浙江七年级第二学期数学竞赛冲刺卷四

2021-2022学年浙江七年级第二学期数学竞赛冲刺卷04一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）1．（4分）有一列数a1，a2，a3，a4，…，an，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1＝2，则a2008值为（）A．2 B．﹣1 C． D．2008【分析】从所给出的资料中，可得到若a1＝2，a2＝，a3＝﹣1，a4＝2…则这列数的周期为3，据此解题即可．【解答】解：根据题意可知：若a1＝2，则a2＝1﹣＝，a3＝1﹣2＝﹣1，a4＝1﹣（﹣1）＝2，…，这列数的周期为3，∵2008＝3×669+1∴a2008＝2．故选：A．【点评】考查有理数的运算方法和数学的综合能力．解此题的关键是能从所给出的资料中找到数据变化的规律，并直接利用规律求出得数，代入后面的算式求解．2．（4分）如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q是AM的中点，则MN：PQ等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q是AM的中点，可知PQ＝AP﹣AQ＝AN﹣AM＝（AN﹣AM）＝MN，即可得出答案．【解答】解：根据B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q是AM的中点，可知：PQ＝AP﹣AQ＝AN﹣AM＝（AN﹣AM）＝MN，所以MN：PQ＝2：1＝2故选：B．【点评】本题考查了比较线段的长短的知识，注意理解线段的中点的概念．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．3．（4分）已知a﹣b＝4，ab+c2+4＝0，则a+b＝（）A．4 B．0 C．2 D．﹣2【分析】先将字母b表示字母a，代入ab+c2+4＝0，转化为非负数和的形式，根据非负数的性质求出a、b、c的值，从而得到a+b的值．【解答】解：∵a﹣b＝4，∴a＝b+4，代入ab+c2+4＝0，可得（b+4）b+c2+4＝0，（b+2）2+c2＝0，∴b＝﹣2，c＝0，∴a＝b+4＝2．∴a+b＝0．故选：B．【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法．解题关键是将代数式转化为非负数和的形式．4．（4分）用[x]表示不大于x的最大整数，则方程x2﹣2[x]﹣3＝0的解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由于x≥[x]，所以可把方程x2﹣2[x]﹣3＝0写成2[x]＝x2﹣3，可得不等式2x≥x2﹣3，求得x的取值范围．再将x的取值范围分为5类求解即可进行选择．【解答】解：因为x≥[x]，方程变形为2[x]＝x2﹣3，2x≥x2﹣3，解此不等式得：﹣1≤x≤3．现将x的取值范围分为5类进行求解（1）﹣1≤x＜0，则[x]＝﹣1，原方程化为x2﹣1＝0，解得x＝﹣1；（2）0≤x＜1则[x]＝0，原方程化为x2﹣3＝0，无解；（3）1≤x＜2，则[x]＝1，原方程化为x2﹣5＝0，无解；（4）2≤x＜3，则[x]＝2，原方程化为x2﹣7＝0，解得x＝；（5）x＝3显然是原方程的解．综合以上，所以原方程的解为﹣1，，3．故选：C．【点评】本题考查了含取整函数的方程，任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x＝[x]+{x}，其中{x}∈[0，+∞）．解题的关键是确定x的取值范围，从而得到[x]的值．注意分情况进行讨论．5．（4分）如图，平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（）A．4对 B．8对 C．12对 D．16对【分析】每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图形进行分解入手可知同旁内角共有对数．【解答】解：直线AB、CD被EF所截有2对同旁内角；直线AB、CD被GH所截有2对同旁内角；直线CD、EF被GH所截有2对同旁内角；直线CD、GH被EF所截有2对同旁内角；直线GH、EF被CD所截有2对同旁内角；直线AB、EF被GH所截有2对同旁内角；直线AB、GH被EF所截有2对同旁内角；直线EF、GH被AB所截有2对同旁内角．共有16对同旁内角．故选：D．【点评】本题考查了同旁内角的定义．注意在截线的同旁找同旁内角．要结合图形，熟记同旁内角的位置特点．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有两对同旁内角．6．（4分）中百超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折；（3）一次性购物超过300元一律8折．王波两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款（）A．288元 B．332元 C．288元或316元 D．332元或363元【分析】按照优惠条件第一次付80元时，所购买的物品价值不会超过100元，不享受优惠，因而第一次所购物品的价值就是80元；300元的9折是270元，8折是240元，因而第二次的付款252元所购买的商品价值可能超过300元，也可能超过100元而不超过300元，因而应分两种情况讨论．计算出两次购买物品的价值的和，按优惠条件计算出应付款数．【解答】解：（1）若第二次购物超过100元，但不超过300元，设此时所购物品价值为x元，则90%x＝252，解得x＝280两次所购物价值为80+280＝360＞300所以享受8折优惠，因此王波应付360×80%＝288（元）．（2）若第二次购物超过300元，设此时购物价值为y元，则80%y＝252，解得y＝315两次所购物价值为80+315＝395，因此王波应付395×80%＝316（元）故选：C．【点评】能够分析出第二次购物可能有两种情况，进行讨论是解决本题的关键．7．（4分）使分式的值为整数的全体自然数x的和是（）A．5 B．6 C．12 D．22【分析】利用原式＝x﹣1+，为使为整数，进而求出即可．【解答】解：由于原式＝x﹣1+，为使为整数，则自然数x可取0，1，2，3，5，11，其和为22．故选：D．【点评】此题主要考查了分式的值，逆用分式加减法则进行变形，使分子为整数，再用整除的性质求解是解题关键．8．（4分）有以下两下数串：1，3，5，7，…1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10…1990，1993，1996，1999，同时出现在这两个数串中的数的个数共有（）个．A．333 B．334 C．335 D．336【分析】本题根据观察可知第一串数字表示的是奇数，第二串数字既有奇数又有偶数，因此只要找出第二串数轴中的奇数个数就可以了．【解答】解：依题意得：第一串数字表示1到1999的所有奇数，第二串数字可表示为：3n﹣2，则1999＝3n﹣2得n＝667．所以第二串数字中有（667+1）÷2＝334个奇数．故选：B．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）9．（4分）在2时到3时之间，在2点分时刻时针与分针正好垂直．【分析】设x时刻时针与分针正好垂直，然后根据分针每转过1分钟，旋转角度为6°分两种情况列出方程求解即可．【解答】解：设x时刻时针与分针正好垂直，由题意得，6（x﹣15）+×30＝90°，解得x＝，或6（60﹣x）+×30+2×30°＝90°，解得x＝60，∵在2时到3时之间，∴时刻为2点分．故答案为：2点分．【点评】本题考查了钟面角，主要利用了分针每转过1分钟，旋转角度为6°，分情况列出方程是解题的关键．10．（4分）我们称使+＝成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为（a，b），如：当a＝b＝0时，等式成立，记为（0，0）．若（a，3）是“相伴数对”，则a的值为﹣．【分析】根据“相伴数对”的定义，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵（a，3）是“相伴数对”，∴+＝，解得：a＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了解一元一次方程，依照“相伴数对”的定义找出关于a的一元一次方程是解题的关键．11．（4分）若a+x2＝2008，b+x2＝2009，c+x2＝2010，且abc＝24，则++﹣﹣﹣的值为．【分析】由题知a＝b﹣1，c＝b+1，又由abc＝24，则++﹣﹣﹣＝，将a＝b﹣1，c＝b+1代入上式得答案为．【解答】解：∵a+x2＝2008，b+x2＝2009，c+x2＝2010，∴可知a＝b﹣1，c＝b+1，又∵abc＝24，则++﹣﹣﹣＝∴将a＝b﹣1，c＝b+1代入上式得：++﹣﹣﹣＝，故答案为．【点评】本题主要考查代数式求值问题，首先将代数式化简，再联系题干，便可得到结果，要灵活掌握．12．（4分）若x2+x﹣1＝0，则x3+2x2+3＝4．【分析】由x2+x﹣1＝0得x2+x＝1，把x3+2x2+3写成含x2+x的形式是关键．【解答】解：由x2+x﹣1＝0得x2+x＝1，所以x3+2x2+3＝x3+x2+x2+3＝x（x2+x）+x2+3＝x+x2+3＝1+3＝4．故答案为：4．【点评】注意把x2+x看作一个整体，运用整体思想进行解决．13．（4分）已知对于任意正整数n，都有a1+a2+…+an＝n3，则＝．【分析】先根据n≥2时，a1+a2+…+an﹣1+an＝n3，a1+a2+…+an﹣1＝（n﹣1）3，把两式相减，得出an的表达式，再根据＝（﹣）进行解答即可．【解答】解：∵当n≥2时，有a1+a2+…+an﹣1+an＝n3，a1+a2+…+an﹣1＝（n﹣1）3，两式相减，得an＝3n2﹣3n+1，∴＝＝（﹣），∴++…+，＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣），＝（1﹣），＝．故答案为：．【点评】本题考查的是部分分式，属规律性题目，能根据题意得出＝（﹣）是解答此题的关键．14．（4分）如图，等边△ABC的边长为2，F为AB中点，延长BC至D，使CD＝BC，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为．【分析】根据梅涅劳斯定理得，••＝1，则＝，由面积公式得SBCEF＝S△BCF+S△CEF，即可得出答案．【解答】解：∵DEF是△ABC的梅氏线，∴由梅涅劳斯定理得，••＝1，即••＝1，则＝，连FC，S△BCF＝S△ABC，S△CEF＝S△ABC，于是SBCEF＝S△BCF+S△CEF＝S△ABC＝××2×2sin60°＝×＝．故答案为．【点评】本题是一道竞赛题，考查了梅内劳斯定理和赛瓦定理，要熟练掌握定理的内容，才能准确的解题．15．（4分）整数a、b满足6ab＝9a﹣10b+303，则a+b＝15．【分析】先移项，然后将运用因式分解的知识将等式左边的式子分解成因式相乘的形式，从而利用数的整除思想得出答案．【解答】解：∵6ab＝9a﹣10b+303，∴（3a+5）（2b﹣3）＝288＝25×32，又∵a、b都是整数，∴只有3a+5＝25，2b﹣3＝32成立，∴a＝9，b＝6，∴a+b＝15．故答案为：15．【点评】本题考查数的整除性，难度不大，关键是利用因式分解的知识，将未知数化成因式相乘的形式．16．（4分）如图中，在长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是97．【分析】所求的影阴部分，恰好是三角形ABC与三角形CDE的公共部分，而面积为13，49，35这三块是长方形中没有被三角形ABC与三角形CDE盖住的部分．因此，△ABC面积+△CDE面积+（13+49+35）＝长方形面积+阴影部分面积．而△ABC的底是长方形的长，高是长方形的宽；△CDE的底是长方形的宽，高是长方形的长．因此，三角形ABC面积与三角形CDE面积，都是长方形面积的一半．【解答】解：设长方形的面积为S，则S△CDE＝S△ABC＝S由图形可知，S+S阴影＝S△CDE+S△ABC+13+49+35S阴影＝S+S+13+49+35﹣S＝97故答案为97．【点评】本题考查长方形面积、三角形面积的计算．本题明白所求的影阴部分，恰好是三角形ABC与三角形CDE的公共部分，而面积为13、49、35这三块是长方形中没有被三角形ABC与三角形CDE盖住的部分是解决本题的关键，从而根据S+S阴影＝S△CDE+S△ABC+13+49+35建立等量关系求解．三．解答题（共6小题，满分56分）17．（8分）计算．【分析】此题是一道利用简便方法解答的规律性题，从式子中可以得出括号里的第一项和最后一项两项的和为1，把括号里的数写成假分数的形式，得到如下规律：原式＝+++…+，计算求解．【解答】解：原式＝+++…+＝（1+2+3+…+49）＝×＝．【点评】本题要注意找规律，利用简便方法化简求解，同时本题也考查了有理数加法法则．18．（8分）已知：AB：BC：CD＝2：3：4，E，F分别是AB和CD的中点，且EF＝12厘米（cm），求AD的长（如图）．【分析】线段EF是线段AD的一部分，题设给出了EF的长度，只要知道线段EF占全线段AD的份额，就可求出AD的长了．【解答】解：因为AB：BC：CD＝2：3：4，E是AB中点，F是CD中点，将线段AD9等分（9＝2+3+4）且设每一份为一个单位，则AB＝2，BC＝3，CD＝4，EB＝1，CF＝2．从而EF＝EB+BC+CF＝1+3+2＝6，即EF占AD全长的．所以线段AD的长＝12＝18（厘米）．【点评】本题考查了比较线段的长短的知识，注意理解线段的中点的概念．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．19．（8分）已知y＝|2x+6|+|x﹣1|﹣4|x+1|，求y的最大值．【分析】首先使用“零点分段法”将y化简，有三个分界点：﹣3，1，﹣1．则x的范围即可分为x≤﹣3，﹣3≤x≤﹣1，﹣1≤x≤1，x≥1四部分，即可确定绝对值内式子的符号，从而确定y的值．【解答】解：分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．有三个分界点：﹣3，1，﹣1．（1）当x≤﹣3时，y＝﹣（2x+6）﹣（x﹣1）+4（x+1）＝x﹣1，由于x≤﹣3，所以y＝x﹣1≤﹣4，y的最大值是﹣4．（2）当﹣3≤x≤﹣1时，y＝（2x+6）﹣（x﹣1）+4（x+1）＝5x+11，由于﹣3≤x≤﹣1，所以﹣4≤5x+11≤6，y的最大值是6．（3）当﹣1≤x≤1时，y＝（2x+6）﹣（x﹣1）﹣4（x+1）＝﹣3x+3，由于﹣1≤x≤1，所以0≤﹣3x+3≤6，y的最大值是6．（4）当x≥1时，y＝（2x+6）+（x﹣1）﹣4（x+1）＝﹣x+1，由于x≥1，所以1﹣x≤0，y的最大值是0．综上可知，当x＝﹣1时，y取得最大值为6．【点评】本题主要考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．对x的分为正确进行分类是解决本题的关键．20．（10分）在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示．试求图中阴影部分的总面积（写出分步求解的简明过程）【分析】设长方形的长和宽为未数，根据图示可得到关于xy的两个方程，可求得解，从而可得到大长方形的面积，再根据阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣6个小长方形的面积求解即可．【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，如图可知，x+3y＝14，①x+y﹣2y＝6，即x﹣y＝6，②①﹣②得4y＝8，y＝2，代入②得x＝8，因此，大矩形ABCD的宽AD＝6+2y＝6+2×2＝10．矩形ABCD面积＝14×10＝140（平方厘米），阴影部分总面积＝140﹣6×2×8＝44（平方厘米）．【点评】本题考查了二元一次方程的应用，以及学生对图表的阅读理解能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．21．（10分）某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船4小时，已知船在静水中的速度为7.5km/h，水流速度为2.5km/h，若A，C两地相距10km，求A，B两地的距离．【分析】此题的关键是公式：顺流速度＝静水速度+水流速度逆流速度＝静水速度﹣水流速度，设未知数，列方程求解即可．【解答】解：设A、B两地之间的距离为x千米，若C在A的上游时：则+＝4，解得：x＝．若C在A，B之间时：则+＝4，解得：x＝20．答：A、B两地的距离为20km或km．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，正确对三地的位置关系进行分类，是解决本题的关键．22．（12分）如图，MN∥PQ，A，B分别在直线MN，PQ上，且∠BAN＝60°，若射线AN绕点A逆时针旋转至AM后立即回转，射线BP绕点B顺时针旋转至BQ后立即回转，两射线分别绕点A，点B不停地旋转，若射线AN转动的速度是a°/秒