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文档简介
科海拾贝—回归分析在客观世界中普遍存在着变量之间的关系。变量之间的关系一般来说可分为确定性的与非确定性的两种。确定性关系是指变量之间的关系可以用函数关系来表达的。另一种非确定性的关系即所谓相关关系。例如,人的身高与体重之间存在着关系,一般来说,人高一些,体重要重一些,但同样高度的人的体重往往不相同。人的血压与年龄之间也存在着关系,但同年龄的人的血压往往不相同。气象中温度与湿度之间的关系也是这样。这是因为涉及的变量(如体重、血压、湿度)是随机变量。上面说的变量关系是非确定性的。回归分析是研究相关关系的一种数学方法。使用这种方法可以用一个变量取得的值去估计另一个变量所取的值,或者使用一个变量去解释另外一个变量变化的原因。这两个量,我们分别称为自变量和因变量。回归分析是数学建模的有力工具,那么我们要建立回归分析的数学模型,需要以下几个步骤:收集一组包含因变量和自变量的数据;选定因变量与自变量之间的模型,利用数据,按照最小二乘准则计算模型中的系数;利用统计分析方法对不同的模型进行比较,找出与数据拟合地最好的模型;判断得到的模型是否适合于这组数据,诊断有无不适合回归模型的异常数据;利用模型对因变量做出预测或解释。注:在第二步中,选定因变量与自变量的模型时,一般是凭经验选取模型,所以此模型又称为经验公式。回归分析主要包括一元线性回归,多元线性回归以及非线性回归,这里主要是介绍一元线性回归的MATLAB实现。实验目的:了解回归分析的基本原理,掌握MATLAB的实现方法;联系实际用回归分析方法解决实际问题。一元线性回归模型例:用切削机床加工时,为实时地调整机床需测定刀具的磨损程度,先每隔一小时测量刀具的厚度得到以下的数据:时间(h)012345678910刀具厚度(cm)30.629.128.428.128.027.727.527.227.026.826.5试建立刀具厚度关于切削时间的回归模型,对模型和回归系数进行检验,预测15小时后刀具的厚度。分析:首先对原始数据进行观察,确定回归模型,然后通过计算最终确定模型和模型参数,并对模型和回归系数进行检验。在进行回归分析之前,现将刀具厚度和时间的关系绘图,程序如下:>>x1=0:1:10;%定义横坐标>>y=[30.629.128.428.128.027.727.527.227.026.826.5]';%定义纵坐标>>plot(x1,y,'+')%绘图命令,在坐标面上用“+”描出上述坐标点运行结果:从原始数据上看,可以建立一元线性回归模型:其中,然后,计算回归系数,可以用MATLAB实现。二、一元线性回归MATLAB实现1、确定回归系数的点估计值:b=regress(y,x)其中,,2、求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型:[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)其中,bint为回归系数的区间估计;r是残差;rint是置信区间;stats是用于检验回归模型的统计量,有四个数值:相关系数、F值、与F对应的概率P、以及方差估计误差;alpha表示显著性水平,缺省时为0.05相关系数越接近1,说明回归方程越显著;与F对应的概率P<alpha时拒绝,回归模型成立。画出残差及其置信区间:rcoplot(r,rint)那么对于我们上面的例子有如下程序,计算回归系数:>>alpha=0.05;>>x=[ones(11,1),x1'];%>>[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha);>>b,bint,stats,rcoplot(r,rint)运行结果:b=29.5455-0.3291Pbint=P28.976930.1140-0.4252-0.2330stats=0.869660.00180.00000.1985同时MATLAB绘出残差图,如下因为P<alpha,拒绝,回归模型成立。观察残差分布,发现第一个数据(0,30.6)残差的置信区间不包括零点,应视为异常点,将其剔除后,用剩余的数据点重新进行计算:>>alpha=0.05;>>x1=1:1:10;>>y=[29.128.428.128.027.727.527.227.026.826.5]';>>x=[ones(10,1),x1'];>>[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha);>>b,bint,stats,rcoplot(r,rint)运行结果:b=29.0533-0.2588bint=28.833429.2732-0.2942-0.2233stats=0.9726283.55990.00000.0195再次计算,发现原始数据中的第二个数据(1,29.1)残差的置信区间也不包括零点,人将该点视为异常点,将其剔除,重新计算:>>alpha=0.05;>>x1=2:1:10;>>y=[28.428.128.027.727.527.227.026.826.5]';>>x=[ones(9,1),x1'];>>[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha);>>b,bint,stats,rcoplot(r,rint)运行结果:b=28.8667-0.2333bint=28.779628.9537-0.2467-0.2200stats=1.0e+003*0.00101.71500.00000.0000这次的数据残差的置信区间全部包括零点,无异常点。对比分析:对比剔除前后的变化,发现置信区间明显缩小,相关系数和F都明显变大,表明异常点的剔除有利于更好的建立模型。于是,就可以输出最终计算结果和图形(上述程序的最后运行结果中的b即为最后输出的b,即一元线性回归模型中的未知参数),程序如下:>>x1=0:1:10;>>y=[30.629.128.428.128.027.727.527.227.026.
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