2023北京平谷区高二上学期期末数学试题及答案

2023北京平谷高二（上）期末数学2023.1注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共4页，共150分，考试时间为120分钟．2．试题所有答案必须书写在答题纸上，在试卷上作答无效．3．考试结束后，将答题纸交回，试卷按学校要求保存好．第Ⅰ卷选择题（共40分）104401.3x+2y+1=0x在轴上的截距为（）1121312C.−−D.A.B.3()，()，则线段）A1B2.在空间直角坐标系中，已知点AB的中点的坐标是（()2)2,3)0,1)A.B.C.D.3.一个袋中装有四个形状大小完全相同球，球的编号分别为23．从袋中随机抽取两个球，那么取出的球的编号之和不大于4的概率为（）1132312A.B.C.D.D.6y=x4.已知圆x2+y2−3x++1=0关于对称，则实数等于（m）332A.−B.−C.3325.已知平面mn，，直线，，下列命题中真命题是（）⊥，m⊥，则⊥⊥，n⊥，则∥若m∥n，m⊥，则n⊥A.若mB.D.，∥，n，则m∥nC.若m若m6.已知圆C：x2+y2−2y−4=0，直线l：3xy60，则直线l被圆C所截得的弦长为（+−=）A.10B.C.5D.27.“m0”是“方程x2−2+m=0表示双曲线”（）A.充分而不必要条件C.充分必要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件()，其圆心到直线3x+4y+13=0的距离的最小值为（）8.已知半径为2圆经过点A.0B.1C.2D.69.某地区工会利用健步行APP”开展健步走活动．为了解会员的健步走情况，工会在某天从系统中随机抽取了)7)))，57,9，，)))，)21100015,1717,19，，，名会员中步数少于千步的人数为（）A.B.C.D.x22y2210.1，分别是椭圆F+=1（a0P是椭圆上一点，且垂直于2b2ab35xcosF=轴，，则椭圆的离心率为（）123212A.B.C.D.252第卷非选择题（共分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共分，请把答案填在答题卡中相应题中横线直线x+3y10的倾斜角为_______________.−=12.北京市某高中有高一学生nn情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为的样本，其中高三学生有人，则的值等于______．x22y2−=（a085的值为____________．a13.已知双曲线a16=2px（p0）的焦点为F0)，则抛物线C的方程是______；若M是C上一14.已知抛物线C：y2点，FM的延长线交y轴于点，且M为N的中点，则=______．=1，P为W15.在直角坐标系中，O为坐标原点，曲线W的方程是x2+y2+y面四个命题：①曲线W上的点关于轴，轴对称；xy②曲线W上两点间的最大距离为22；1,1；22④曲线W围成的图形的面积小于③的取值范围为．3则以上命题中正确的序号有______．三、解答题（本大题共6小题，共85ABCD−ABCD16.如图，在正方体中，正方体的棱长为2，E为的中点．11111⊥（1）求证：（2）求直线；1AD1E与平面所成角的正弦值；AD1E的距离．1（3BC到平面117.某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：（1）该应聘者用方案一考试通过的概率；（2）该应聘者用方案二考试通过概率．x22y22518.已知椭圆C：+=1（ab04P为圆Mx：2+y=162ab3上任意一点，O为坐标原点．（1）求椭圆C标准方程；（2）记线段OP与椭圆C交点为Q，求的取值范围．19.某高中高一名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成720,30)，40)，，80,90，并整理得到频率分布直方图如图所示．（1）从总体的名学生中随机抽取一人，估计其分数小于的概率；（2）已知样本中分数小于的学生有5人，试估计总体中分数在区间40,50)内的人数；（3）估计随机抽取的名学生分数的众数，估计测评成绩的75%分位数；（4）已知样本中有一半男生的分数不小于，且样本中分数不小于的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．20.如图，四棱雉P−中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，EPD的中点．为（1）求证：PB∥平面AEC；（2）求证：平面PCD⊥平面APD；（3）设平面DAE与平面AEC夹角为60°，AP1，AD==3，求AB长．x22y22(2,1)在椭圆C上，且右焦点+1ab0的两个焦点是=()F1F2M，点21.已知椭圆C：，ab(2,0)O为坐标原点，直线l与直线OM平行，且与椭圆交于AB两点．连接MA、与x轴交于2点D，．（1）求椭圆C的标准方程；+=22（2）求证：．参考答案第Ⅰ卷选择题（共40分）104401.【答案】D【解析】y=0xx【分析】令直线方程中的得出的值即是直线在轴上的截距.【详解】令直线3x+2y+1=0中的y=0，1x得，31即直线3x+2y+1=0在轴上的截距为，x−3故选：D2.【答案】B【解析】【分析】通过空间直角坐标系已知线段两端点坐标求中点坐标，只需将各坐标相加并除以，即可得出中点坐标.【详解】在空间直角坐标系中，点()，()，A1B1+31+11+1线段AB的中点的坐标是，，，222即线段AB的中点的坐标是()，故选：B.3.【答案】C【解析】【分析】利用列举法列出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】从编号为、3、4的4个球中随机抽取两个球，其可能结果有()，()，()，(3)，(4)，(4)共个，1,21,31,46其中满足编号之和不大于4的有，()()共个，1,21,322613P==所以取出的球的编号之和不大于4的概率故选：C4.【答案】B【解析】【分析】把圆关于直线对称转化为直线过圆心,点代入直线计算即可.y=xx2+y2−3x++1=0关于对称,【详解】因为圆3m22y=x,−x2+y2−3x10的圆心++=所以直线过圆3m=−,解得m=−3，经检验，m=3满足题意，即得22故选:B.5.【答案】B【解析】【分析】根据线面垂直和面面垂直的性质与判定定理、线面平行的判定定理和性质依次判断选项即可.m⊥，//【详解】对于A：，A错误，对于B：，m⊥，n⊥，由平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面可知，故B正确；对于C：m⊥，n⊥m，由面面垂直判定定理可知⊥若，故C错误；//,n，m//n或与互为异面直线或与相交，故D错误.mnmn对于D：故选：B.6.【答案】A【解析】【分析】先根据圆的一般方程求圆心和半径再结合半径弦长和圆心到直线距离的关系式,计算即可.4044+−(−)【详解】已知圆C：x2+y2−2y−4=0,所以圆心C(),半径为==5,r230+1−62+25102圆心()到直线l：3x+y−6=0的距离d===C101010所以直线l被圆C所截得的弦长为2r2−d2=25−=2=1044故选:A.7.【答案】C【解析】【分析】根据题意求出方程表示双曲线的条件，即可判断出结论.m=0x2−2=−m不表示双曲线；【详解】若时，方程x2若m0时，方程2−−2=−m+y2=1为双曲线，则m0，x−m∴m0是方程x22=−m表示双曲线的充分必要条件，故选：C.8.【答案】C【解析】【分析】设圆心坐标得到圆的圆心的轨迹方程，再利用点到线的距离公式求解.【详解】半径为2的圆经过点，设圆心坐标为(a,b)，则(a2b2=4−+−(1,1)所以该圆的圆心的轨迹是以为圆心，2为半径的圆故圆心到直线3x+4y+13=0的距离的最小值为点到直线的距离减半径，即31+41+13205−2=−2=232+42故选：C.9.【答案】D【解析】【分析】分别求出健步走的步数在)，)))的人数，即得解.3,55,77,9，，【详解】这1000名会员中健步走的步数在)内的人数为)3,50.0221000=40；5,70.0321000=60；健步走的步数在内的人数为健步走的步数在7,9)内的人数为0.0521000=100；健步走的步数在)内的人数为0.0521000=100；40+60+100+100=300.所以这1000名会员中健步走的步数少于千步的人数为人.故选：D.10.A【解析】a,b,ca2=b2+c2计算即可得到离心率.【详解】由已知cos1PF235cosF=x，且垂直于轴122b2=12c，又在椭圆中通径的长度为=，2a443sinFPF=,tanFPF=所以12125431F2cb2,tanF==2=故即122a2ac2e4==,2e+e−2=0,2a2−c21−e23(2e1e20−)(+)=又因为0e1,1e=解得2故选：A第卷非选择题（共分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共分，请把答案填在答题卡中相应题中横线【答案】【解析】33【分析】由直线x+3y−1=0的斜率为k=−，得到tan=−,[0,180)，即可求解.00333【详解】由题意，可知直线x+3y10的斜率为k=−−=，33[00,1800)，解得=150，0设直线的倾斜角为，则tan=−,3即换线的倾斜角为1500.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12.【答案】【解析】【分析】根据分层抽样的性质进行求解即可.n【详解】因为抽取了一个容量为的样本，其中高三学生有11275=n=33，所以有n300+250+275故答案为：.13.【答案】【解析】1①.8②.y=x2a,b,c【分析】根据双曲线标准方程求出,再求渐近线方程即可.x22y2−=1（a0=【详解】因为双曲线）的焦距为85,所以2c85,即a16又因为c2=a2+b2,所以165=a2+16,即a2=64,可得a=8;1b因为双曲线渐近线方程为y===y=xx又因为a8,b4,所以双曲线渐近线方程为a21y=x故答案为:8;2y2=4x②.314.【答案】①.【解析】p=2px(p0)的焦点坐标为,0,已知焦点坐标求得2【分析】利用C：y2p,得到抛物线的方程；利用中点坐标公式求得M的横坐标，利用抛物线的定义求得M到焦点的距离，进而得到所求.=2px(p0)的焦点为F0)，可得p2，则抛物线C的方程是y=4x.=【详解】抛物线C：y2212由M为的中点，N在轴上，的横坐标为，F的横坐标为，得M的横坐标为yN，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，pM是抛物线上的点，F是抛物线的焦点，抛物线C：y2=2px(p0)的准线方程为x=−=−1,2p132=xM+=+1=，22FN=2FM=3.2y=4x；3.故答案为：15.【答案】①③【解析】【分析】根据对称性,最值及图像特征分别判断命题即可.Px,y)在曲线W【详解】对于①,设((−)Px,y也在曲线W的方程上因为的方程上,上的点关于轴，轴对称故①正确=1−y,又因为曲线W的方程是x+y=1−y+y,2x=1−2y0P(−x,y)也在曲线W的方程上,所以曲线Wxy=x2+y22+y+y=1,2对于③+y2=1−y,即得x22222,所以x1120y,=1−y,1,故③正确得21212y0时,曲线Wy=1−x2),曲线WA1,0yxB对于④当的方程为与轴交点与轴交点,曲线W上的点关于轴对称可以得到曲线的大致图像,xW112曲线W围成的图形的面积大于4S=41=1,故④错误;22=21=2对于②,如图及曲线W的对称性可知,曲线W上两点间的最大距离为,故②错误;故答案①③三、解答题（本大题共6小题，共8516.）证明见解析2（2）（3）323【解析】AD,AB,AAx,y,z轴建立空间直角坐标系，向量法即可证）以A为原点，所在的直线分别为1出；AD1E（2）求出平面的一个法向量，再根据线面角的向量公式即可求出；（3）根据点到平面的距离向量公式即可求出．【小问1详解】AD,AB,AAx,y,z轴如图建立空间直角坐标系，则以A为原点，所在的直线分别为1()()()A0,0,0,B2,0,D2,0,2,1()()AB=2,0AD=2,0,21ABAD1=20+02+20=0AB⊥AD1【小问2详解】因为正方体的棱长为2，()()()()A0,0,0,A0,0,2,D2,0,2,E2,111AA=(0,0,2)，AD1=(2,0,2)，AE=(2,1)，∴1n+2z=0y+z=0设平面的一个法向量为)，则，AD1En=(x,y,zn=x=−y=−1，∴n=(−2)，令z2，则AD1E所成角为，则sin=设直线与平面|＝1|n1422AD1E所成角的正弦值为||＝，故直线与平面．24+1+4313【小问3详解】∵(C2,0)，∴=(2,0,2)由（）知，平面所的法向量为n=(−2)，12AD1EBCn=0∴BC//平面E，111BCAD1EAD1E距离可以转化为点B到平面的距离，所以到平面1n223()dAB=2,0，==|n|4+1+417.）0.75（2）0.43;【解析】）利用相互独立事件概率乘法公式及互斥事件的加法公式直接计算即可；（2）分情况结合乘法公式即互斥事件加法公式即可得解.）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，PA=0.5PB0.6PC0.9则()，()=，()=，应聘者用方案一考试通过的概率：)+()+()+P(ABC)1PABCPABCPABC=(=+(−)+(−)0.50.60.910.50.60.9+0.51−0.6)0.90.50.610.9=0.27+0.27+0.18+0.03=0.75；13（2）应聘者用方案二选择任意两科的概率为，考试通过的概率：131313(PAB)+(PBC)+(PAC)2=111=0.50.6+0.60.9+0.50.9333=0.1+0.18+0.15=0.43.x2y2+=118.）94（2）1,2【解析】）根据椭圆的离心率公式及b2=a2−c2，即可求得和的值，求得椭圆方程；x[−3，即可求得|PQ|的取值范围；ab512（2）根据两点之间的距离公式|OQ=4+【小问1详解】，根据，3]19c5由题意可知：2b=4，e==，b2=a2−c2=4，则a=3，c=5a3x2y2+=1；∴椭圆的标准方程：94【小问2详解】PQ=OP−OQ=4−OQ由题意可知：，x219y12设()，则1Qx,y+=1，14495192=12+12=12+4−x21=4+∴，x3,3，当=2x=3，当1=3，x=0由∴时，时，11的取值范围2；19.）（2）人（3）众数为75；测评成绩的75%分位数为78.75（4）3:2【解析】）由对立事件结合频率分布直方图先得出数不小于的频率，即可得出分数小于的频率，则可得出总体的名学生中随机抽取一人，其分数小于的概率估计值；（2）先由频率分布直方图可得分数不小于的频率，即可得出分数不小于的人数，在集合题意即可得出总体中分数在区间40,50)内的人数；（3）总数为频率分布直方图中频率最高的分数区间的中间值，测评成绩的分位数先得出从前到后的频率之和为0.75时在那个区间，在通过频率求出；（4）先由频率分布直方图可得分数不小于的学生人数，在通过已知得出样本中的男女生比例，即可得出总体中男女生的比例估计.【小问1详解】由频率分布直方图可得分数不小于的频率为：()0.02+0.04+0.0210=0.8，则分数小于的频率为：1−0.8=0.2，故从总体的名学生中随机抽取一人，其分数小于的概率估计为；【小问2详解】由频率分布直方图可得分数不小于的频率为：(0.01+0.02+0.04+0.02)10=0.9，则分数在区间40,50)内的人数为：100−1000.9−5=5人，5则总体中分数在区间40,50)内的人数为：500=25人；100【小问3详解】由频率分布直方图可得分数在区间70,80)的频率最高，则随机抽取的名学生分数的众数估计为75，由频率分布直方图可得分数小于的频率为0.4，分数小于的频率为0.8，则测评成绩的75%分位数落在区间70,80)上，0.350.470+10=78.75；则测评成绩的75%分位数为【小问4详解】(+)0.020.041010060=由频率分布直方图可得分数不小于的学生人数为人，因为样本中分数不小于的男女生人数相等160=30所以样本中分数不小于的男生人数为人，2又因为样本中有一半男生的分数不小于，所以样本中的男生共有2=人，则样本中的女生共有−=人，所以总体中男生和女生人数的比例估计为60:40=3:2.20.）答案见解析3（2）答案见解析（）2【解析】）连BD交于O点，连接OE，由线面平行判定定理可证；（2）证明CD⊥平面则应用面面垂直的判定定理证明即可；（3）建立空间坐标系，求出两平面的法向量，利用法向量的夹角公式运算得出的长．【小问1详解】连BD交于O点，连接OE，∵O为BD中点，E为PD中点.∴//，OE平面AEC，PB平面AECPB//平面AEC【小问2详解】∵PA平面⊥ABCD，CDABCD平面，⊥CD，∵ABCD为矩形，⊥CD,PAPAD,DA又PAADA,=平面平面PAD∴CD⊥平面PAD，又CD平面．平面PCD⊥平面APD；【小问3详解】以A原点，以ABAD为坐标轴建立空间坐标系如图所示，312设AB＝，则（，，，（，3，，（，3，（，，（，aA000Ca0D00P001E0，2312∴=（，3，0AE=（0，，AP=（0，，1，AC2显然m=（1，，）为平面的一个法向量，+3y=0n设平面ACE法向量为n=（xy，z，即3，1n=0y+z=0223令z=3得n=（，﹣1，3a∵平面DAE与平面AEC夹角为60°，31mm=∴|cos＜，＞|||2，3a4+a2332a==解得，即AB．2x2y2+=121.）42（2）证明见解析【解析】(2,1)(2,0)即可得出MF22⊥x轴，再通过勾股定理即可得出，再结1）通过且