适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习下篇能力培养思维进阶5数学运算课件

能力五数学运算数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的核心素养.主要包括:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,选择运算方法,设计运算程序,求解运算结果等.数学运算是解决数学问题的基本手段.数学运算是演绎推理,是计算机解决问题的基础.数学运算主要表现为:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,求解运算结果.通过高中数学课程的学习,学生能进一步发展数学运算能力;有效借助运算方法解决实际问题;通过运算促进数学思维发展,形成规范化思考问题的品质,养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.在高考数学中对数学运算这一核心素养进行考查,其关键点在于:学生能够根据题目的情境正确理解运算对象,然后运用相关运算法则,探究出该情境下的运算思路,通过正确的运算方法最后求得运算结果.数学运算的流程数学运算的流程

(1)理解运算对象理解运算对象就是要明确地知道对谁进行运算,进行什么运算,运算对象的本质是什么.理解运算对象是正确进行数学运算的前提和根本,只有做到心中有数,才能利用运算对象的概念、性质等选择适当的运算方法进行后续的运算,才能更好地解决数学问题.本题的运算对象是直线与椭圆,运算对象的性质是直线与椭圆的位置关系.(2)掌握运算法则掌握运算法则是正确解决数学运算问题的关键,不同的运算对象有不同的运算法则,只有正确理解了运算对象,熟练灵活地选择相应的运算法则,才能正确解答运算题.数学运算法则的使用不是生搬硬套,而是在熟记和理解的基础上灵活运用,做到正用、逆用、变形用,从而达到综合应用,这样才能提高解题的速度.如上例中的运算法则是直线方程的设法、点到直线的距离公式、三角形面积公式、根与系数的关系等.(3)探究运算思路运算思路是进行数学运算的路线图,具有很强的逻辑性,蕴含着丰富的演绎推理过程.近年来,高考试题更注重数学思维和思想方法的考查,其目的就是为了“反套路”和杜绝“机械刷题”现象,从而提高学生的数学核心素养,而运算思路是体现数学运算素养的精华,是解决数学问题的关键,通过探究运算思路,能够促进数学思维发展.因而,只有实现数学知识与数学思维和思想方法的有机整合,培养学生利用数学思想方法解题的意识和能力,才能优化运算方法和思路,更好地理解数学,体会数学的美.(4)求得运算结果求得运算结果需要正确理解运算对象,掌握并灵活运用运算法则和方法,探究合理运算思路.在高中阶段,求得运算结果的能力分为应用运算能力和过程运算能力.应用运算能力主要考查根据已知量算出未知量的运算技能.而高考题重点不在应用运算,而在于过程运算,过程运算能力基于应用运算能力,是理解运算对象、掌握运算方法、探究运算思路、求得运算结果的综合体现.因此,在数学运算的学习与实践中,不但要知道运算是一种重要的工具和方法,更重要的是一种思维模式,即“理性思维”,通过数学运算的训练还有助于提高人的推理能力、抽象能力、分析能力和批判性能力等.上例中在学生正确理解运算对象,掌握并灵活运用运算法则和方法,探究合理运算思路的基础上便可成功获得如下正确运算结果.数学运算与高考关键能力2023年2022年2021年新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷数学运算运算与数据处理能力

第10题

运算路径选择能力第21题

第21题

估值与近似计算能力

思维进阶训练A2.(运算路径选择能力)(多选题)(2023山东潍坊一模)已知1<m<n,过点(m,log2m)和(n,log2n)的直线为l1.过点(m,log8m)和(n,log8n)的直线为l2,l1与l2在y轴上的截距相等,设函数f(x)=mnx+n-mx,则(

)A.f(x)在R上单调递增B.若m=2,则f(1)=32C.若f(2)=6,则f(4)=34D.m,n均不为e(e为自然对数的底数)CD因为函数y=log2x在区间(0,+∞)内单调递增,所以mn=nm,所以f(x)=mnx+n-mx=mnx+m-nx.对于A,令t=mn,t>1,则f(x)=tx+t-x,f'(x)=txln

t-t-xln

t.令u(t)=txln

t-t-xln

t,则u'(t)=tx(ln

t)2+t-x(ln

t)2>0在R上恒成立,所以u(t)=txln

t-t-xln

t在R上单调递增,即f'(x)在R上单调递增.又f'(0)=ln

t-ln

t=0,所以当x>0时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;当x<0时,f'(x)<0,所以f(x)在区间(-∞,0)内单调递减,故A错误.对于B,设g(x)=2x-x2(x>2),则g'(x)=2xln

2-2x.令h(x)=2xln

2-2x(x>2),则h'(x)=2x(ln

2)2-2,显然h'(x)在区间(2,+∞)内单调递增,且h'(2)=4·(ln

2)2-2<0,h'(3)=8·(ln

2)2-2>0,根据零点存在定理,可得∃x0∈(2,3),有h'(x0)=0,且当2<x<x0时,有h'(x)<0,即h(x)在区间(2,x0)内单调递减,所以g'(x)在区间(2,x0)内单调递减;当x>x0时,有h'(x)>0,即h(x)在区间(x0,+∞)内单调递增,所以g'(x)在区间(x0,+∞)内单调递增.因为g'(2)=4ln

2-4<0,g'(3)=8ln

2-6<0,g'(4)=16ln

2-8>0,所以根据零点存在定理,可得∃x1∈(3,4),有g'(x1)=0,且当2<x<x1时,有g'(x)<0,即g(x)在区间(2,x1)内单调递减;当x>x1时,有g'(x)>0,即g(x)在区间(x1,+∞)内单调递增.因为g(2)=22-22=0,g(3)=23-32=-1,g(4)=24-42=0,g(5)=25-52=7,所以由g(x)=2x-x2=0,可得x=2或x=4.因为m=2,所以由mn=nm可得,2n=n2,所以n=4或n=2(舍去).所以f(x)=24x+2-4x=16x+16-x,所以f(1)=16+16-1≠32,故B错误.对于C,因为f(x)=mnx+m-nx,则由f(2)=6可知,m2n+m-2n=6.所以(m2n+m-2n)2=m4n+m-4n+2m2n·m-2n=f(4)+2=36,所以f(4)=34,故C正确.3.(估值与近似计算能力)(2023江苏南通模拟)刘徽编撰的《重差》是中国测量学著作,为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度,已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点),地面上B,C两点与点A在同一条直线上,且在点A的同侧.