新高考数学二轮复习考点突破课件 第1部分 专题突破 专题2　第2讲　三角恒等变换与解三角形（含解析）

第2讲三角恒等变换与解三角形专题二

三角函数与解三角形考情分析1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查求边长、角度、面积

等，三角恒等变换作为工具，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范

围问题.2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度.考点一三角恒等变换考点二正弦定理、余弦定理考点三解三角形的实际应用专题强化练内容索引三角恒等变换考点一核心提炼1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcos

β±cos

αsinβ；(2)cos(α±β)＝cos

αcos

β∓sinαsinβ；2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

(1)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossinβ，则A.tan(α－β)＝1

B.tan(α＋β)＝1C.tan(α－β)＝－1

D.tan(α＋β)＝－1√例1由题意得sinαcos

β＋cos

αsinβ＋cos

αcos

β－sinαsinβ整理，得sinαcos

β－cos

αsinβ＋cos

αcos

β＋sinαsinβ＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1.√三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等；(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂；(4)弦、切互化：一般是切化弦.规律方法√跟踪演练1√(2)已知函数f(x)＝sinx－2cosx，设当x＝θ时，f(x)取得最大值，则cos

θ＝________.正弦定理、余弦定理考点二核心提炼例2√因为bsin2A＝asin

B，所以2bsinAcos

A＝asin

B，利用正弦定理可得2abcosA＝ab，(2)(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A).①证明：2a2＝b2＋c2；方法一

由sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，可得sinCsin

Acos

B－sinCcos

Asin

B＝sinBsin

Ccos

A－sinBcos

Csin

A，可得accos

B－bccos

A＝bccos

A－abcos

C，即accos

B＋abcos

C＝2bccosA(*).将上述三式代入(*)式整理，得2a2＝b2＋c2.方法二

因为A＋B＋C＝π，所以sinCsin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sinBsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.又sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.由①及a2＝b2＋c2－2bccosA得，a2＝2bccosA，所以2bc＝31.因为b2＋c2＝2a2＝50，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，得b＋c＝9，所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝14.正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理.(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理.注意：应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.规律方法跟踪演练2√根据正弦定理可知b＝2RsinB，a＝2RsinA，得2RsinBcos

A＋2RsinAcos

B＝2Rsin(A＋B)＝2，①求角A的大小；在△ABC中，由正弦定理得，c＝2RsinC，b＝2RsinB，化简得cosAsinB＋sinAcosB＝2sinCcosA.即sin(A＋B)＝2sinCcosA，∵A＋B＝π－C，∴sin(A＋B)＝sinC≠0，②若a＝2，求△ABC面积的最大值及此时边b，c的值.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，又b2＋c2≥2bc，∴bc≤4，解三角形的实际应用考点三解三角形应用题的常考类型(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.核心提炼(1)滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃的诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，小明同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12m，在它们的地面上的点M(B，M，D三点共线)测得楼顶A、滕王阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得滕王阁顶部C的仰角为30°，则小明估算滕王阁的高度为(精确到1m)A.42m B.45m

C.51m D.57m√例3在△ACM中，∠CAM＝30°＋15°＝45°，∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，所以∠ACM＝30°，在Rt△CDM中，CD＝CMsin60°(2)雷达是利用电磁波探测目标的电子设备，电磁波在大气中大致沿直线传播，受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离L＝

(如图)，其中h1为雷达天线架设高度，h2为探测目标高度，R为地球半径.考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等效取8490km，故R远大于h1，h2.假设某探测目标高度为25m，为保护航母的安全，须在直视距离412km外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为(参考数据：

≈4.12)A.6400m B.8100mC.9100m D.1000m√根据题意可知L＝412km，R＝8490km，h2＝0.025km，解得h1≈9.02(km)≈9100(m).所以舰载预警机的巡航高度至少约为9100m.解三角形实际问题的步骤规律方法(1)如图，已知A，B，C，D四点在同一条直线上，且平面PAD与地面垂直，在山顶P点测得点A，C，D的俯角分别为30°，60°，45°，并测得AB＝200m，CD＝100m，现欲沿直线AD开通穿山隧道，则隧道BC的长为跟踪演练3√由题意可知A＝30°，D＝45°，∠PCB＝60°，所以∠PCD＝120°，∠APC＝90°，∠DPC＝15°，因为sin15°＝sin(45°－30°)所以在△PCD中，所以在Rt△PAC中，(2)如图是建党百年展览的展馆——国家博物馆.现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度OP(点O在柱楼底部).现分别从地面上的两点A，B测得点P的仰角分别为30°，45°，且∠ABO＝60°，AB＝60

米，则OP等于√如图所示，设OP＝h，由题意知∠OAP＝30°，∠OBP＝45°.在Rt△BOP中，OB＝h.在△ABO中，由余弦定理，得OA2＝AB2＋OB2－2AB·OBcos60°，专题强化练一、单项选择题√1234567891011121314由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去).√1234567891011121314√12345678910111213141234567891011121314所以bc＝6，又b－c＝1，可得b＝3，c＝2，√12345678910111213141234567891011121314∴cos

β＝cos[(β－α)＋α]＝cos(β－α)cos

α－sin(β－α)sinα12345678910111213145.故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群，故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴.已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°.图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长度(单位：米)约为A.3米

B.4米C.6(－1)米

D.3(＋1)米√1234567891011121314如图，根据题意得∠ACB＝15°，∠ACD＝105°，∠ADC＝30°，∠CAD＝45°，CD＝24米，所以∠CAD＝45°，在△ACD中，由正弦定理得12345678910111213141234567891011121314√12345678910111213146.(2022·济宁模拟)已知sinα－cos

β＝3cosα－3sinβ，且sin(α＋β)≠1，则sin(α－β)的值为1234567891011121314由sinα－cos

β＝3cosα－3sinβ得，12345678910111213141234567891011121314二、多项选择题7.(2022·张家口质检)下列命题中，正确的是A.在△ABC中，若A>B，则sinA>sinBB.在锐角△ABC中，不等式sinA>cos

B恒成立C.在△ABC中，若acos

A＝bcos

B，则△ABC是等腰直角三角形D.在△ABC中，若B＝

，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形√√√对于A，由A>B，可得a>b，利用正弦定理可得sinA>sinB，正确；1234567891011121314因此不等式sinA>cos

B恒成立，正确；对于C，在△ABC中，acos

A＝bcos

B，利用正弦定理可得sinAcos

A＝sinBcos

B，∴sin2A＝sin2B，∵A，B∈(0，π)，∴2A＝2B或2A＝π－2B，1234567891011121314∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，错误；由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，1234567891011121314∴△ABC必是等边三角形，正确.1234567891011121314√√123456789101112131412345678910111213141234567891011121314三、填空题12345678910111213141234567891011121314123456789101112131411.(2022·开封模拟)如图，某直径为5海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距5海里，cos∠BAD＝－

.则小岛B与小岛D之间的距离为_____海里；小岛B，C，D所形成的三角形海域BCD的面积为____平方海里.123456789101112131415由圆的内接四边形对角互补，得又∠BCD为锐角，所以sin∠BCD1234567891011121314整理得CD2－8CD－20＝0，解得CD＝10(负根舍去).1234567891011121314123456789101112131412.(2022·汝州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，cos2C＝cos2A＋4sin2B，则△ABC面积的最大值为____.由cos2C＝cos2A＋4sin2B得，1－2sin2C＝1－2sin2A＋4sin2B，即sin2A＝sin2C＋2sin2B，由正弦定理得a2＝c2