2022年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（猜想卷一）（含答案解析）

2022年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（猜想卷

—）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设全集。={-2,-1,0,1,2},A={-2,-1},B={-2,-1,0,1},贝lJ（gA）c8=（）

A.{-2,-1）B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0,1）

2.虚数单位i的平方根是（）

A.-1B一旦一旦iC.正+乌D.显+&i或

222222

_旦力i

~~2T1

3.第24届冬奥会于2022年在北京和张家口市联合举行，冬奥会志愿者的服务工作是

冬奥会成功举办的重要保障，在冬奥会志愿者的选拔工作中，某高校承担了志愿者选

拔的面试工作，面试成绩满分100分，同学们面试得分的频率分布直方图如图所示，

则此次面试中得分的90%分位数是（）

标i点

A.85B.90C.86D.80

4.（公+2），）（1+卜-幻5展开式中的系数是（）

A.10B.-5C.5D.-10

5.已知数列{4}的通项公式为4,=G为，则其前〃项和为（）

D.2-/1

A，1-(«+1)!

6.将函数〃x）=sin2x的图象向右平移弓个单位长度后得到函数），=g（x）的图象，则

函数/（x）g（x）的最大值为（）

A.2D.@

B.相

4°14

7.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线[-]=1的渐近线相交于

A、8两点，若4麻的周长为4立，则2=()

A.2B.272C.8D.4

8.已知正数X,y,Z满足xlny=ye：=zx,则x,y,z的大小关系为()

A.x>y>zB.y>x>zC.x>z>yD.以上均不对

二、多选题

9.已知直线/<Z平面a,直线机u平面a,则()

A.若/与机不垂直，则/与a一定不垂直

B.若/与用所成的角为30,则/与a所成的角也为30

C.〃/〃?是〃/a的充分不必要条件

D.若/与a相交，贝心与机一定是异面直线

3X-X2,0<X<2

10.已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，m(x-2)，

-----------,x>2

.x

那么函数g(x)=〃x)-2在定义域内的零点个数可能是()

A.2B.4C.6D.8

11.在平面直角坐标系xOy中，己知点若将点A绕原点按顺时针旋转e弧

度，得到点8(为,%),记〃。)=为+%，g⑻=2%%,则下列结论错误的有()

A./⑻=2夜cos(1-e)

B.不存在，，使得与g(。)均为整数

C..产⑻一8g⑻=2

D.存在某个区间(a,6)(a<。)，使得与g(O)的单调性相同

12.己知函数〃x)=x(lnx-a),g(x)=三；,若对任意的占,均存在

e

迎€[-1内，使得/(%)=g(w),则〃的取值可能是()

A.0B.2C.-3D.1

三、填空题

13.某高中有1000名高三学生，学生们的数学成绩X服从正态分布N(90,25),那么

数学成绩满足95Vx<100的学生人数大约有(保留整数).

参考数据：P(M-b<X<〃+cr)=0.6826,P(/J-2a<X<//+2<r)=0.9544

14.在四面体48co中，△58是边长为2的等边三角形，△4?。是以8。为斜边的

等腰直角三角形，平面ABr>_L平面ABC,则四面体ABC。的外接球的表面积为

15.安排高二年级一、二两个班一天的数、语、外、物、体，一班的化学及二班的政治各六

节课.要求体育课两个班一起上，但不能排在第一节；由于选课之故，一班的化学和

二班的政治要安排在同一节；其他语、数、外、物四科由同一任课教师分班上课，则不同

的排课表方法共有种.

四、双空题

16.在AABC中，6c=3,AC=4,ZACB=90°,。在边AB上(不与端点重合).延

长CQ到P,使得CP=9.当。为AB中点时，PD的长度为；若

PC=mPA+^-n^PB(加为常数相片0且，”)，则8。的长度是—.

五、解答题

17.在①AB=2右，②/4。8=135。，③NBA。=NC这三个条件中任选一个，补充

在下面的问题中，使得问题成立，并求8。的长和AABC的面积.如图，在AABC中，

。为2C边上一点，AQ_LAC,AO=l,sinNBAC=管,,求8£>的长和AABC

的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.已知S“是数列｛4｝的前〃项和，4=3,且当〃之2时，S“，春,S,i成等差数列.

(1)求数列｛可｝的通项公式；

9QQ

⑵设数列也｝满足勿=若h也…•…2=三，求正整数〃的值.

an176

19.如图，在三棱柱ABC-AAG中，AC=BB\=2BC=2,NCBB、=2NCAB=三,

且平面AfiC_L平面BgCS.

(1)求证：平面ABCJ■平面ACB,；

(2)设点尸为直线8c的中点，求直线AP与平面ACB,所成角的正弦值.

22

20.已知椭圆二+谷=1(«>/,>0)的右焦点和上顶点分别为点尸(c,0)S>c>0)和点

ab"

A,直线6x-5y-14=0交椭圆于8,C两点，且F恰好为A45C的重心.

(1)求椭圆离心率；

(2)抛物线F=2px的焦点是F,P为抛物线准线上任一点，过点尸作抛物线的切线别

为D,E,直线x=0与直线尸3PE分别交于两点，点M,N的纵坐标分别为

皿〃，求””的值.

21.运用计算机编程，设计一个将输入的正整数〃“归零”的程序如下：按下回车键，

等可能的将［0,左)中的任意一个整数替换k的值并输出k的值，反复按回车键执行以上

操作直到输出k=0后终止操作.

(1)若输入的初始值4为3,记按回车键的次数为g,求g的概率分布与数学期望；

(2)设输入的初始值为求运行“归零”程序中输出〃(04〃44-1)的概率.

22.已知函数"X)='+alnx(aeR),g(x)=x2-x--.

(1)讨论的单调性；

(2)若函数/x)=/(x)+g(x)存在两个极值点七，巧，且曲线y=F(x)在彳=斥

处的切线方程为了=G(x),求使不等式F(x)<G(x)成立的x的取值范围.

参考答案:

1.B

【解析】

【分析】

山集合补集和交集的概念即可选出正确答案.

【详解】

解:由题意知，GA={0」,2},则(GA)C3={0,1},

故选:B.

2.D

【解析】

【分析】

设平方根为“+6（。/eR）,然后由平方根定义列式，由复数相等的定义计算.

【详解】

设i的平方根为。+bi(a,beR),则(a+bi)1=a1-b1+2abi=i,

-变

产=夜

222a=---

解得

或

所

以a-b=02

.灰

2ab=\J,日

=2b=---

、2

&也

则

所g71-.V2.

1八

222---1■

2

故选：D

3.A

【解析】

【分析】

先根据频率和为1计算出。的值，再根据分位数的计算方法计算即可

【详解】

由图知各组的频率为

分组[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

频率0.10.30.410a0.110a

答案第1页，共20页

所以“=0.005,则第四组［70,80)的频率为0.05,前四组的频率之和为0.85,所以这次面试

得分的90%分位数是在第五组内，且为80+10x黑黑=85.

0.95—0.85

故选：A

4.B

【解析】

【分析】

前一个括号内有产与2)，两项，x2-(xy4)=x>y4,y(x3y3)=x3y4,所以分两种情况讨论得

解.

【详解】

前一个括号内有r与2)，两项，

x2\xy4)=x3y4,

(1+j-x)5展开式第r+1项+y产(一切，

r=l,4=C；(l+y)4(-x)展开式xy，系数为一5,

乂：6?)=*3寸，&产q(l+y)A(T)'

r=3时，n=C；(1+y)2(-不能出现巧3

••.X、"的系数为-5.

故选：B.

5.A

【解析】

【分析】

nn+1-l11

“"=西T西?=/西，然后可算出答案―

【详解】

nn+l-1_11

因为厂还厂菊一而

11111111

所以其前“项和为1f-5+5一同+5_&+…+)一丽而

答案第2页，共20页

故选：A

6.C

【解析】

【分析】

利用三角函数图象变换求出g(x),再根据三角恒等变换公式及二倍角公式结合三角函数的

性质即可求解.

【详解】

解：函数〃x)=sin2x的图象向右平移1个单位长度后得到函数y=g(x)

所以g(x)=sin(2x-g1,则

t3)

/(x)g(x)=sin2%.§抽(21一口

=sin2x-sin2xcos--cos2x.sin—

I33j

・"一出91

=sin2x--sinzx----cos2x

”2}

=­sin22x--sin2x-cos2x

22

1l-cos4x1..

=—x------------x—sin4x

2222

1fl4G.41

=——41—4cos4x+——4sin4xJ

11/吟

42I6)

ii3

当sin(4x+^)=-l时，/(x)g(x)取得最大值,且最大值为:=；

故选：C.

7.A

【解析】

、

由题意设A一多乎P，B一字一日

P,再由AABF的周长为4应得到关于P的方程,

\?\/

从而求得。的值.

【详解】

双曲线[-]=1渐近线方程为y=±4£

-X，

答案第3页，共20页

抛物线9=2Pxs>0)的准线方程为x=_g

则A，B-g-去P••.\AB\=^-p,

\)\/乙

|K4|=|FB|=jJZ乎。=¥?，

又•••A/U5F的周长为40,

:.\FA\+\FB\+\AB\=^^p+p+^Yp=4y/2,

p=2.

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线的渐近线方程、抛物线的准线方程、三角形的周长等，考查函数与方程思

想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将周长表示成关于

P的方程.

8.A

【解析】

【分析】

将z看成常数，然后根据题意表示出x，y,再作差比较出大小即可

【详解】

解：由xlny=ye'=zx,得xlny=zr,则z=lny,得卜=",

所以e=•e：=zx,所以x=--,

z

令，(z)=炉-z(z>0),则f'(z)=e：-1>0,

所以函数/(z)在(0,+◎上单调递增，所以/(z)>/(())=^-()=1,

所以区>z,即v>z

nuze'：ze2:-ze1e'(e：-z)、八

所以x-y=-----e=------------=------------>0,

zzz

所以x>y,

综上x>y>z,

故选：A

答案第4页，共20页

9.AC

【解析】

【分析】

利用反证法可判断A选项；利用线面角的定义可判断B选项；利用线面平行的判定定理和

性质可判断C选项；根据已知条件直接判断/与小的位置关系，可判断D选项.

【详解】

对于A,当/与，”不垂直时，假设/_L。，因为机ua,则这与已知条件矛盾，

因此/与a一定不垂直，A正确；

对于B选项，由线面角的定义可知，/与a所成的角是直线/与平面a内所有直线所成角中

最小的角，

若/与"，所成的角为30,则/与a所成的角夕满足0。V6V30。,B错；

对于C选项，若〃/m,〃?ua,lea,则〃/a,即〃/〃7n〃/

若〃/a,因为，"ua,则/与机平行或异面，即〃〃/8

所以，〃/机是〃/e的充分不必要条件，C对；

对于D选项，若/与a相交，则/与，"相交或异面，D错.

故选：AC.

10.BC

【解析】

【分析】

函数gM=fM-2在定义域的零点个数可转化成f(x)=2的根的个数，根据偶函数的图像关

于>轴对称，只需考虑x>0时〃x)=2的根的个数，从而可得结论.

【详解】

3X-X2,0<X<2

当x>0时,=1m(x-2)

—---L,X>2

.x

当0<xW2时，令3x-d=2,解得x=l或2共有两个解；

当x>2时，令m(x-2)=2,即(机—2»=2w，当机=2时，方程无解；

X

当相>2时，x=%>2,符合题意，方程有1解；

m-2

当机<2时，X=21<2,不符合题意，方程无解；

m-2

答案第5页，共20页

所以当x＞0时，/(x)=2有2个或3个根，而函数/(x)是定义在R上的偶函数，所以函数

g(x)=/(x)-2在定义域内的零点个数可能是4或6.

故选：BC

11.BC

【解析】

【分析】

利用三角函数的定义求出点8的坐标，进而可得出与g(e)的表达式，结合三角函数

恒等变换与三角函数的基本性质可判断各选项的正误.

【详解】

即A为角!■终边上一点,B(2cos导可,2sin,-0

对于A选项，

.,.Xo=2cos[§-(9j,%=2叫§一陟

.­./(6»)=x0+y0=2sin^-(9j+2cos^y-6»^=2>/2sin^y-(9+^=2>/2sin^-(9

=2^sin^+-^-^=2cos^-6>j,A对；

对于B选项，当夕=(时，3(2,0),/(。)=2,g(6)=0,都为整数，B错；

对于C选项，f⑻一8g⑻=(%+%)?T6%%=片+y：+2xoyo-l6xoyo

=4-14.2cos(g-e]x2sin(q-e)=4-28sin一26>)w2,C错;

对于D选项，g(e)=2.2cos(W-e)2sin(q-e)=4sin(笄-26),

由可得：超⑻在修，哥上单调递减

由一万＜今一。＜0,可得〈岩，所以，

当。咤，人=管时，/⑻与g⑻都在

(。力)上单调递减，D对.

故选：BC.

12.BD

【解析】

【分析】

答案第6页，共20页

先判断出了(x)在(0,e"T)单调递减，在(d'L”)单调递增；g(x)在(—,4+1)单调递增，在

(“+1,+8)单调递减.对。进行分类讨论，利用/*)的值域是g(x)值域的子集求出a的范

围，对于四个选项一一判断即可.

【详解】

依题意有r(x)=lnx-a+l,

所以fM在(0,/I)单调递减，在(d'T,4w)单调递增,

又g，(x)="，所以g⑸在y,a+D单调递增’在—单调递减,

⑺若尸会，即422,有，(x)在口㈤单调递减，则〃x)e[e(l-a),-a],

而a+l>l,则g(x)在JU]单调递增，则g(x)e-e(l+a),一，

易知有-e(l+a)<e(l-a),—>-a,符合题意;

e

(")若—即aWl,有f(x)在口⑼单调递增,则f(-)£[*(j)],

(1)若OVaMl,则g(x)在[-U单调递增,则g(x)e-e(\+a),—,

e

.l-a

有—e(l+a)<—a只需--->e(\—a),得。=1；

fe

(2)若。4一2,则g(x)在[-1,1]单调递减,贝(Jg(x)e-,-e(l+a),

_e_

有一6(1+4)<6(1-〃)，不符合；

(3)若—2vav0,有gCXLax=g(a+l)=」<e<e(l—。)，不符合;

e

(i")若13V2,有/(乩"八尸)二一6j/(x)max=max⑷一〃),一。},

1—4

而“+1>1,则g(x)在单调递增,则g(x)e—e(l+。),--

e

l—o,

又有-ea'>-e>-e(l+a),--->max{e,(l-a),-a},符合题意;

综上可知aWl.

故选：BD.

【点睛】

结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化:

一般地，已知函数y=/(x),xe[a,b],y=g(x),xe[c,d]

(1)相等关系

答案第7页，共20页

记y=/(x),xe[a,句的值域为A,y=g(x),xw[c,d]的值域为B,

①若V%w[a,可,3^e[c,d\,有/(5)=8(々)成立，则有4=B；

②若肛e[a,b],VAJe[c,d],有/(%)=8(动成立，则有A皂8；

③若同，切e[c,d],有〃再)=8(%)成立，故Ac5w0；

(2)不等关系

(1)若依«a,可,吃右上,周，总有f(x)<g(%)成立,故"X)皿<g5)“而；

⑵若可，a^e[c,J],有〃％)<g(z)成立,故/㈤皿<g(w)1raX；

(3)若“电,句,气力,《,有/(5)<g(w)成立，故/㈤皿—8优)山;

(4)若*虫,可,期e[c,d],有/㈤<g(xj成立，故(%)侬.

13.136

【解析】

【分析】

由题意及相关数据，分析得到95Vx<100为〃-b<X<〃+2b,结合参考数据及正态分

布的对称性即得解

【详解】

由题意4=90,(y=5

且95=90+5=〃，100=90+10=〃+2b

P。<X<〃+2。)=P(〃-2b<X<〃+2b「F<X<〃+b)=o]359

1000x0.1359=135.9«136

故答案为：136

【点睛】

本题考查的是正态分布的实际应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算能力，属

于基础题

14.6万

【解析】

【分析】

由面面垂直得线面垂直，从而可证得D4,A8,AC两两垂直，以D4,AB,AC为棱构造正方

答案第8页，共20页

体，正方体的外接球就是四面体4BC。的外接球，由此得球半径，得球表面积.

【详解】

因为△A3。是以8。为斜边的等腰直角三角形，所以

又因为平面_L平面ABC,平面ABDc平面A8C=A8,D4u平面ABA,

所以D4J■平面ABC,ACu平面ABC,,所以ZM_LAC,

所以D4=BA=CA=^x2=^,于是45L4C,即D4,A3,AC两两垂直，

2

以D4,AB,AC为棱构造正方体，正方体的外接球就是四面体A8CO的外接球，

可得四面体ABCD的外接球半径/?=1芯5）2+（夜尸+（应）2=当,

所以表面积为4万a=6加

故答案为：6n.

【点睛】

方法点睛：本题考查求球的表面积，解题关键是求得球的半径，方法是由已知垂直证得

DA,A8,AC两两垂直，然后经它们为棱构造正方体，由正方体的外接球就是四面体A8CD

的外接球可得球半径.

15.5400

【解析】

【分析】

先安排体育课（不能在第一节），再安排化学和政治在同一节，剩下4门主课，先安排一

班，再安排二班即可.

【详解】

先安排体育课（不能在第一节）有种，化学和政治在同一节有C；种，

剩下4门主课，不能同时上一种课，先安排一班有A：种，

不妨设第1,2,3,4节的顺序，

二班第一节，一班有3种选项第2,3,4节，

对应一班选出的某节课，比如第2节，

在一班上第2节时，有第1,3节，第1,4节，第3,4节3种，

故不同的排课表方法共有C；xC；xA：x3x3=5400种，

故答案为：5400

答案第9页，共20页

【点睛】

方法点睛：排列、组合问题的求解方法与技巧

（1）特殊元素优先安排；（2）合理分类与准确分步；（3）排列、组合混合问题先选后排；（4）相

邻问题捆绑处理：（5）不相邻问题插空处理；（6）定序问题排除法处理；（7）分排问题直排处

理；（8）“小集团”排列问题先整体后局部；（9）构造模型；（10）正难则反，等价条件.

，,1318

16.—.—.

25

【解析】

【分析】

当。为A8中点时，由直角三角形的性质可求出==从而可求出尸D；根据题

设条件可设定=4所（A>0）,结合定=机序+（^-"?）两与A、B、。三点共线，可求

得4,再根据勾股定理求出AB,然后根据余弦定理即可求解.

【详解】

解：由勾股定理可知，AB=7AC2+BC2=>/32+42=5>当。为AB中点时,

CD=-AB=~,所以尸O=PC-CO=9-°=U;

2222

VC,。、P三点共线,二可设=(2>0),

若机/0且机H口，则A、B、。三点共线，*（5力_],即4=日，

2A.A~2

VCP=9,:.PD=6,8=3,设AO=x,ZADC=0,

则5£>=5-x,ZBDC=TT-0,二根据余弦定理可得cos"'"-'"：.’"=：

2ADCD

,小CD-+BD2-BC2(5-x)2„/小

cos(乃一。)二------------二———y,,cosO+cos(不一。)=0,

I)2CDBD6(5-x)v)

♦,•0+票2=°，解得》=:或x=5(舍去)，...B。的长度为5-：=号.

6x6(5-x)555

1Q1Q

故答案为：-；y.

答案第10页，共20页

【点睛】

关键点睛：

本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是

设出卮=4而（2＞0）,结合共线定理求出九

17.答案见解析

【解析】

【分析】

选条件①：根据如/^^二百“^卜/胡必求得加/胡。，再在△A3。中用正余弦定理

分别求得3。和sinZADB,进而求得AC与A45C的面积;

选条件②：根据$出/胡。=$山（90。+/84£＞）求得$抗/84。，再求sin8,再在△Afi£＞中,

由正弦定理得4B=石，BD=母,进而求得面积;

选条件③：根据sinZR4C=sin（90。+NBA。）求得sin/BAD,即sinC,再根据

sinB=sin（N84O+NAOBK].sinB,再在△ABO中，由正弦定理得AB，8。，进而求得

面积

【详解】

，/s

选条件①，sinABAC=sin(900+NBA。)=cosNBA。=年,

所以sin/B4O=

得3。=，20+1-2*2国1、半=旧.

在△AB。中，由余弦定理，

ZBABBD.2：—=芈

在△43。中，由正弦定理，sinZADBsinNBA。'sxnZADB声’

5

所以sin/AO8=2叵.

13

所以sinNAOC=3叵,cosNAOC=之姮，所以tanNA£>C=；,所以AC=2.

131333

答案第11页，共20页

所以△ABC的面积为』x2石x2x撞=&

2353

2R

选条件②，sinABAC=sin(90°+ABAD)=cosNBA。=学,

-立,

所以sin/BAD

一5

且xj叵|+述x也Vio

所以sin8=sin(NBA。+135°)=

5I2J52Io-

APADBD

在△AM中,由正弦定理,得而而得AB=#,BD=y/2.

sinBsinNBAD

因为NA£)B=135。，所以Z4DC=45。，所以AC=1,

所以“5c的面积为Lx^xlx拽=1.

25

，/s

选条件③，sinABAC=sin(90°+/BAD)=cosABAD=学

所以sinN8Ao=

因为7.BAD=ZC,所以sinC=—，

5

在Rt/\ACD中，可得cosZ.ADC=，所以cosNADB=——-,sinZ.ADB=-^―

555

所以sin8=sin(N84O+ZADB)=^x

ABADBD

在△ABO中，由正弦定理，得得AB若加咚

sinZADBsinBsinNBAD

因为sinC=立，所以cosC=2叵，所以tanC=1,所以AC=2.

552

所以的面积为也x2x冬叵=±

2353

18.⑴%=3"；

(2)/7=88.

【解析】

【分析】

(1)利用。”与5”的关系求出｛4｝通项公式即可

(2)利用累乘法求出｛%｝的前〃项积的表达式，列出关于”的方程，解出“即可

答案第12页，共20页

(1)

由题意知当"22时，S„+S„_x=nan,

M+1

•••S,+S,I=n(5„-5„.,),整理得S,=1S”T，

n-1

由5]=4=3,

.c〃+1〃n-1n-243_3/\

••S„=------x--------x--------x--------x•••x—x-x3=-In2+〃),

"n-\n-2n-3〃-4212V7

经检验，£=3也符合5“=](/+〃).

.•.当“22时，%=5“-S”T='|(〃2+«)-^[(«-1)2+(«-l)]=3n.

由4=3也满足为=3〃，

数列｛4｝的通项公式为%=3〃.

⑵

91n2-ln-\n+\

由(1)得勿=1-5=1-二=-------x-------,

2

4九nnn

/?—1〃+ln+l

b,&-•x-------x-------=--------,

〃223344nn2n

,n+\89/曰

由亏=行’得〃=88・

19.(1)证明见解析；(2)更.

10

【解析】

【分析】

(1)在A4?C中，由正弦定理可得sin8=1,则进而由面面垂直的性质得出

ABJ•平面4GCB，即得AB^qC,在AQBC中，由余弦定理求出80=6可得

B.C1BC,结合48，耳。可得用。,平面A8C,即可证明；

(2)以8为坐标原点，以8c为x轴，84为>轴，过8作平面ABC的垂线为z轴建立如图

所示的空间直角坐标系，利用向量关系求解.

【详解】

(1)证明：因为AC=2BC=2,所以8c=1.

7[71

因为2乙4圆=彳，所以a4cB==.

36

答案第13页，共20页

2

BCAC

在△ABC中,，即sinnsinB,

sinAsinB

6

所以sinB=l,即AB_L3C.

又因为平面ABC，平面用GCB,平面ABCn平面4GC3=3C,ABi平面ABC,

所以A8L平面BCCB.

又B,Cu平面BCCB,所以48LBC，

在AB|BC中，B、B=2,BC=1,ZCBB,=y,

所以8c2=B乃2+8C2-2B|BBCCOS?=3,即4C=J5,

所以BC^BC.

而ABJ.BC，ABi平面ABC,BCu平面ABC,ABcBC=B,

所以4C_L平面ABC.

又BCu平面ACB,,所以平面ABC_L平面ACB,.

(2)以8为坐标原点，以BC为x轴，54为y轴，过6作平面43c的垂线为z轴建立如图

所示的空间直角坐标系：

则3（0,0,0）,C（l,0,0）,A（0,6,0）,

••・qc,平面ABC,..第（1,0,6）,,8瓦=（1,0,6）,

在三棱柱中，AA"BB\HCC\,可得G（2,0,6）,A（1,6,坏人

・••P为8c中点，，尸6,0,0）,

答案第14页，共20页

.•不=卜；,一百,一可，语'=(1,一⑹，西=(0,0,百),

设平面4c4的一个法向量为G=(x,y,z),

喘弁即忆Ji»令x=屈),可得y=i,z=。,

则3=("1,0),

设直线\P与平面AC4所成角为6,

_*G+o"

A^Pn

则sin0-cos<AP,n>=5x2F'

MW2

故直线AP与平面ACS,所成角的正弦值为述.

10

【点睛】

思路点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于‘‘四破"：第一，破"建系关”，构建恰当

的空间直角坐标系：第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量

关“，求出平面的法向量：第四，破“应用公式关

20.(1)正；(2)-1.

【解析】

【分析】

(1)取线段BC的中点为G(x0,y。)，根据三角形重心的性质，求得G的坐标及与交点B,

C的关系，代入椭圆方程，化简，并根据直线的斜率求得参数a,b,c,从而求得椭圆方程

和离心率;

(2)根据焦点坐标写出抛物线方程，设点P的坐标为(-1,%),直线尸。的方程为

y={(x+l)+%,直线PE的方程为y=&(x+l)+%.联立直线方程与抛物线方程，直线与

抛物线相切时，判别式等于0,从而得到切线斜率满足的表达式，分别令x=0,得

m=kt+%,”=&+%,代入即可验证nm是否是定值.

【详解】

解：(1)由题设尸(。,0),4(0力),8(%,弘),。(々,％)，线段BC的中点为G(x。,九)，

答案第15页，共20页

由三角形重心的性质知石=2宓，即（。，叫=21—c,%）,解得不专,％一,

即代入直线6*-5k14=0,得9。+|。-14=0①.

又G为线段BC的中点，则占+x?=3c,y+%=-b,

2222

又B，C为椭圆上两点，，耳+口=1,与+与=1,

ab"a~b~

以上两式相减得。+刍）q一动+（%+外下一%）=i,

a"b~

22

.X一%bx,+x9b3c6-pg,小

**•^BC=------=---2-----=----fX—T=T，化间得2Q2=5bc②

x}-x2ay}+y2a-b5

a=y/5「

由①②及。2=从+/,解得：］h=2

C=1

（2）抛物线y2=2px的焦点是尸（1,0）,，^=\,:.p=2,

,抛物线方程为V=4x.

设点P的坐标为(-1,%),直线PO的方程为y=4(x+i)+%,直线PE的方程为

y=&(x+l)+%.

2

[y=4x2

由T,/,x，得Ky2-4)，+4K+4%=0.

y=kt[x+})+y0

所以△=16-4仁(4匕+4%)=0,得片+yuk,-l=0.

同理，得后+%&-1=0,

K+&=_%

所以

ktk2=-1

答案第16页，共20页

分别令x=0,得相=K+%,“=&+%,

所以〃⑺=(匕+%)(e+%)=y；+(4+k2)y{}+k}k2=-l.

【点睛】

关键点点睛：(1)三角形重心是中线的三等分点，利用重心与顶点的关系，可以写成所求

点的坐标；

(2)直线与圆锥曲线相切时，可以通过联立，使判别式等于0求得参数满足的关系.

21.(1)分布列见解析，?；(2)———.

677+1

【解析】

【分析】

(1)先分析&的取值并计算出对应的概率，由此得到4的概率分布并计算出其数学期望；

(2)记运行“归零’程序中输出1)的概率为2,然后根据，匕+-…，AT之间的

关系进行化简可得P„=Emx”|，利用累乘法求可求解出P”.

【详解】

(1)由题意可知:J可取1,2,3,

当4=3时，此时依次替换的数为2,1,0,所以产《=3)=:*：=[,

当4=2时，此时依次替换的数为2,0或1,0,所以P(g=2)=$g+；=；,

当4=1时，此时替换的数为0,所以P(”l)=；,

则J的概率分布如下表：

123

]_£2

P

326

所以E（J）=lx』+2xL+3xLU

V73266

(2)设运行“归零’程序中输出»(0</7<^-1)的概率为P„,

法一：则匕贵+乙炉++小、++一-+九'占+1

答案第17页，共20页

故时,，匕+1=E,+2X-^?+匕+3、一^+…+4-lX^y+J,

n+2〃+3K-1k

以上两式作差得，匕-*=么产工,则乙=文门等，

〃+1724-1

则'产配*Wl，心=心，”

77+277+3

则E,匕42…号产£*