滑移线理论-弹塑性力学讲稿

塑性平面应变和滑移线场理论一、塑性应力场的根本方程

本节讨论理想刚塑性材料的平面应变问题，这种材料的特性为屈服前处于无变形刚性状态，一旦屈服即进入塑性流动状态。o

由前面可知，平面塑性应变状态是物体中各点的塑性流动都平行于给定的xy平面，以及变形与z

无关：w=0。非零应力有及。在体积不可压缩和小变形条件下，任一微小

单元在塑形应变状态下的畸变增量是一个纯剪变性。所以，每一点的应力状态为一个纯剪应力加一个静水压力；〔4-34〕★

刚塑性增量理论的本构方程：〔4-35〕〔4-35`〕

由

于是，〔4-36〕〔4-37〕★屈服条件：〔Mises〕化简后为〔4-38〕

于是，在塑性区内主应力为〔4-39〕

〔4-40〕〔4-41〕

这就是说，在塑性区内任一点的应力状态，可用静水压力与纯剪应力两个分量来表示，如图示。

★

在不计体力的情况下，平衡方程为：〔4-42〕二、滑移线及其几何性质1、滑移线场理论：分析塑性区内一点的应力状态，如图〔a)示：

z

y

x由于中间应力为——是主应力且——记作对此我们一定能画出三向应力圆。如图〔b)示：〔a)

X轴〔b)♣

应力圆上的

两点，对应两个最大切应力面，两面是正交的。

点的切应力为-k,从x

轴逆时针转角到法线方向。

点的切应力为k,从法线方向转角到法线方向。♣在塑性区的每一点都可以找到两组正交的截面，其截面上切应力最大，一是方向，在该面上切应力为负值，另一是方向，在该面上切应力为正值。且规定：，的方向符合右手坐标系。♣

每一点都有、方向线，连接无限接近点的、线，就

得到了、两组互相正交的曲线。这些曲线就是最大切应力迹线。因为材料沿最大切应力方向滑移产生塑性变形。

★

习惯上把最大切应力迹线称为滑移线。★

、两组滑移线在塑性区形成互相正交的滑移线网格，

这网格称为滑移线场。如图示：yxo

k

kkk

滑移线网格把塑性区分割成无数滑移线单元，每个单元上作用着：正应力；切应力k;

线与x轴之夹角

线方程为：

线方程为：

线线。

、线的方程与特征线方程完全相同，因此特征线与滑移线重合。特征线方向就是最大切应力所在平面的法线方向。由图可得以下关系式：〔4-43〕将上式代入平衡方程得方程式：(a)既然每一点都有两个相互垂直的特征线〔滑移线〕，我们可以将坐标系转变一下，建立一局部坐标系：如图示。

p

x

y

将x,y

轴转为，轴，屈服条件与平衡方程并不变，此时，取此时〔a)式为

即有：积分得：〔4-44〕〔A)(沿线〕〔沿线〕〔4-45〕〔B)

增量形式：〔沿线〕〔沿线〕〔4-46〕〔C〕〔A〕——就是滑移线单元的平衡微分方程。〔B〕〔C〕——就是滑移线单元的平衡微分方程的积分或差分形式。

2、滑移线的主要性质〔1〕汉基第一定理

d

c

ab如沿族滑移线中的任一条移动，从滑移线转到同族滑移线那么所转过的角度和应力的变化量保持常数。即有：

，〔4-47〕〔4-48〕推论〔1〕：假设滑移线为直线族，此时滑移线网格结点上的，值必为常数，那么所得应力解为均匀应力场。推论〔２〕：如果〔或族〕滑移线的某一段线是直线，那么被族〔或族〕滑移线所截割的所有线的相应线段都是直线。如图示:BA

aab

b〔２〕汉基第二定理

若沿某一滑移线移动（如），则另一族滑移线在交点处的曲率半径的变化＝沿该线所通过的距离。即：或：AA`BB`证明：由于〔定义〕又可写为〔AB〕令AB=A`B`=那么其中于是有或由汉基第一定理，为一常数，因而有：〔4-49〕同理可得：沿线：或：沿线：〔4-50〕三、边界条件及根本边值问题〔1〕用表示的应力边界条件：

y

x

on应用滑移线解法分析塑性应力场时，根本方程中的未知量是；应力边界条件也用表示。边界如图示：应力、，方向与、、关系如下〔4-51a〕

在边界上也应满足屈服条件：将上式代入〔4-51〔a)式得：〔4-51b)那么〔4-52〕

其中：是的主值；

m是任一整数，m取0或1；为两组解答。例：如图，自由边界，

求出：

对应的应力分量为：或是拉还是压，不能由边界决定。

y

x

n〔2〕第一边值问题〔柯西问题〕

设给定的边界是光滑曲线AB如图。它不是滑移线，且与任一滑移线仅相交一次。(0,0)(1,1)(m,m)(m+1,n+1)AByxoAB线上各点的、，需求边界内的塑性应力场。称为第一边值问题。P(0,0)(1,1)(m,m)(m+1,m+1)AByxo

●利用滑移线的数值解法如下：〔a)曲线AB用〔0，0〕，〔1，1〕，``````〔m,m)分成微段；〔b)同一滑移线上,、满足：或〔线〕〔线〕P观察m,m+1相邻两点：〔线〕〔线〕〔4-53〕式中——右边为量，可求出交点m,m+1点的应力分量。〔c)交点的位置，坐标确实定。坐标满足：〔〕〔〕

差分形式：〔〕〔〕

可解出〔d)重复计算可得出ABP范围内的塑性应力场。(3)第二边值问题〔黎曼问题〕边界上某一点的两条正交的滑移线，其各点的、，如图示：求：区域AoBC内的塑性应力场。

o`y

x

BoAC(m,n)(m,n-1)(m-1,n)(1,1)(m,0)(0,1)(o,2)(0,n)步骤：〔a)分网，如图示〔b)求、，由汉基第一定理：所以可求出〔m,n)点的、值。〔c)点〔m,n)的坐标：从〔1，1〕开始，逐点进行。〔4〕第三边值问题〔混合问题〕四、塑性应力场及滑移线场的实例1、均匀应力场最简单的滑移线场是由两族平行的直滑移线组成的〔如图〕。沿着这些滑移线的都相等，同族滑移线之间的夹角等于零。

证：由汉基第一定理，

沿这两组滑移线分别有一一相等的值和一一相等的值。而所有也必相等，应力是均匀分布的，即称为均匀应力场。例：图示直线边界上那么

pn

x

即在边界上各点、都相等，因而所有的、相等，得出的滑移线场就如下图。

2、简单应力场由直滑移线族和曲滑移线族组成的滑移线场也是常见的，在这种情况下，沿直滑移线〔=常量〕的是常量，但沿曲滑移线有改变。这样的应力分布称为简单应力场。如图示

例如：连接两个均匀应力场的塑性应力场也是简单应力场。

o

3、轴对称应力场图示圆孔壁上受均布压力p的作用。由对称条件：

滑移线方程为：积分：所以〔线〕〔线〕p

ao

x

应力分量：与厚壁塑性区的应力分量一致。例1：试求刚性条形根底的极限承载力。宽2a，z方向长2a，视为平面应变问题，地基是半无限大刚塑性材料，受均布压力p.解：(1)分析：1、由AB边界确定均匀应力场ABC.2、自由边界AG,BE也有均匀应力场AGF,BED.3、均匀应力场之间有简单应力场BCD与ACF相连。〔2〕确定边界上的，值。〔边界上ABaaABGEFDCxyxy

屈服条件：(a)

在边界BE上：

2(a)由(a)图得：=4。〔即线与边界的夹角〕(b)(c)

在边界AB上：••

2

(d)(b)由(b)图得：=-/4〔即线与边界的夹角〕(e)边界AG同BE。〔3〕绘出滑移线。沿ACDE是同一条线：由式〔1〕〔2〕

由

=式得：例2：单边受均压力的楔体，设楔体的顶角。xyoDACB

nt解：〔1