海南省海口市龙华区海口观澜湖华侨学校2023-2024学年高一上学期11月期中考试数学试题（含答案）

海口观澜湖华侨学校学校2022-2023学年第二学期高一年级第二次阶段考试数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（）A．①③B．②④⑤C．③④D．①②⑤2．已知全集，集合，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．3．已知，则的最小值是（）A．4B．C．5D．94．下列各组函数表示同一函数的是（）A．B．C．D．5．已知函数，则（）A．B．2C．1D．56．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（）A．B．C．D．7．已知函数是定义域为R的奇函数，且当时，．若函数在上的最小值为3，则实数的值为（）A．1B．2C．3D．48．若函数在区间上的最大值为，则实数（）A．3B．C．2D．或3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9．已知，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．10．下列关于幂函数描述正确的有（）A．幂函数的图象必定过定点和；B．幂函数的图象不可能过第四象限；C．当幂指数时，幂函数是奇函数；D．当幂指数时，幂函数是增函数；11．已知，则等于（）A．B．C．1D．12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：．已知函数，则关于函数和的叙述中正确的是（）A．B．C．在R为增函数D．方程的解集为R三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．“”是“”的________条件．（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充分必要”或“既不充分又不必要”）14．已知幂函数是偶函数，则________．15．已知，给出下列四个式子：①；②；③；④．其中没有意义的是________．（填序号）16．某信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密的方法是英文的的26个字母（不论大小写）依次对应这26个自然数·通过变换公式：将明文转换成密文，如，即变换成，即变换成．按上述规定，若将明文译成的密文是，则原来的明文是________．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题12.0分）已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若________，求实数的取值范围．在①；②“”是“”的必要不充分条件；③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并解答．18．（本小题12.0分）计算下列各式的值：（1）；（2）．19．（本小题12.0分）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米，设的长为米．（1）要使矩形的面积大于54平方米，则的长应在什么范围内？（2）求当的长度是多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小面积．20．（本小题12.0分）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．（1）现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数的图象，并由图象写出函数的增区间；（2）求函数的解析式和值域．21．（本小题12.0分）经研究发现，学生的注意力与老师的授课时间有关，开始授课时，学生的注意力逐渐集中，到达理想的状态后保持一段时间，随后开始逐渐分散，用表示学生的注意力，表示授课时间（单位：分），实验结果表明与有如下关系：（1）开始授课后多少分钟，学生的注意力最集中？能维持多长时间？（2）若讲解某一道数学题需要55的注意力以及10分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题？22．（本小题12.0分）一次函数是R上的增函数，，已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若在单调递增，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，有最大值13，求实数的值．期中数学参考答案一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．【答案】C【解析】【分析】本题主要考查元素与集合，集合与集合之间的关系，空集和集合的关系，属于基础题．根据集合元素的无序性判断①；根据子集的定义判断②；根据集合及空集的定义判断③④⑤；利用元素与集合的关系判断⑥．【解答】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确；对②：因为集合，故正确，即②正确；对③：空集是一个集合，而集合是以空集为元素的一个集合，因此不正确；对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确；对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确；对⑥：显然成立，因此⑥正确．综上，本题不正确的有③④，于是本题选项为C．故选C．2．【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了利用韦恩图表示的集合运算，属于基础题．化简集合，再求，最后从并集中去掉交集部分即可．【解答】解：，，，阴影部分表示的集合为．故选A．3．【答案】B【解析】【分析】本题考查了利用基本不等式求最小值，属于基础题．由条件可得化简后利用基本不等式求出最小值即可．【解答】解：，，当且仅当，即时取等号，故选：B．4．【答案】C【解析】【分析】本题考查同一函数的判断，属于基础题．判断函数的定义域与对应法则是否相同即可．【解答】解：对于A，，定义域和对应法则不一样，故不为同一函数；对于B，，定义域不同，故不为同一函数；对于C，，定义域和对应法则均相同，故为同一函数；对于D，，定义域不同，故不为同一函数．故选C．5．【答案】B【解析】【分析】本题考查了分段函数的应用及复合函数的应用，解题时要认真审题，可以先求，再求，属基础题．【解答】解：因为所以，．故选B．6．【答案】D【解析】【分析】本题考查了求抽象函数的定义域问题，是一道基础题．根据函数的定义域求出中的范围，结合分母不为0，求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：，由解得：，故函数的定义域是．故选D．7．【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了函数解析式的求解，还考查了函数的单调性在函数最值求解中的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．由已知结合奇函数定义先求出当时的函数解析式，然后结合基本函数的单调性对进行分类讨论，确定函数单调性，进而可求．【解答】解：因为是定义域为R的奇函数，且当时，．当时，，则，所以，因为函数在上的最小值为3，当时，在上单调递增，当时，函数取得最小值，解得（舍），当时，根据对勾函数的性质可知，当时，函数取得最小值，解得，综上，．故选D．8．【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了复合函数的单调性以及函数的最值，属于中档题．先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可．【解答】解：函数，由复合函数的单调性知，当时，在上单调递减，最大值为；当时，在上单调递增，最大值为，即，显然不合题意，故实数．故选B．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9．【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查利用不等式的性质比较大小，利用基本不等式求取值范围．由，利用不等式的性质，分析A，B，D，可知正误，利用基本不等式，可得C正误，即可得到答案．【解答】解：A中，因为，所以，故，即，故A错误；B中，因为，所以，则，所以，故B正确；C中，因为，所以，故C正确；D中，因为，可得，又，所以，故D正确．故选BCD．10．【答案】BD【解析】【分析】本题考查幂函数的图像和性质，属于基础题．利用幂函数的图像和性质逐个判断即可．【解答】解：幂函数的图象都通过点，但时不经过点，故A错误；因为所有的幂函数在区间上都有定义，且，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B正确；当幂指数时，幂函数是非奇非偶函数，故C错误；当幂指数时，幂函数是增函数，故D正确．11．【答案】AB【解析】【分析】本题考查分数指数幂的运算，属于基础题．推导出，由此能求出的值．【解答】解：，，．故选AB．12．【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考查的是新定义函数的应用，属于基础题．结合高斯函数的定义依次判断各个选项即可．【解答】

解：选项A，因为，故正确；选项B，因为，故正确；选项C，因为，所以在R上不是增函数，所以错误；选项D，因为，所以，故正确．故选ABD．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．【答案】必要不充分【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出不等式的等价条件是解决本题的关键．求出不等式的等价条件，结合不等式的关系利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由得得，因为，则“”是“”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．14．【答案】【解析】【分析】本题考查了幂函数的定义与性质以及函数的奇偶性，属于基础题．先由幂函数的定义得求出的值，再代回检验函数的奇偶性即可确定结果．【解答】解：根据幂函数的定义可得，解得或．当时，，不符合题意；当时，是偶函数，符合题意．故答案为．15．【答案】③【解析】【分析】本题考查了根式的定义及其运算性质，考查了推理能力，属于基础题．利用根式的定义及其运算性质即可得出．【解答】解：①，有意义；②，有意义；③，因此没有意义；④有意义．其中没有意义的是：③．故答案为：③．16．【答案】love【解析】【分析】本题考查了分段函数的应用，属中档题．根据密文换成数字，利用分段函数的解析式根据函数值求自变量，再转换成字母即可．【解答】解：明文译成的密文是，设密文对应的明文为，则，若，则，不符合要求，若，则，即对应的明文为，同理可以确定出对应的明文为对应的明文为对应的明文为，密文198243明文原来的明文是love．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【答案】解：（1）当时，；（2）若选择①，，则，，又，，解得：实数的取值范围是．若选择②，“”是“”的必要不充分条件，则集合为集合的真子集，，又，或，解得：或，实数的取值范围是．若选择③，，，又，或，解得：或实数的取值范围是．【解析】本题考查了全集与空集，子集与真子集，集合关系中的参数取值问题，交集与并集的运算，属于中档题．（1）当时，求出集合，求出集合，再利用集合的并集运算得结论；（2）若选择①，，则，利用集合关系中的参数取值问题，计算得结论；若选择②，“”是“”的必要不充分条件，则集合为集合的真子集，利用集合关系中的参数取值问题，计算得结论；若选择③，，利用集合关系中的参数取值问题，计算得结论．18．【答案】解：（1）原式．．（2）原式．【解析】本题考查了指数幂的运算，属于基础题．（1）利用指数幂的运算，计算得结论；（2）利用指数幂的运算，计算得结论．19．【答案】解：设的长为米是矩形，，（1）由，得，或长的取值范围是，（2）令，令，则，当且仅当，即时取等号．此时，最小面积为48平方米．【解析】本题考查矩形面积的计算，考查解不等式，考查基本不等式的运用，解题的关键是构建函数模型，属于中档题．（1）求出矩形的长与宽，计算其面积，利用面积大于54平方米，建立不等式，即可求得的长的范围；（2）利用换元法，再利用基本不等式，即可求得面积的最小值．20．【答案】解：（1）函数的图象补充完整后，图象如下图所示：由图可得，递增区间为，递减区间为；（2）当时，，再根据时，，可得，再根据函数为偶函数，可得，函数的解析式为，结合函数的图象可得，当，或时，函数取得最小值为，函数没有最大值，故函数的值域为．【解析】本题考查函数图象的作法、函数解析式的确定与函数的单调性，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．（1）根据偶函数的图象关于轴对称，可作出的图象，由图象可得的单调递增区间与递减区间；（2）令，则，根据条件可得，利用函数是定义在上的偶函数，可得，从而可得函数的解析式，结合函数的图象可得值域．21．【答案】（1）由题意得，当时，，此时函数单调递增；当时，函数取得最大值，此时；当时，，此时函数单调递减．所以开始授课后10分钟，学生的注意力最集中，能维持6分钟．（2）