^2+y^2=28$上，则$\triangleABP$面积的取值范围是（）A。$[2,6]$B。$[4,8]$C。$[-3,0]$D。$[2,3]$9.函数$y=-x^4+x^2+2$的图象大致为（）A。B。C。D。10.已知双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的离心率为$e$，则点$(4,\sqrt{3})$到$C$的渐近线的距离为（）A。$\frac{2}{e}$B。$\frac{e}{2}$C。$2$D。$\frac{1}{2e}$11.$\triangleABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$。若$\triangleABC$的面积为$3\sqrt{3}$，则$\angleC=$（）A。$30^\circ$B。$45^\circ$C。$60^\circ$D。$90^\circ$12.设$A$，$B$，$C$，$D$是同一个半径为$4$的球的球面上四点，$\triangleABC$为等边三角形且面积为$9$。则三棱锥$D-ABC$体积的最大值为（）A。$12$B。$18$C。$24$D。$54$二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,-2)$，$\vec{c}=(1,\lambda)$。若$\|\vec{a}+\vec{b}\|=\sqrt{10}$，则$\lambda=$（）答案：$-1$14.设$f(x)=\frac{1}{x-1}$，$g(x)=\frac{x}{x+1}$，则$f(g(2))=$（）答案：$-\frac{2}{3}$15.已知$\triangleABC$中，$AB=3$，$BC=4$，$\angleB=90^\circ$。则$\sin\angleA=$（）答案：$\frac{3}{5}$16.已知函数$f(x)=\sqrt{x^2-2x+5}$，$g(x)=\frac{1}{x}$。则$f(g(2))=$（）答案：$\sqrt{5}$214.（5分）某公司拥有大量客户，不同年龄段的客户对其服务评价有较大差异。为了了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查。可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。最合适的抽样方法是什么？15.（5分）如果变量x和y满足约束条件，那么z=x+y的最大值是什么？17.（12分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3.1）求{an}的通项公式；2）记Sn为{an}的前n项和，若Sm=63，求m。18.（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式。为了比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人。第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式。根据工人完成生产任务的工作时间（单位：___）绘制了如下茎叶图：1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m|不超过m|第一种生产方式|。|第二种生产方式|。|3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2=P(K2≥k)k0.0503.8410.0106.6350..82819.（12分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧于C，D的点。1）证明：平面AMD⊥平面BMC；2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由。20.（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：AB的中点为M（1，m）（m＞0）。1）证明：k＜﹣1；2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且21.（12分）已知函数f（x）=（x+1）/（x-1）。1）求曲线y=f（x）在点（-1，-2）处的切线方程；2）证明：当a≥1时，f（x）+e≥2.没有交集，所以它们的概率相加等于总体概率1，即0.45+0.15+p=1，解得p=0.4.故选：B．6．（5分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+27，则f（1）+f（﹣2）的值为（）A．0B．6C．9D．12解答】解：f（1）+f（﹣2）=（13﹣3×12﹣9×1+27）+（（﹣2）3﹣3（﹣2）2﹣9（﹣2）+27）=0．故选：A．7．（5分）若z=（1﹣i）（2﹣3i），则|z|的值为（）A．2B．√5C．√10D．5解答】解：z=（1﹣i）（2﹣3i）=5﹣i﹣7i﹣3i2=8﹣8i。z|=√（82+（﹣8）2）=2√2．故选：A．8．（5分）下列关于二次函数y=ax2+bx+c的叙述中，错误的是（）A．当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；B．当a≠0时，函数的对称轴为直线x=﹣b/2a；C．当a>0时，函数在对称轴上的最小值为c﹣b2/4a；D．当a>0时，函数在对称轴上的最大值为c﹣b2/4a；解答】解：当a>0时，函数在对称轴上的最小值为c﹣b2/4a；当a<0时，函数在对称轴上的最大值为c﹣b2/4a，所以选D项错误。故选：D．9．（5分）已知函数f（x）=x2﹣3x+2，g（x）=（x﹣1）2，则f（x）≥g（x）的解集为（）A．{x|x≤1或x≥2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|1≤x或x≤2}D．{x|1≤x≤2}解答】解：f（x）﹣g（x）=x2﹣3x+2﹣（x2﹣2x+1）=﹣x2+5x+1。___（x）≥g（x）。x2+5x+1≥0，即x2﹣5x﹣1≤0。x1,2=（5±√29）/2。解集为{x|x≤1或x≥2}．故选：A．10．（5分）已知函数f（x）=x3﹣3x+2，g（x）=x2﹣2x+2，则f（x）的最小值为（）A．﹣1B．0C．1D．2解答】解：f（x）=x3﹣3x+2=（x2﹣2）x+2。f（x）的最小值为f（1）=0．故选：B．11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣4x+3，g（x）=2x﹣1，则f（g（x））的值域为（）A．（﹣∞，﹣1]B．[0，+∞)C．（﹣∞，3]D．[4，+∞)解答】解：f（g（x））=（2x﹣1）2﹣4（2x﹣1）+3=4x2﹣12x+7=4（x﹣3/2）2+﹣1/4。f（g（x））的值域为（﹣∞，﹣1]．故选：A．12．（5分）已知等差数列{an}的前4项和为10，前6项和为20，则a7的值为（）A．25/2B．7/2C．﹣7/2D．﹣25/2解答】解：设首项为a1，公差为d，则a1+a2+a3+a4=4a1+6d=10。a1+a2+a3+a4+a5+a6=6a1+15d=20。解得a1=﹣1/2，d=3/2。a7=a1+6d=25/2．故选：A．二、解答题：本题共4小题，共40分。22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为数），过点（，﹣θ为参且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求α的取值范围；2）求AB中点P的轨迹的参数方程．解答】（1）设直线l的解析式为y=kx+b，则直线l与圆⊙O的交点A，B的坐标分别为：x1，2=（﹣kb±√（k2b2﹣（k2+1）（b2﹣r2）））/（k2+1）。y1，2=kx1，2+b。其中r=1，O（0，0）．由两点式得AB的中点P的坐标为xP=（x1+x2）/2，yP=（y1+y2）/2。即xP=﹣k2b/（k2+1），yP=（2kb2﹣（k2+1）（b2﹣r2））/（2（k2+1））．由于___⊙O上，所以有x2P+y2P=r2，即k2﹢1）（b2﹣r2）+4k2b2﹣4r2=0。化简得（k2+1）b2+4k2r2=4r2。即b2/4r2+（k2+1）r2/b2=1。设u=b/2r，v=kr，则有u2+v2=1，即P在以O为圆心、1为半径的圆上。所以α的取值范围为0≤α≤π/2．2）由（1）可知，P的坐标为xP=﹣k2b/（k2+1），yP=（2kb2﹣（k2+1）（b2﹣r2））/（2（k2+1））。P的轨迹的参数方程为x=﹣t2k2/（k2+1），y=t（2k﹣t（k2+1）b）/（2（k2+1））。其中t为参数，k，b为α的函数，由k=tanα，b=﹣1/sinα得到．故选：略．23．（10分）设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．1）画出y=f（x）的图象；2）当x∈[，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．解答】（1）当x≤﹣1/2时，2x+1≤0，x﹣1≤﹣1/2，所以f（x）=﹣2x﹣1﹣x﹣1=﹣3x﹣2；当﹣1/2<x≤1时，2x+1≥0，x﹣1≤﹣1/2，所以f（x）=2x+1﹣x﹣1=x+2；当x>1时，2x+1≥0，x﹣1≥0，所以f（x）=2x+1+x﹣1=3x．y=f（x）的图象如下图所示：2）当x≤﹣1/2时，f（x）=﹣3x﹣2≤ax+b，即3x+a≥b﹣2。当﹣1/2<x≤1时，f（x）=x+2≤ax+b，即x﹣a≤b﹣2。当x>1时，f（x）=3x≤ax+b，即3﹣a≤b。所以a+b的最小值为3/2．故选：3/2．4．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x+2，g（x）=x2﹣2x+1，h（x）=x2﹣2x+2。1）求f（x）的单调区间和极值；2）若在[0，2]上，h（x）≤k，g（x）≥0，求k的取值范围．解答】（1）f（x）=x3﹣3x+2，f'（x）=3x2﹣3，令f'（x）=0，解得x=±1。f（x）在（，﹣1）单调递减，在（﹣1，1）单调递增，在（1，+∞）单调递增。f（﹣1）=6，f（1）=0，所以f（x）的最大值为6，最小值为0．2）在[0，2]上，h（x）≤k，g（x）≥0，即x2﹣2x+2≤k，x2﹣2x+1≥0。求解得x∈[1﹣√k，1+√k]，∴当1﹣√k≤0时，即k≥1时，x∈[0，2]。当1﹣√k>0时，即k<1时，x∈[1﹣√k，2]。所以k的取值范围为k≥1或k<1且（1﹣√k）2≤2﹣k．故选：k≥1或k<1且（1﹣√k）2≤2﹣k．解答：由___公式可得：s==（a+b+c）/2。s﹣a==（b+c﹣a）/2。又由正弦定理得：a/sinA==b/sinB==c/sinC==2R。b+c﹣a）/2==2RsinC﹣a/sinA。即s﹣a==2RsinC﹣a/sinA。S==（s﹣a）a/sinA==2Ra。R==S/2a==√3/6a。又由余弦定理得：c2==a2+b2﹣2abcosC。cosC==（a2+b2﹣c2）/2ab==1/2。C==π/3．故选：C．9.解：因为三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，所以三角形ABC的面积为S=1/2absinC。又因为sinC=c/2R，其中R为三角形ABC的外接圆半径，所以___由此可得sinC=2S/ab，代入上式得到R=ab/4S。因为C是一个锐角，所以0＜C＜π/2，所以cosC＞0.所以cosC=b^2+c^2-a^2/2bc=(ab/2R)^2+(ac/2R)^2-(bc/2R)^2=1-4S^2/a^2b^2>0，所以1-4S^2/a^2b^2>0，即4S^2<a^2b^2，所以S<ab/4.综上所述，选C。12.解：因为三角形ABC为等边三角形且面积为9，所以AB=6.设球心为O，三角形ABC的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点。连接O′C和OO′，则O′C=3，OO′=2.因为三棱锥D-ABC的高为6，底面积为9，所以体积为(1/3)×6×9=18.综上所述，选B。13.解：已知向量a=(1,2)，b=(2,-2)，c=(1,λ)，且||2a+b||，所以||2(1,2)+(2,-2)||=||(4,2)||=2√5.因为||2a+b||=||2a||+||b||=2||a||=2√5，所以||c||=√5.又因为||c||=√(1+λ^2)，所以1+λ^2=5，解得λ=2.综上所述，答案为2.14.解：某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异。为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查。可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。由于不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，所以最合适的抽样方法是分层抽样。综上所述，答案为分层抽样。15.解：由约束条件可得该变量所在的平面区域为一个三角形，顶点分别为(0,3)，(2,1)和(3,0)。目标函数为z=x+y，即z=1x+1y+0.将目标函数对应的直线y=-x+3画在该平面区域内，可得该直线与该区域的交点A为(2,3)。因为直线y=-x+3的纵截距最小，所以z的最大值为2+3×1=5.但由于约束条件限制，z的最大值为3.综上所述，答案为3.16.解：设g(x)=ln(|x|)，则g(-x)=ln(|-x|)=ln(|x|)=g(x)，所以g(x)是一个奇函数。又因为f(x)=g(2x-1)-g(1-3x)，所以f(-a)=g(1-2a)-g(1+3a)=ln(|1-2a|)-ln(|1+3a|)=ln(|(1-2a)/(1+3a)|)。因为f(a)=4=ln(|1-2a|)-ln(|1+3a|)，所以ln(|(1-2a)/(1+3a)|)=4，解得a=-1/5.代入f(-a)中得到f(-a)=-ln(4/5)=-ln0.8≈-0.2231.综上所述，答案为-0.2231.说明第二种生产方式的效率更高，因为它的工作时间范围更窄，说明工人完成任务的效率更稳定。2）将茎叶图转化为数列，从小到大排列为：59.61.63.64.65.66.67.68.68.69.70.71.72.73.73.74.75.75.77.78.78.79.80.80.81.81.82.83.84.84.85.85.85.86.86.87.87.88.90.92.96.由于有偶数个数据，中位数为中间两个数的平均数，即m=(80+81)/2=80.5.根据茎叶图和数列可以得到以下列联表：超过m。不超过m第一种生产方式。11.9第二种生产方式。6.143）可以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异。由列联表可得，第一种生产方式超过m的工人数为11，不超过m的工人数为9；第二种生产方式超过m的工人数为6，不超过m的工人数为14.计算卡方值K2=10.45，自由度为1.查卡方分布表得到P(K2≥10.45)<0.001，远小于0.01，因此有99%的置信水平认为两种生产方式的效率有差异。19.（12分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧于C、D的点。1）证明：平面AMD⊥平面___。解答：矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，所以AD⊥所在平面，CM⊂半圆弧所在平面，因此有CM⊥AD。又因为M是上异于C、D的点，所以有CM⊥DM。于是CD⊥平面AMD，CD⊂平面CMB，因此有平面AMD⊥平面___。2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由。解答：存在点P是AM的中点，理由如下：连接BD交AC于O，取AM的中点P，连接OP，可得MC∥OP。因为MC⊄平面BDP，而OP⊂平面BDP，所以有MC∥平面PBD。20.（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：x^2/3+y^2/4=1的长轴AB的中点为M（1，m）（m＞0）。1）证明：k＜﹣1.解答：设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB的中点为M（1，m），因此有x1+x2=2，y1+y2=2m。将A、B代入椭圆C：x^2/3+y^2/4=1中，可得(x1^2)/3+(y1^2)/4=1，(x2^2)/3+(y2^2)/4=1.将两式相减可得3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0，即6(x1-x2)+8m(y1-y2)=0，解得k=(y1-y2)/(x1-x2)=-(4/3)(x1-x2)/(y1-y2)<-1.2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且PF=PA+PB，证明：2PF^2=PA^2+PB^2.解答：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），则有x1+x2=2，y1+y2=2m，x3^2/3+y3^2/4=1.因为PF=PA+PB，所以有PF^2=PA^2+2PA·PB+PB^2，又因为PA·PB=-(1/4)(x1-x2)^2-(1/9)(y1-y2)^2，所以有PF^2=PA^2+PB^2-(1/2)(x1-x2)^2-(2/9)(y1-y2)^2.将PF^2代入PF=√(x3^2/3+y3^2/4+(x3-1)^2+y3^2)中，化简得2PF^2=PA^2+PB^2+5(x3-1)^2+5y3^2，而又有x1+x2=2，所以有x3=1，代入得2PF^2=PA^2+PB^2，即2PF^2=PA^2+PB^2.23．设函数$f(x