2021人教版八年级数学下勾股定理的几何应用练习含答案

勾股定理的几何应用

1.如图，在长方形ABCD中，AB=3,AD=1,点A,B在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长

为半径作弧交数轴的正半轴于点M,则点M表示的数为（C）

A.2B.乖TC.y/10-lD.小

2.如图，在平面直角坐标系中，A（4,0）,B（0,3）,以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的

负半轴于点C,则点C的坐标为（B）

A.（1,0）B.（一1,0）C.（-5,0）D.（5,0）

3.（2020•陕西）如图，在3X3的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,

A.B.看及C.D.看屈

4.（2020•包头）如图，在RtZiABC中，ZACB=90°,D是AB的中点，BE1CD,交CD的延长线于

点E.若AC=2,BC=2镜，则BE的长为（A）

5.（2019•枣庄）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把4ADE绕点A顺时针旋转90°到4

ABF的位置.若四边形AECF的面积为20,DE=2,则AE的长为（D）

1

AD

A.4B.2mC.6D.2乖

【点拨】由题易得四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形ABCD的边长，

再利用勾股定理求解即可.

【答案】D

6.已知x,y为正数，且|x-4|+（『-3）2=0,以x,y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角

三角形的斜边为边长的正方形的面积为（C）

A.5B.25C.7D.15

7.（中考•陕西）如图，在aABC中，AC=8,ZABC=60°,NC=45°,AD1BC,垂足为D,ZABC

的平分线交AD于点E,则AE的长为（C）

A

BDC

A.172B.2啦C.1-72D.3啦

oJ

【点拨】：AD_LBC,AZADC=ZADB=90°.

•.,在RtZXADC中，AC=8,ZC=45",

AAD=CD,AAtf+CD^AC2,：.i\D=4^2.

在RtZXADB中，VZABD=60°,AZBAD=30°.

.-.BD=|AB,.,.BD2+AD2=AB2=4BD2,又；AD=4隹

.♦.BD=芈.YBE平分NABC,；./EBD=30°.

在RtZXEBD中，VZEBD=30°,

.,.DE=^BE.ADE2+BD2=4DE2,

f4m4^2

o•■"DE=oQ.

AE=AD-DE故选C.

2

8.【2020•衢州】把一张长方形纸片ABCD按如图所示的方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形

BEF,若BC=1,则AB的长度为（A）

A.镜B,^1c.的D1

【点拨】由折叠补全图形如图所示.

四边形ABCD是长方形，，ZADC=

/8=/，=由第一次折叠得NADE=NA'DE=|zADC=45°,

XVZA=90°,.,.ZAED=ZADE=45"..,.AE=AD=1.

在Rl^ADE中，根据勾股定理得DE=，1

由第二次折叠知CD=DE=M，

ZA=90°,AD=BC=1,CD=AB.【答案】A

9.（2020•威海）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案.小李将一块

等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割成七块，正好制成一副七巧板（如图②）.已知AB=40cm,则

图中阴影部分的面积为（C）

,100,,

A.25cm-B.一^"cnfC.50cm"D.75cm2

【点拨】如图，设0F=EF=FG=xcm,

3

则0E=0H=2xcm.在RtAEOH中,

由勾股定理得EH=2《xcm,

由题意易知EH=20cm,：.2O=2yf2x.：.x=5yf2.

/.阴影部分的面积=(572)2=50(cm2).

【答案】C

10.(2020•重庆A)如图，在三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD,把AABD沿着AD翻

折，得到AAED,DE与AC相交于点G,连接BE交AD于点F.若DG=GE,AF=3,BF=2,4ADG的

面积为2,则点F到BC的距离为(B)

必R1选逑

A.5D.广J5*->.3

A

BDC

==

【点拨】＜*'DGGE,.*•SAADC=SAAEG2.

=

SAADE4.

由翻折可知，Z\ADBgZ\ADE,BE±AD,

=

SAABD=SAADE4,NBFD=90°.

•(AF+DF)•BF=4.

即;•(3+DF)-2=4.

ADF=1.

.*.DB=、BF2+DN=、22+T=m.

设点F至I」BD的距离为h,则有义•BD•h=1•BF•DF,

，h=挛.【答案】B

5

11.一个零件的形状如图所示，己知AC=3cm,AB=4cm,BD=12cm,则CD=13

4

12.如图，在平面直角坐标系中，A(8,0),B(0,6),以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴

13.(2020•辽阳)如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=2BC,分别以点A和B为圆心，以大于

5AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N,作直线MN,交AC于点E,连接BE,若CE=3,

则BE的长为___5____.

14.【2020・通辽】如图，在AABC中，ZACB=90",AC=BC,点P在斜边AB上，以PC为直角

边作等腰直角三角形PCQ,ZPCQ=90°,则PA?,PB2,PC?三者之间的数量关系是PB2+PA2

=2PC2.

【点拨】如图，连接BQ.

VZACB=90°,AC=BC,AZCAB=ZCBA=45°.

,.•△PCQ是等腰直角三角形，且NPCQ=90°,

.\PC=CQ,ZPCQ=ZACB,PQ2=2PC2.

ZACB-ZPCB=ZPCQ-ZPCB,即ZACP=ZBCQ.

又：AC=BC,PC=CQ,/.△ACP^ABCQ(SAS).

APA=BQ,ZCAP=ZCBQ=45"./.ZABQ=45°+45O=90O./.PB2+BQ2=PQ2..*.PB2+PA2=

2PC2.

【答案】PB2+PA2=2PC2

15.如图，把长方形纸条ABCD沿EF,GH同时折叠，B,C两点恰好落在AD边的P点处，若NFPH

=90°,PF=8,PH=6,则长方形ABCD的面积为_115.2.

5

A'D'

AEGD

BHC

【点拨】在RtAPFH中，FH=^/PF2+PH2=-\/82+62=10,

，BC=BF+FH+CH=PF+FH+PH=8+10+6=24.

6X8

设APFH的边FH上的高为h,则h=1-=4.8,

•,.SK»ABCD=24X4.8=115.2.解此题时要灵活运用折叠前后对应线段相等，从而求出BC的长,

然后再运用面螃求出APFH中FH边上的高.本题容易因忽视条件而求不出答案.

【答案】115.2

16.(创新题)如图,正方形ABCD的边长为2,其面积标记为Si,以CD为斜边作等腰直角三角形,以该等

腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为S2，…,按照此规律继续下去，则S202。的

17.如图，4ABC和4ECD都是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,D为AB边上一点.求证:

(l)AACE^ABCD；(2)AD2+AE2=DE2.

(1)证明：:△ABC和4ECD都是等腰直角三角形，

ZACB=ZDCE=90°,

；.AC=BC,CE=CD,ZACB-ZACD=ZDCE-ZACD.

/BCD=NACE./.AACE^ABCDCSAS).

(2)：VAACE^ABCD,r.ZEAC=ZDBC.

VZDBC+ZDAC=90°,

，ZEAC+ZDAC=ZEAD=90°.

6

.•.AD2+AE2=DE2.

18.如图，每个小正方形的边长都为1.

(1)求四边形ABCD的周长；

⑵求点A到BC的距离.

AB=^52+12=V26«BC=^/42+22=2V5,

CD=y]22+\2--\[5,AD=、4?+12=/pj,

则四边形ABCD的周长=，丞+3小+/万.

(2)：连接AC.

设点A到BC的距离为h,

△ABC的面积=Wx(2+5)X5-Jx1X5-|x2X4=ll,

则上2小Xh=11,解得1I=喈，

即点A到BC的距离为喈.

19.如图，AD是△ABC的中线.

求证：AB2+AC2=2(AD2+CD2).

方法总结：方关系的方法：先观察各边是否在直角三角形中，若在，可直接利用勾股定理进行证明;

若不在，需作垂线，使各边在直角三角形中，再利用勾股定理进行证明.

证明：过点A作AEXBC于点E.

在Rt^ABE,Rt/XACE和RtZXADE中，

根据勾股定理，得AB2=AE2+BE2,AC2=AE2+EC2,

AE2=AD2-DE2,

.•.AB2+AC2=2AE2+BE24-EC2=2(AD2-DE2)+(BD-DE)2+(CD+DE)2=2AD2-2DE2+BD2-

7

2BDDE+DE2+CD2+2CDDE+DE2=2AD2+BD2+CD2-2BDDE+2CDDE.

；AD是AABC的中线，，BD=CD.

/.AB2+AC2=2AD2+2CD2,

即AB2+AC2=2(AD2+CD2).

20.如图，aRtAABC中，NC=90。，点D是AB的中点，点E,F分别为AC,BC的中点，DE_LDF.

求证：AE2+BF2=EF2.

【点拨】本题通过作辅助线将不在同一个三角形中的线段进行转移，转移到一个三角形中，从

而将证明AE2+BF2=EF2转化为证明BG2+BF2=FG2.

证明：如图，延长ED至点G,使DG=DE,连接BG,FG.

jAD=BD,

在4ADE和4BDG中，SZ1=Z2,

IDE=DG,

/.AADE^ABDG(SAS).，AE=BG,Z3=Z4.

VZ4+Z5=90°,.\Z3+Z5=90o.

又♦.•DF_LEG,DE=DG,/.FG=EF.

在RtZ\FBG中，BG2+BF2=FG2,即AE2+BF2=EF2.

21.［阅读理解］

如图，在AABC中，BC=a,CA=b,AB=c.

(1)若NC为直角，则a?+b2=c2；

222

(2)若NC为锐角，则a?+b2与C?的关系为a+b>c;

(3)若NC为钝角，试写出a2+b)与c?的关系(不写证明).

［探究问题］

在AABC中，BC=a=3,CA=b=4,AB=c,若AABC是钝角三角形，求第三边c的取值范

围.

A、

CB

8

【点拨】由CA>BC可知/B>/A,故NA不是钝角，故应分/B是钝角和NC是钝角两种情况进行

讨论.

解：［阅读理解］a2+b2Vc2.

［探究问题］当NC