2023-2024学年北京西城区北师大实验中学高二（上）期中数学试题及答案

2023北京北师大实验中学高二（上）期中数学班级______姓名______学号______成绩______1．本试卷共4页，共五道大题，24道小题，答题卡共8页，满分150分，考试时间分钟．考生须知2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号．3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答．第Ⅰ卷（共100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）E,FABCD−BCDAB,CDAB+CF的中点，则等于（1．如图，分别是长方体的棱）ACAE（D）（A）2．直线x+3y−1=0的倾斜角是（（A）30（B）60（C）120（D）150（B）（C））()3．若抛物线x2=ay0,1的焦点坐标为，则其准线方程为（）（A）x=−1（B）x=1（C）y=1（D）y=14．如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于EFBCa,E,F,G分别是棱AB,AD,GFAC的中点．则与分别等于（）a2a2a2a2a2a2a2a2（A）−和（B）和−（C）和（D）−和24242422x2y2+=1的两个焦点为F,F，过点F的直线交椭圆于,B两点，如果AB=8，那么5．设椭圆121259+的值为（）22（A）2（B）10（C）12（D）146．抛物线y=4x上的点到其焦点的距离的最小值为（）21（A）（B）1（C）2（D）42x22y227．若双曲线−=1的焦点F0)到其渐近线的距离为5，则双曲线的方程为（）abx2y2x2y2x2y2x2y2（A）−=1（B）−=1（C）−=1（D）−=1455436638．如图，在正方体ABCD−ABCD中，点P为棱DD的中点，点Q为面ADDA内一点，BQ⊥，11111111则（）（A）S=2△1（B）2S=3△1（D）3S=△1△ADQ△ADQ1111（C）2S=2△1△ADQ11△ADQ11二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）()(0)a,−+=a=垂直，则______．x2y309．若经过点的直线与直线10．已知平面的法向量为(−−)2，平面的法向量为(−1,2,k)，若//，则k=______．1:x2+y2+2x+3y+1=0和C2:x2+y+4x+3y+2=0相交，则圆C与圆C的公共2．已知两圆12弦所在直线的方程为______．12．设v=1,2,v=2,3,2分别是空间两直线l,l的方向向量，则直线l,l所成角的大小为______．121212()=(−)13．已知P2,3是直线l上一点，且n2是直线l的一个法向量，则直线l的方程为______．x214．设点F,F分别为椭圆C:+y=1的左、右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得2124PFPF=mm成立的点恰好是4个，则实数的一个取值可以为______．12三、解答题（本大题共3小题，共30分）1510分）已知△ABC的三个顶点A8,5,B2,C6,3，求经过两边()(−)(−)AB和AC的中点的直线的方程．1610分）已知直线l:x+−3=0与圆(−)C:x22+(+)y3=9．2（Ⅰ）若直线l与圆C相切，求实数m的值；（П）当m=−2时，直线l与圆C交于点1710分）E,F，设O为原点，求△EOF的面积．如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，⊥底面，为ABCDPD=DC=AD=MBC的中点．（Ⅰ）求证：AD//平面PBC；PCD所成的角的余弦值．（П）求平面与平面第П卷（共50分）四、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）()(2),C),D2)，若A,1,B,B,C,D18．在空间直角坐标系中，已知点则m=______．四点共面，x22y2219．已知双曲线−=()的右焦点为F，过点F作x轴的垂线l,l在第一象限与双曲线1ab0ab,BA两点．若点是线段的中点，则双曲线的离心率为______．及其渐近线分别交于20．如图，在长方体ABCD−ABCD中，===1，点P在侧面AABB上．若点P到直1111111线和CD的距离相等，则AP的最小值是______．11(−)()21．在平面直角坐标系中，到两个点A2,0和B0的距离之积等于4的轨迹记作曲线，对于曲线ΩΩP及其上一点，有下列四个结论：Ω①曲线关于轴对称；xP②曲线上有且仅有一点，满足=；y1；Ω③曲线上所有的点的横坐标x22,22，纵坐标④+的取值范围是22,5．其中，所有正确结论的序号是______．五、解答题（本大题共3小题，共34分）2212分）如图，直四棱柱ABCD−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，点E1111在棱1上（Ⅰ）求证：AC⊥；111（П）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得⊥平面EAC，并给出证明．111E的中点；1条件①：为条件②：//平面EAC；111条件③：⊥．11ED的中点，且点到平面C的距离为，求的长度．11（Ⅲ）若为112312分）x22y22已知椭圆Γ:+1ab0=()的左、右顶点分别为A,A，上、下顶点分别为B,B,BB=22，122112ab四边形ABAB的周长为82．1122Γ（Ⅰ）求椭圆的方程；)FΓF（П）设点为椭圆的左焦点，点T(m，过点的垂线交椭圆于点作TFΓP,Q，连接与OTPHPQH交于点．试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．HQ2410分）n个有次序的实数1()称为一个n维向量，其中in()所组成的有序数组a2n12()，若称为该向量的第i个分量．特别地，对一个n维向量aai，称为an12n)=()，则a和b的内积定义为，且维信号向量．设aa⊥bab=0．=(a,a,,a,bb,b,,ba12n12niii1（Ⅰ）直接写出4个两两垂直的4维信号向量．（П）证明：不存在14个两两垂直的维信号向量．（Ⅲ）已知k个两两垂直的2024维信号向量x,x,,x满足它们的前m个分量都是相同的，求证：12k45．参考答案第Ⅰ卷（共100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．D5．C2．D6．B3．C7．A4．A8．A二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）9．−10101．2x+1=012．2x−2y+4=013．三、解答题（本大题共3小题，共35分）1513分）AB和AC的中点分别为D,E，解：设3()D,E4()(−)(−)因为A8,5,B2,C6,3，所以232−4y−4（或求一点，BC斜率）所以直线x+2y−9=0，的方程为：=，x−16−1整理得：经过两边AB和AC的中点的直线的方程为x+2y−9=0．1612分）4m=．3（П）当m=−2时直线l:x−2y−3=0，点C到直线l的距离为5．求得EF=4，351655原点O到直线l的距离为h1710分）=，△EOF的面积为S=EFh=．52P−ABCD的底面是矩形，所以AD//BC，又因为AD平面所以AD//平面PBCPBC,BC平面PBC，DDA、DC、DP、、z所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标（П）解：以点为坐标原点，D−系，C=AD=M为BC的中点．(D0,0,A2,0,0,M0,P0,1)()()()，=(−)=(−)，PA1,PM1n=(x,y,z)，设平面的法向量为n2xz−=即x+y−z=nPM=z=2x=y=1n12)令，则平面PCD的法向量为m=10)，11+01+02,n，m+2+212+12+210026平面与平面PCD所成的角的余弦值．6第П卷（共50分）四、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）2318219．20．33五、解答题（本大题共3小题，共35分）2213分）BD,BD．11ABCD−ABCDBB1⊥ABCD1，111由直四棱柱知，平面．1111ACABCD⊥AC1，所以111又平面11111因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD．又BD11，111111111所以AC⊥平面DDBB．1111又平面DDBB，所以AC⊥．111111（П）选条件①、条件③，可使⊥平面EAC．证明如下：设ACO，连结OE,BD1．11111E,OBB,BD的中点，所以OE//BD．1111又分别是因为⊥，所以DB⊥OE．111由（Ⅰ）知AC⊥平面DDBB，所以AC⊥．1111111又1，所以⊥平面EAC．111（П）选条件②、条件③，可使⊥平面EAC．证明如下：111设1O，连结OE．因为//平面EAC,平面DDBB，平面D平面EAC=，所以BD//OE．11111111111因为⊥，所以DB⊥OE．111由（Ⅰ）知AC⊥平面DDBB，所以AC⊥．1111111又1，所以⊥平面EAC．111BBtt=()0．（Ⅲ）设1因为,DC,DD1两两垂直，()()()()D0,0,0,A2t,C2t,Et，所D如图，以为原点，建立空间直角坐标系D−，则11)以1=(−=(−)．0,EAt1n−x+y=设平面DAC的法向量为n=(x,y,z)，则即11−y+tz0.=nA1z=1，则x=y=tn=()=t)．令点，于是t,t,1,DEDEAC的距离为1到平面nt7277d==1，解得t=BB1=则，所以．n+17t22312分）b=22,．解得a2=b=2．2解：依题意可得：4a2+b2=82x2y2Γ所以椭圆的方程为+=1．62PH（П）为定值1，理由如下：HQ(−)(−)=−m，TF由Tm,F2,0，显然斜率存在，kPHHQ当m=0时，=1．1当m0时，直线PQ过点F且与直线TF垂直，则直线PQ方程为y=(+)．x2m1yx=(+)x2,m得m2+3x)+12x+12−6m=0．由222y2+=162显然Δ0．1212−6m2()()+=−2,1x=Px,y,Qx,yx12设则，则．1122m2+m2+331+x26mP,Qx==−．直线OTy=−x，中点的方程为2m2+331y=(+)x2,6PHHQPHHQm由得xH=−H，所以为线段PQ的中点，所以=1．综上为定值．mm2+3y=−x32410分）()(−−)(−−)(−−)1,1,,1．（П）假设存在14个两两垂直的14维信号向量y,y,,y，1214将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，不妨设y=),y=1)，123有7个分量为1设y的前7个分量中