苏州市外国语学校2021-2022学年高二上学期12月月考数学试卷

苏州外国语学校2021-2022高二第一学期12月月考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在各项均为正数的等比数列中，，则（）A．2 B．3 C．6 D．92．设，则“”是“直线与直线平行”的（）A．充分不必要条件 B．充分必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3.已知AB是椭圆一条弦，且弦AB与直线：垂直，P是AB的中点，O为椭圆的中心，则直线OP的斜率是（）A． B． C． D．4.已知圆，圆，若圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5.若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（）A.B.C.D.7.从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.8．已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，则下列结论中正确的是（）A．E的标准方程为B．E的离心率等于C．E与双曲线的渐近线相同D．直线与E有2个公共点10.已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的是（）A． B．C．当时， D．11.以下四个命题表述正确的有（）A．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为B．直线与圆一定相交C．圆上存在2个点到直线的距离都等于D．曲线与曲线恰有三条公切线，则12.设m∈R，直线与直线相交于点P（x，y），线段AB是圆C：的一条动弦，Q为弦AB的中点，，下列说法正确的是（）A.点P在定圆上 B.点P在圆C外C.线段PQ长的最大值为 D.的最小值为填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知点和椭圆，是椭圆上的动点，是椭圆上的右焦点，则的最小值为_________.已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则________.15.已知椭圆的左、右焦点分别为过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积是面积的3倍，则椭圆的离心率为_______．16.如图，在直角梯形ABCD中，，动点P在以点C为圆心且与直线BD相切的圆上运动，设，则的取值范围是___________.解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知数列的前项和为，且，，，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.18．已知点，圆.（1）若直线l过点M，且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；（2）设O为坐标原点，点N在圆C上运动，线段的中点为P，求点P的轨迹方程.19.如图，某海面上有、、三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆经过、、三点.（1）求圆的方程；（2）若圆区域内有未知暗礁，现有一船D在岛的南偏西30°方向距岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？20.已知椭圆，其长轴为，离心率为，过椭圆上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，直线与，轴的交点分别为､.（1）求椭圆的方程；（2）求面积的最小值.21.设、为椭圆的左、右焦点，焦距为，双曲线与椭圆有相同的焦点，与椭圆在第一、三象限的交点分别记为、两点，若有.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的上顶点为，过点的直线与交于、两点（均异于点），试证明：直线和的斜率之和为定值.22.设，为双曲线：（，）的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，△为等腰直角三角形．（1）求双曲线的离心率；（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点点距离的最小值为3，①求双曲线方程；②已知直线，分别交直线于，两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．苏州外国语学校2021-2022高二第一学期12月考数学试卷（解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在各项均为正数的等比数列中，，则（）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】D【详解】因为等比数列中，，所以.故选：D2．设，则“”是“直线与直线平行”的（）A．充分不必要条件 B．充分必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】当时，“直线与直线平行，所以充分性成立，因为直线与直线平行，所以，解得，所以必要性成立，所以“”是“直线与直线平行”充分必要条件，故选：B3.已知AB是椭圆一条弦，且弦AB与直线：垂直，P是AB的中点，O为椭圆的中心，则直线OP的斜率是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】依题意，弦AB不过点O，而弦AB与直线：垂直，则设直线AB：，由消去y得：，，即，且，设点，则，于是得弦AB中点，所以直线OP的斜率是.故选：D4.已知圆，圆，若圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据两圆的位置关系建立圆心距与半径关系的不等式，求解即可.【详解】圆的方程可化为，则圆心为，半径；圆的方程可化为，则圆心为，半径．圆与圆有公共点，，即，解得．故选：C5.若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由得，画出图像如图：当直线与半圆O相切时，直线与半圆O有一个公共点，此时，，所以，由图可知，此时，所以，当直线如图过点A、B时，直线与半圆O刚好有两个公共点，此时，由图可知，当直线介于与之间时，直线与曲线有两个公共点，所以.故选：A设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（）B.C.D.答案：C7.从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【详解】设双曲线的方程为，则，因为AB＝BC＝CD，所以，所以，因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以在双曲线上，代入可得，解得，所以双曲线的离心率为.故选：D8．已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．答案：B多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，则下列结论中正确的是（）A．E的标准方程为B．E的离心率等于C．E与双曲线的渐近线相同D．直线与E有2个公共点答案：AC【解析】设双曲线方程为，由已知得，解得，故双曲线的标准方程为，故A选项正确；由离心率，故B选项错误；因为曲线的渐近线方程为，又由双曲线的渐近线方程为，故C选项正确；联立，整理得，由，所以直线与E有且仅有一个公共点，故D选项不正确.故选：AC10.已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的是（）A． B．C．当时， D．【答案】BC【分析】根据题意知数列是等差数列，且，可求出首项与公差的关系，在对选项逐一验证即可得到答案.【详解】，，，，故A错误.，故B正确.当时，等差数列单调递减，，故C正确.，，即，当时，，故成立；当时，成立，故成立，D不正确.故选：BC11.以下四个命题表述正确的有（）A．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为B．直线与圆一定相交C．圆上存在2个点到直线的距离都等于D．曲线与曲线恰有三条公切线，则【答案】BD【详解】解：对A，经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线还有一条过原点的直线，故A错误；对B，直线方程可化为：，所以该直线过定点，将代入圆中得：，所以定点在圆内，所以直线与圆一定相交，故B正确；对C，由圆，得圆心，圆心到直线的距离为：，而圆的半径为，故圆上只有一个点到直线的距离等于，故C错误；对D，由题知，两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线，圆心为，半径为；曲线化为标准方程得：，圆心为，半径为，所以两圆的圆心距等于两圆半径之和：解得：，故D正确.故选：BD.12.设m∈R，直线与直线相交于点P（x，y），线段AB是圆C：的一条动弦，Q为弦AB的中点，，下列说法正确的是（）A.点P在定圆上 B.点P在圆C外C.线段PQ长的最大值为 D.的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】根据直线与直线可求得两直线分别过定点和定点，且两直线垂直，从而可得交点的轨迹方程，即可判断A；判断点的轨迹圆与圆C的位置关系即可判断B；根据Q为弦AB的中点，，可得弦AB的中点Q的轨迹为以为圆心的圆，则线段PQ长的最大值为圆心距加两圆的半径，从而可判断C；，求出线段PQ长的最小值，即可判断D.【详解】解：直线过定点，直线过定点，又，所以两直线垂直，所以两直线的交点的轨迹是以线段为直径的圆，，所以交点的轨迹方程为，故A错误；圆的圆心为，半径为，因为，所以圆与圆C：相离，即点P在圆C外，故B正确；因为Q为弦AB的中点，，所以，所以弦AB的中点Q的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，则点Q的轨迹方程为，则圆与圆相离，所以线段PQ长最大值为，故C正确；，因为线段PQ长的最小值为，所以的最小值为，即的最小值为，故D正确.故选：BCD.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知点和椭圆，是椭圆上的动点，是椭圆上的右焦点，则的最小值为_________.【答案】5【解析】【详解】根据椭圆方程得e==∴|MA|+|MF|=（|MA|+2|MF|），根据椭圆的第二定义：过A作右准线的垂线，交于N点，右准线方程为x=4．则|MA|+2|MF|=|MA|+|MN|≥|AN|∵|AN|=4+1=5．故答案为：5．已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则________.【详解】与间距离，与间距离，又由正方形可知，即，解得，15.已知椭圆的左、右焦点分别为过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积是面积的3倍，则椭圆的离心率为_______．【答案】【分析】设椭圆的左、右焦点分别为，由的面积是面积的3倍得到，代入椭圆方程可得，化简即得解.【详解】椭圆焦点在轴上，设椭圆的左、右焦点分别为，由，代入椭圆方程可得，可设，由的面积是面积的3倍，可得，即，即，可得，代入椭圆方程可得：，由,整理得，由，得．故答案为：16.如图，在直角梯形ABCD中，，动点P在以点C为圆心且与直线BD相切的圆上运动，设，则的取值范围是___________.【答案】【分析】建立直角坐标系，写出点的坐标，求出BD的方程，求出圆的方程，设出，求出三个向量的坐标，用P的坐标表m，n，则，根据直线与有交点求出范围．【详解】以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则，，，如图所示：则直线方程为，点到的距离所以以为圆心且与相切的圆方程为设则，，又所以，则，所以所以因为在圆上，所以设直线与有交点则圆心到的距离为解得，则所以故答案为：．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知数列的前项和为，且，，，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵，∴，∴，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故数列的通项公式为.（2）据（1）可得，所以，，两式相减得，化简得.18．已知点，圆.（1）若直线l过点M，且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；（2）设O为坐标原点，点N在圆C上运动，线段的中点为P，求点P的轨迹方程.【答案】（1）或（2）【分析】（1）由直线被圆C截得的弦长为，求得圆心到直线的距离为，分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.（2）设点，，根据线段的中点为，求得，结合在圆上，代入即可求解.（1）解：由题意，圆，可得圆心，半径，因为直线被圆C截得的弦长为，则圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则，解得，即，综上可得，所求直线的方程为或.（2）解：设点，因为点，线段的中点为，可得，解得，又因为在圆上，可得，即，即点的轨迹方程为.19.如图，某海面上有、、三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆经过、、三点.（1）求圆的方程；（2）若圆区域内有未知暗礁，现有一船D在岛的南偏西30°方向距岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？【答案】（1）（2）该船有触礁的危险【分析】（1）由圆过点、、，设圆的方程为，再将点、、的坐标代入运算即可得解；（2）由题意可得该船航行方向为直线：，再结合点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，得解.【详解】解：（1）如图所示，、，设过、、三点的圆的方程为，得：，解得，，，故所以圆的方程为，圆心为，半径，（2）该船初始位置为点，则，且该船航线所在直线的斜率为1，故该船航行方向为直线：，由于圆心到直线的距离，故该船有触礁的危险.20.已知椭圆，其长轴为，离心率为，过椭圆上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，直线与，轴的交点分别为､.（1）求椭圆的方程；（2）求面积的最小值.【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意可得，，，求出、的值即可求解；（2）设点椭圆上点坐标为，切点坐标为，由利用基本不等式可求出的最大值，由可得，同理，进而可得直线方程为：，求出､坐标结合面积公式即可求解.（1）由题意可得：，得，因为，可得，所以，所以椭圆方程为.（2）设点椭圆上点坐标为，切点坐标为，因为直线，为圆的两切线，圆方程为，所以，因为，所以，得到：，即，同理可得：，所以点同时满足直线方程，即直线方程为：，令，得点坐标为，令，得点坐标为，所以，因为在椭圆上，所以，可得，所以，所以，当时等号成立，最小值为.21.设、为椭圆的左、右焦点，焦距为，双曲线与椭圆有相同的焦点，与椭圆在第一、三象限的交点分别记为、两点，若有.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的上顶点为，过点的直线与交于、两点（均异于点），试证明：直线和的斜率之和为定值.【答案