特殊的一元二次方程的解法八年级数学上册尖子生培优题典2

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】专题姓名：__________________班级：______________得分：_________________考前须知：本试卷总分值100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕在每题所给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔2021秋•徐汇区期中〕方程〔4x﹣1〕2＝1的根为〔〕A．x1=xC．x1＝0，x2=12D．x1【分析】两边直接开平方法求解可得．【解析】∵〔4x﹣1〕2＝1，∴4x﹣1＝1或4x﹣1＝﹣1，解得：x=12或x＝应选：C．2．〔2021秋•青浦区校级月考〕以下方程中，适合用直接开方法解的个数有〔〕①13x2＝1；②〔x﹣2〕2＝5；③14〔x+3〕2＝3；④x2＝x+3；⑤3x2﹣3＝x2+1；⑥y2﹣2y﹣3A．1B．2C．3D．4【分析】直接开平方法必须具备两个条件：①方程的左边是一个完全平方式；②右边是非负数．根据这两个条件即可作出判断．【解析】①②③⑤都是或可变形为x2＝a〔a≥0〕；ax2＝b〔a，b同号且a≠0〕；〔x+a〕2＝b〔b≥0〕；a〔x+b〕2＝c，而这四种形式都可用直接开平方法，应选：D．3．〔2021秋•覃塘区期中〕关于x的方程〔x﹣2〕2＝1﹣m无实数根，那么m满足的条件是〔〕A．m＞2B．m＜2C．m＞1D．m＜1【分析】方程左边是一个式的平方，根据平方的非负性，得关于m的不等式，求解不等式即可．【解析】当1﹣m＜0时，方程无解．即m＞1．应选：C．4．〔2021秋•浦东新区月考〕方程x2＝4|x|的解为〔〕A．±4B．0或4C．4D．±4或0【分析】分x≥0和x＜0两种情况讨论，用因式分解法求解可得．【解析】假设x≥0，那么x2＝4x，即x〔x﹣4〕＝0，解得x＝0或x＝4；假设x＜0，那么x2＝﹣4x，即x〔x+4〕＝0，解得x＝0或x＝﹣4；综上，方程的解为﹣4或0或4；应选：D．5．〔2021秋•宝山区校级月考〕一元二次方程〔x+1〕〔x+2〕＝2的解是〔〕A．x1＝0，x2＝﹣3B．x1＝﹣1，x2＝﹣2C．x1＝1，x2＝2D．x1＝0，x2＝3【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解析】x2+3x＝0，x〔x+3〕＝0，x＝0或x+3＝0，所以x1＝0，x2＝﹣3．应选：A．6．〔2021秋•贵阳期末〕如果三角形的两边长分别是方程x2﹣8x+15＝0的两根，那么这个三角形的周长可能是〔〕A．17B．14C．10D．9【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝3，x2＝5，再利用三角形三边的关系得到三角形的第三边a的长为2＜a＜8，然后确定三角形的周长l的范围．【解析】〔x﹣3〕〔x﹣5〕＝0，x﹣3＝0或x﹣5＝0，所以x1＝3，x2＝5，所以三角形的第三边a的长为2＜a＜8，所以三角形的周长l的范围为10＜l＜16．应选：B．7．〔2021秋•杨浦区期中〕三角形两边长分别是1和2，第三边的长为2x2﹣5x+3＝0的根，那么这个三角形的周长是〔〕A．4B．412C．4或4【分析】用十字相乘法因式分解，求出方程的两个根，分别是1和32【解析】2x2﹣5x+3＝0，〔2x﹣3〕〔x﹣1〕＝0，∴x1＝1，x2=3因为三角形两边长分别是1和2，那么第三边长不能是1，只能是32所以周长是412应选：B．8．〔2021秋•红桥区期中〕一元二次方程〔x+6〕2＝9可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为x+6＝3，那么另一个一元一次方程为〔〕A．x﹣6＝﹣3B．x+6＝﹣9C．x+6＝9D．x+6＝﹣3【分析】利用直接开平方法求解可得答案．【解析】∵〔x+6〕2＝9，∴x+6＝3或x+6＝﹣3，应选：D．9．〔2004秋•谢家集区月考〕以下解题过程正确的选项是〔〕A．x2＝﹣6，解x=±B．〔x﹣2〕2＝4，解x﹣2＝2，x＝4C．x2＝6，解x=±D．16x2＝1，解16x＝±1，x=±【分析】根据方程x2＝a〔a≥0〕的特点，把方程的两边开方得到x＝±a，求出方程的解即可．【解析】A、x2＝﹣6，不管x为何值，x的平方都不是负数，故本选项错误；B、开方得：x﹣2＝±2，解得：x1＝4，x2＝0，故本选项错误；C、x2＝6，开方得：x＝±6，故本选项正确；D、开方得：4x＝±1，解得：x1=14，x2应选：C．10．假设a，b，c是△ABC的三边长，且a2﹣15b2﹣c2+2ab+8bc＝0，那么以下式子的值为0的是〔〕A．a+5b﹣cB．a﹣5b+cC．a﹣3b+cD．a﹣3b﹣c【分析】用因式分解把等式转化为〔a+5b﹣c〕〔a﹣3b+c〕＝0，再由三角形的三边关系得a+5b﹣c＞0，进而得出结论．【解析】∵a2﹣15b2﹣c2+2ab+8bc＝0，∴〔a2+2ab+b2〕﹣〔16b2﹣8bc+c2〕＝0，∴〔a+b〕2﹣〔4b﹣c〕2＝0，∴〔a+5b﹣c〕〔a﹣3b+c〕＝0，∵a，b，c是△ABC的三边长，∴a+b＞c，那么a+5b＞c，∴a+5b﹣c＞0，∴a﹣3b+c＝0，应选：C．二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕请把答案直接填写在横线上11．〔2021秋•宁蒗县期末〕方程〔1﹣x〕2＝9的根是x1＝﹣2，x2＝4．【分析】利用直接开平方法求解即可．【解析】∵〔1﹣x〕2＝9，∴1﹣x＝3或1﹣x＝﹣3，解得x1＝﹣2，x2＝4，故答案为：x1＝﹣2，x2＝4．12．〔2021秋•陇县期末〕方程x2﹣16＝0的解为x＝±4．【分析】移项，再直接开平方求解．【解析】方程x2﹣16＝0，移项，得x2＝16，开平方，得x＝±4，故答案为：x＝±4．13．〔2021春•西湖区期末〕方程〔x﹣1〕2＝20212的根是x1＝2021，x2＝﹣2021．【分析】利用直接开平方法求解可得．【解析】∵〔x﹣1〕2＝20212，∴x﹣1＝2021或x﹣1＝﹣2021，解得x1＝2021，x2＝﹣2021，故答案为：x1＝2021，x2＝﹣2021．14．〔2021•普陀区二模〕如果关于x的方程〔x﹣2〕2＝m﹣1没有实数根，那么m的取值范围是m＜1．【分析】根据直接开平方法定义即可求得m的取值范围．【解析】∵关于x的方程〔x﹣2〕2＝m﹣1没有实数根，∴m﹣1＜0，解得m＜1，所以m的取值范围是m＜1．故答案为：m＜1．15．〔2021秋•杨浦区期中〕假设关于x的一元二次方程a〔x﹣m〕2＝3的两根为12±123，其中a、m为两数，那么a＝4，m【分析】利用配方法求解即可．【解析】∵a〔x﹣m〕2＝3，∴〔x﹣m〕2=3那么x﹣m＝±3a∴x＝m±3a根据题意知m=12，a＝故答案为：4，1216．〔2021春•顺义区期末〕方程x2﹣3＝0的解是±3．【分析】方程移项后，开方即可求出解．【解析】方程x2﹣3＝0，移项得：x2＝3，解得：x＝±3．故答案为：±3．17．〔2021秋•长宁区期末〕方程x〔x﹣3〕＝3〔x﹣3〕的解是x1＝x2＝3．【分析】先移项得到x〔x﹣3〕﹣3〔x﹣3〕＝0，然后利用因式法分解法解方程．【解析】x〔x﹣3〕﹣3〔x﹣3〕＝0，〔x﹣3〕2＝0，那么x﹣3＝0，∴x1＝x2＝3．故答案为：x1＝x2＝3．18．〔2021秋•杨浦区校级期中〕方程〔2x﹣3〕x＝3〔2x﹣3〕的根是x1=32，x2＝3【分析】方程移项后，分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解析】移项得，〔2x﹣3〕x﹣3〔2x﹣3〕＝0，分解因式得：〔2x﹣3〕〔x﹣3〕＝0，解得：x1=32，x2＝故答案为：x1=32，x2＝三、解答题〔本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕19．〔2021秋•长宁区期末〕解方程：3〔x﹣2〕2＝x〔2﹣x〕．【分析】先移项得到3〔x﹣2〕2+x〔x﹣2〕＝0，然后利用因式分解法解方程．【解析】3〔x﹣2〕2+x〔x﹣2〕＝0，〔x﹣2〕〔3x﹣6+x〕＝0，x﹣2＝0或3x﹣6+x＝0，所以x1＝2，x2=320．〔2021秋•普陀区期中〕解方程：2x2﹣3x﹣3＝x〔x﹣1〕．【分析】整理为一般式，再利用因式分解法求解即可．【解析】2x2﹣3x﹣3＝x〔x﹣1〕，整理得：x2﹣2x﹣3＝0，∴〔x﹣3〕〔x+1〕＝0，∴x﹣3＝0或x+1＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1．21．〔2021秋•嘉定区期中〕解方程：3〔2x﹣5〕﹣x〔5﹣2x〕＝0．【分析】提公因式，分解因式后即可解答．【解析】3〔2x﹣5〕﹣x〔5﹣2x〕＝0，〔2x﹣5〕〔3+x〕＝0，∴2x﹣5＝0或x+3＝0，∴x1＝﹣3，x222．〔2021春•新昌县期末〕解方程：〔1〕x2﹣4＝0；〔2〕〔x+3〕2＝〔2x﹣1〕〔x+3〕．【分析】〔1〕利用直接开平方法求解可得；〔2〕利用因式分解法求解可得．【解析】〔1〕∵x2﹣4＝0，∴x2＝4，那么x1＝2，x2＝﹣2；〔2〕∵〔x+3〕2＝〔2x﹣1〕〔x+3〕，∴〔x+3〕2﹣〔2x﹣1〕〔x+3〕＝0，∴〔x+3〕〔﹣x+4〕＝0，那么x+3＝0或﹣x+4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝4．23．〔2021秋•长春月考〕等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2﹣11x+30＝0的一个根，求三角形的面积．【分析】先利用因式分解法解方程求出x的值，从而得出等腰三角形三边的长度，再利用勾股定理求出高，继而利用面积公式计算可得．【解析】解方程x2﹣11x+30＝0得x1＝5，x2＝6，当腰长为5时，三角形三边长度为5、5、8，此时底边上的高为3，所以等腰三角形的面积为12×8×3＝当腰长为6时，三角形三边长度为6、6、8，此时底边上的高为25，所以等腰三角形的面积为12×8×25=综上，三角形的面积为12或85．24．〔2021秋•綦江区校级月考〕阅读理解以下材料，然后答复以下问题：解方程：x2﹣3|x|+2＝0．解：〔1〕当x≥0时，原方程化为x2﹣3x+2＝0，解得：x1＝2，x2＝1；〔2〕当x＜0时，原方程化为x2+3x+2＝0，解得：x1