2023年全国甲卷理科数学 高考真题

2023年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理科）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的！

1.设集合A={x|x=3&+l,kZ},B={xx=3k+2,kZ},。为整数集，则

n

Cv(AB)=

A.{x|x=3k,Fz}B.{x[x=3Z-l,k^T.}

C.{x[x=3L-l,Q}D.6

2-若复数(a+i)(l-ai)=2,则a=

A.-1B.0

C.1D.2

3.执行下面的程序框图，输出的8=

A.21

B.34

C.55

D.89

4,向量p=|&=1,=、/"7且a+>+c=0,则cos<a-b,b-c>=

t224

A.--B.--C.-D.-

5.已知数列{%}中，S„为{4}前〃项和，S5=5S3-4,则邑=

A.7B.9C.15D.20

6.有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，结束70人报名足球或乒乓球俱乐部,

若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球，俱乐部的概率为

A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1

7.“sin2a+sin?g1"是"cosa+cos/3=0”的

A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件

8.已知双曲线二+二=。>0）的离心率为石，其中一条渐近线与圆

（x-2产+。-3产=1交于A,B两点,则A邳

9.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，

则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为

A.120B.60C.40D.30

10.已知/(x)为函数y=cos(2x+2)向左平移三个单位所得函数，则y=/(x)与丫=1^-1，

AA))

交点个数为

A.1B.2C.3D.4

11.在四棱锥P-A3CO中，底面ABC。为正方形，AB=4,PC=PD=3,^CA=45°,

则△P3C的面积为

A.B.3万C.4万D.小

12.已知椭圆±_+L=l,后、凡为两个焦点，。为原点，P为椭有圆上一点，cos/招户居=一，

QA4

则I\OP\=

A2B.回C.三D.座

5252

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若y=(x・1y+以+sin(x+；)为偶函数，则〃=----------.

—2x+3yW3

14.设x,y满足约束条件'3x-2y<3,设z=3x+2y,则z的最大值为.

x+y=1

15.在正方体ABCD-4B1GD1中，E,F分别为CD,4出的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条

棱的交点总数为与正方体每条棱的交点总数为

16已知△ABC中，ABAC=60.AB=2BC=；AO平分NBA。交BC于点。则

AD=.

三,解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据情况作答。

(-)必答题(60分)

17.(12分)

己知数列｛a“｝中，的=1，设S,为｛%｝前«项和，25„=na„.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛“，7｝的前n项和T

18.（12分）

在三棱柱ABC-A|B|G中，AA,=2,A〈J_底面ABC,Z.ACB=90.,&到平面BCG名，

的距离为1.

(1)证明：AC=A(；

(3)若直线与B81距离为2,求A31与平面BCG与所

成角的正弦值.

19.（12分）

为探究某药物对小鼠的生长作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组(不药物)

和实验组(加药物).

(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X,求X的分布到和数学期望;

(2)测得40只小鼠体重如下(单位：g)：(己按从小到大排好)

对照组：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3

实验组：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0

(i)求40只小鼠体重的中位数”，并完成下面2X2列联表：<tn>m

(ii)根据2X2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠对照组

生长有抑制作用.实验组

参考数据.--—°」。005OOI。

“p(炉〉即)2.7063.8416.835

20.（12分）

直线x-2y+l=0与y?=2px(p>0)交于A,8两点，H4=4斤.

(1)求P的值；

(2)尸为y?=2px的焦点，M,N为抛物线上的两点，且一x-=0,求△MNF面

MFNF

积的最小值.

21.(12分)sinx_

IT

已知,x(0,E).

(1)当4=8时，讨论式X)的单调性；

(2)若以x)<sin2x,求a的取值范围.

(-)选考题：共10分。请考生第22、23题中选一道作答。如果多做，则按所做的第一题

计分。

22.［选修4一4：坐标系与参数方程］(10分)

已知p(2,1),直线/：|'*2+tcosa,。为参数)，/与x轴，y轴正半轴交于A,8两点，