人教版九年级数学上册 24.24 切线长定理（知识讲解）

专题24.24切线长定理（知识讲解）【学习目标】了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义；掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线长概念：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.特别说明：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.要点二、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.特别说明：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.要点三、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.特别说明：(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3)三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.【典型例题】类型一、用切线长定理求解1．如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．C是弧AB上任意一点，过点C画⊙O的切线，分别交PA和PB于D，E两点，已知PA＝PB＝5cm，求△PDE的周长．【答案】10cm【分析】根据切线长定理，找到△PDE的周长与PA、PB的数量关系即可解答．解：∵PA和PB是⊙O的两条切线，∴PA＝PB，同理可得：DA＝DC，EB＝EC，∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10cm．【点拨】本题主要考查了切线长定理，解题关键是探索图形的各对等切线长．【变式1】已知，分别与相切于点，，为上一点，连接，．如图①，若，求的大小；如图②，为的直径交于点，若四边形是平行四边形，求的大小．【答案】(1)55°(2)30°【分析】（1）连接OA、OB，根据切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，再根据四边形内角和等于360度求出，再由圆周角定理即可求出结果；（2）连接AB，EC，由切线长定理以及平行四边形的性质可证明四边形是菱形，进而证明△是等边三角形，进一步可得结论．(1)如图①，连接OA、OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠APB=70°，∴∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°∴∠ACB=∠AOB==55°；(2)如图②，连接AB，EC，∴∵，分别与相切于点，，∴∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形，∴∵是的切线，且是的直径，∴∵四边形是平行四边形，∴//∴即∠∴∠∵是的直径，∴∠即∠∵∠∴∠∴∴即△是等边三角形，∴∠∵∴【点拨】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定与性质等知识，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．【变式2】如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，延长CO与AB的延长线交于点D．求证：AC为⊙O的切线；若OC＝2，OD＝5，求线段AD和AC的长． 【答案】(1)证明见分析2)；【分析】（1）连接OB，证明△CAO≌△BAO（SSS），由全等三角形的性质得出∠OCA＝∠OBA．由切线的性质得出∠ABO＝90°，则∠OCA＝90°，可得出结论；（2）由勾股定理求出BD的长，设AC＝x，则AC＝AB＝x，得出方程，解方程可得出答案．(1)证明：连接OB，则OC＝OB，如图所示：∵OA⊥BC，∴EC＝BE，∴OA是CB的垂直平分线，∴AC＝AB，∵在△CAO和△BAO中，∴△CAO≌△BAO（SSS），∴∠OCA＝∠OBA．∵AB为⊙O的切线，B为切点，∴∠ABO＝90°，∴∠OCA＝90°，即AC⊥OC，∴AC是⊙O的切线．(2)解：∵OC＝2，OD＝5，∴OB＝2，CD＝OC+OD＝7，∵∠OBD＝90°，∴BD，设AC＝x，则AC＝AB＝x，∵CD2+AC2＝AD2，∴，解得，∴，∴AD＝AB+BD＝AC+BD．【点拨】本题主要考查了切线的性质与判定，三角形全等的性质与判定，勾股定理，切线长定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．类型二、用切线长定理证明2．如图，圆O是三角形ABC的内切圆，求证：AB+CF=AC+BF．【分析】根据切线长定理整理即可得出AB+CF=AC+BF．证明：∵圆O是三角形ABC的内切圆，∴AD=AE①，BD=BF②，CF=CE③，∴①+②+③得，AD+BD+CF=AE+BF+CE，∴AB+CF=AC+BF．【点拨】本题考查了切线长定理，切线长定理为我们提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．【变式1】如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD．求证：BC＝CD；若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长．【答案】(1)见分析(2)【分析】（1）根据切线长定理证明即可；（2）根据已知条件可得是等边三角形，根据直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求解即可．(1)证明：∵AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，是的切线，CD是的切线，（3）连接，，是的切线，，BC＝3，是等边三角形，，是直径【点拨】本题考查了切线长定理，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握圆的切线的性质是解题的关键．【变式2】如图，△ABC是直角三角形，以斜边AB为直径作半圆，半圆的圆心为O，过A、C两点作半圆的切线，交点为D，连接DO交AC于点E．(1)求证：OD∥BC；(2)若AC＝2BC，求证：AB＝AD．【答案】(1)见分析(2)见分析【分析】对于（1），连接OC，根据切线的性质得到AD＝CD，且OA⊥AD，OC⊥CD，根据全等三角形的性质得到∠ADO＝∠CDO，求得DO⊥AC，根据平行线的判定定理即可得到结论；对于（2），先根据平行线的性质得∠B＝∠EOA，进而说明AE＝EC，求得∠EOA＝∠EAD，再推出BC＝AE，根据全等三角形的性质即可得到结论．(1)证明：连接OC，如图所示，∵DA、DC是半圆O的切线，∴AD＝CD，且OA⊥AD，OC⊥CD，又OA＝OC，OD＝OD，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠ADO＝∠CDO，即DO是∠ADC的平分线，∴DO⊥AC，又BC⊥AC，∴OE∥BC；(2)证明：由（1）知：OE∥BC，DO垂直平分AC，∴∠B＝∠EOA，AE＝EC，又DA⊥AO，∴∠EOA＝∠EAD，∴∠EAD＝∠B.∵AC＝2BC，∴BC＝AE，∴△ABC≌△DAE（ASA），∴AB＝AD．【点拨】本题主要考查了圆的切线的性质，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定等，构造全等三角形是解题的关键．类型三、直角三角形周长、面积和内切圆半径关系3．已知：在△ABC中，∠C＝90°，⊙I是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接IE、IF．四边形IECF是什么特殊的四边形？并说明理由．若AC＝8，BC＝6，求半径IE的长．【答案】(1)正方形，理由见分析(2)2【分析】（1）根据⊙I是Rt△ABC的内切圆，证明四边形IECF是矩形，由IE=IF，可得结论；（2）根据勾股定理可得AB的长，设半径IE的长为x，根据切线长定理列出方程即可求得半径的长．解：（1）四边形IECF是正方形，理由如下：∵⊙I是Rt△ABC的内切圆，即AC、BC都是⊙I的切线，∴∠IEC=∠IFC=90°，∵∠C=90°，∴四边形IECF是矩形，∵IE=IF，∴四边形IECF是正方形；(2)在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，∴，由切线长定理可知：AE=AD，BD=BF，CE=CF，设半径IE的长为x，则CE=CF=x，∴AE=AD=8-x，BD=BF=6-x，∴（8-x）+（6-x）=10，解得x=2，∴IE的长为2．【点拨】本题考查了三角形内切圆与内心，切线的性质，解决本题的关键是掌握三角形内切圆与内心的含义与性质．【变式1】如图，中，的长分别为．求的内切圆半径r．【答案】r＝【分析】连接OA，OB，OC，设OO与AB，BC，CA的切点分别为点D，E，F，连接OD，OE，OF，然后结合三角形面积进行分析求解．解：如图所示，连接OA，OB，OC，设OO与AB，BC，CA的切点分别为点D，E，F，连接OD，OE，OF，则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB·OD＋BC·OE＋AC·OF＝AB·r＋BC·r＋AC·r＝r(AB＋BC＋AC)＝r(a＋b＋c)．又∵S△ABC＝·AC·BC＝ab，∴r·(a＋b＋c)＝ab，∴r＝【点拨】此题考查了内切圆的性质、以及直角三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．（1）尺规作图：作三角形ABC的内切圆⊙O，⊙O分别与AB、BC、CA相切于点D、E、F保留作图痕迹，不写作法．（2）求⊙O的半径r．【答案】（1）见分析；（2）2【分析】（1）首先由三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，确定圆心，然后作边的垂线，确定半径，继而可求得△ABC的内切圆；（2）由三角形的面积等于其内切圆的半径与周长积的一半，即可求得△ABC的内切圆的半径．解：（1）如图所示，⊙O即为所求；（2）如图，连接OC，OD，OF，设△ABC内切圆的半径为r，则OD＝OE＝OF＝r，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，∴S△ABC＝AC•BC＝×6×8＝24，AB+AC+BC＝24，∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝AB·OD+BC·OE+AC·OF＝AB·r+BC·r+AC·r＝（AB+AC+BC）r，∴r＝＝＝2．【点拨】此题主要考查了作图﹣﹣复杂作图，关键是掌握三角形的内心是三角形角平分线的交点．类型四、三角形内心的应用4．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．求证：BD＝DE；连接OD交BC于点G，若OD⊥BC，DG＝2，BC＝10，求圆的半径．【答案】(1)证明见详解(2)【分析】（1）根据三角形内心性质及同弧所对的圆周角相等，利用等量代换即可证得，根据等角对等边即可求证．（2）在同圆中，利用等角所对弧相等性质得到，在根据垂径定理即可求得，再利用勾股定理即可求得．(1)证明：连接BE，∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠DAC，由圆周角定理得：∠CAD=∠CBD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠DBE=∠DBC+∠EBC=∠ABE+∠BAD=∠DEB，∴BD=BE．(2)解：连接OD，，由(1)可知，∠BAD=∠DAC，∴，，∴OD垂直平分BC，∴，设OD=OB=x，则OG=x-DG=x-2，在Rt△OBG中，由勾股定理可得，，∴，解得x=，所以圆的半径为．【点拨】本题考查了圆内同弧所对的圆周角相等、等角所对的弧相等及垂径定理和三角形内心及利用勾股定理求直角三角形的斜边，解题的关键在于熟练掌握圆周角及垂径定理．【变式】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB=2，I是△ADC的内心，∠ADB=45°．求⊙O半径的长；求证：BC＝BI．【答案】(1)(2)见分析【分析】（1）根据AC是⊙的直径，可得∠ADC=90°=∠ABC，再根据已知条件证明AB=BC，根据勾股定理即可求得半径；（2）连接AI，根据I是△ADC的内心．可得∠DAI=∠CAI，再证明AB=BI，进而可以证明BC=BI．(1)解：∵AC是⊙的直径，∴∠ADC=90°=∠ABC，又∠ADB=45°，∴∠ADB=∠BDC=45°，∴=，∴AB=BC，∵AB=2，∴AC=2，∴⊙O的半径为；(2)证明：连接AI，∵I是△ADC的内心．∴∠DAI=∠CAI，∠AIB=∠DAI+∠ADI，∠BAI=∠BAC+∠CAI，∵∠BAC=∠ADI，∴∠BAI=∠AIB，∴AB=BI，即BC=BI．【点拨】本题考查了三角形内切圆与内心、圆周角定理，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心．类型五、三角形外接圆和内切圆综合5．如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．求证：EB=EI；若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．【答案】(1)见分析(2)AI=4【分析】（1）欲证明EB=EI，只要证明∠EBI=∠EIB；（2）连接EC，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延长线于N，证明△AEM≌△AEN和△BME≌△CNE，再利用勾股定理计算即可解决问题．(1)证明：∵I是△ABC的内心，∴AE平分∠CAB，BI平分∠ABC，∴∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI，∵∠BIE=∠BAE+∠ABI，∠IBE=∠IBD+∠EBD，∵∠CBE=∠CAE，∴∠BIE=∠EBI，∴EB=EI；(2)解：连接EC，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延长线于N，则EM=EN，∵∠BAE=∠CAE，∴=，∴BE=EC=4．∵AE=AE，EM=EN，∴△AEM≌△AEN，∴AM=AN．∵BE=EC，EM=EN，△BME≌△CNE(HL)，∴BM=CN．设BM为x，则8-x=6+x，解得x=1，即BM=1，∴AM=7．又∵BE=4，由勾股定理得，EM==．∴AE==8，∵EI=BE=4，∴AI=AE−EI=4．【点拨】本题考查的是三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．【变式1】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BE.（1）直接写出∠BED与∠C的关系：.（2）求证：DE=DB;（3）若∠BAC=90,BD=4,求△ABC外接圆的半径.【答案】（1）；（2）见分析；（3）2【分析】（1）根据三角形内心的性质，先得出∠AEB与∠C的关系，再根据∠AEB与∠BED的互补关系得到问题解答；(2)根据三角形内心定义和同弧所对圆周角相等得∠DEB=∠DBE，从而依据等角对等边即可证明DB=DE；（3）连接CD，根据圆周角定理得到BC是直径，根据勾股定理即可得到结论．（1）解：由题意可得：∠AEB=180°-(∠EBA+∠EAB)=180°-(∠CBA+∠CAB)=180°-(180°-∠C)，∴∠AEB=90°+，∴∠BED=180°-∠AEB=180°-（90°+∠C）=90°-∠C；（2）证明：由三角形内心的性质可得：∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，由圆周角定理可得∠DAC=∠DBC，∴∠BAD=∠DBC，∵∠BED=∠BAD+∠ABE，∠DBE=∠DBC+∠EBC=∠BAD+∠ABE，∴∠BED=∠DBE，∴DB=DE．（3）连接CD，如图所示：由(1)得：，∴CD=BD=4，∵∠BAC=90°，∴BC是直径，∴∠BDC=90°，∴BC==，∴△ABC外接圆的半径：r=．【点拨】本题考查了三角形的内接圆与内心，三角形的外接圆与外心，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．【变式2】如图，在中，，点，分别是的内心和外心，连接，，．（1）求的度数；（2）延长至点，使，连接，求证：；（3）在（2）中，延长至点，使，连接，找出与之间的等量关系，并证明这个结论．【答案】（1）；（2）证明见分析；（3），证明见分析【分析】（1）利用三角形内角和定理以及内心的性质求出∠OAB+∠OBA=45°即可解决问题．（2）利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．（3）结论：DE=2OM．如图2中，连接OE，OD，延长OM到K，使得MK=OM，连接AK，BK．证明△OAK≌△EOD（SAS），推出OK=ED可得结论．（1）解：∵∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵点O是△ABC的内心，∴∠OAB+∠OBA=∠CAB+∠CBA=45°，∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=135°．（2）证明：如图1中，∵点O是△ABC的内心，∴OA平分∠BAD，∵AD=AB，∴AO⊥BD（等腰三角形三线合一）．（3）解：结论：DE=2OM．理由：如图2中，连接OE，OD，延长OM到K，使得MK=OM，连接AK，BK．

∵BE=BA，∠OBE=∠OBA，BO=BO，∴△OBE≌△OBA（SAS），∴OA=OE，∠BOE=∠BOA=135°，∴∠AOE=90°，同法可证∠DOB=90°，OD=OB，∵AM=MB，OM=MK，∴四边形AOBK是平行四边形，∴AK=OB=OD，AK∥OB，∴∠KAO+∠AOB=180°，∵∠AOB+∠EOD=180°，∴∠KAO=∠EOD，∵OA=OE，AK=OD，∴△OAK≌△EOD（SAS），∴OK=ED，∴OK=2OM，∴DE=2OM．【点拨】本题属于三角形综合题，考查了三角形的内心，三角形的外心，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．类型六、圆的综合题6．如图，以AB为直径的上有一动点C，的切线CD交AB的延长线于点D，过点B作交于点M，连接AM，OM，BC．求证：若，填空：①当AM＝时，四边形OCBM为菱形；②连接MD，过点O作于点N，若，则ON＝．【答案】(1)见分析(2)①5；②【分析】(1)首先根据圆周角定理可得，由切线的性质可得，再根据平行线的性质即可证得，据此即可证得结论；(2)①根据菱形性质可得OM=OA=MB=5，即可求得AB，再根据勾股定理即可求得；②首先可证得△ODC是等腰直角三角形，再根据勾股定理及三角形的面积，即可求解．(1)证明：∵AB是的直径，，，∵CD是的切线，，，又，，，；(2)解：①若四边形OCBM为菱形，则OM=OA=MB=5，∵AB是⊙O的直径，∴，∵OA=OB，∴AB=2OA=10，∴当时，四边形OCBM为菱形；故答案为：；②如图所示：∵，OB=5，∴，∵CD是的切线，∴，∵OC=OB=5，∴，∴△ODC是等腰直角三角形，∴，又，∴，∵OM=OB，∴，∴，△OBM是等腰直角三角形，在直角△ODM中，根据勾股定理可得，根据△ODM的面积可得ON⋅DM=OM⋅OD，，故答案为：．【点拨】此题主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质，平行线的性质与判定，菱形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握和运用各图形的性质和判定是解决本题的关键．【变式1】如图，为的切线，C为切点，D是上一点，过点D作，垂足为F，交于点E，连接并延长交于点G，连接，已知．若的半径为5，求的长；试探究与之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）【答案】(1)(2)，证明见分析【分析】（1