2023年中考数学高频考点训练-二次函数图象与系数的关系

2023年中考九年级数学高频考点专题训练一二次函数图象与系数的关系

一、综合题

1.抛物线y=-x?+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)点.

(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；

(3)x取什么值时，抛物线在x轴上方？

(4)x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象回答下列问题:

(3)b2-4ac0；

(4)y<0时，x的取值范围是

3.设二次函数y=ax?+bx-3(a,b是常数，a/0),部分对应值如表:

X-2-1012•••

y50-3-4-3

(1)试判断该函数图象的开口方向.

(2)当x=4时，求函数y的值.

(3)根据你的解题经验，直接写出ax2+bx-3<-3的解.

4.关于x的一元二次方程a/+bx+c=0(a>0)有两个不相等且非零的实数根，探究a,b,c

满足的条件.

小华根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度研究一元二次方程的根的符号。下面是小

华的探究过程：第一步：设一元二次方程a/+bx+c=0(a>0)对应的二次函数为y=a/+

bx+c(a>0)；

第二步：借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次方程中a,b,c满足的条件，列表如下表。

对应的二次函数的大致图

方程两根的情况a.b.c满足的条件

象

ra>0,

方程有两个不相等的负实A=b2-4ac>0,

b

根二一说

Ic>0.

①_______(a>0,

tc<0.

方程有两个不相等的正实

②_____________③___________

根

(1)请将表格中①②③补充完整;

(2)已知关于%的方程x2-(2/c-l)x+fc2-fc=0，若方程的两根都是正数，求k的取值

范围.

5.如图是二次函数y=(x+m)2+k的图象，其顶点坐标为"(1,-4),抛物线与x轴的交点为A、B(点A

在点B的左边)

(1)写出抛物线的解析式、开口方向、对称轴；

(2)求出图象与x轴的交点A、B的坐标；

(3)在二次函数的图象上是否存在点P,使以物8=SAMA2?若存在，求出点P的坐标；若不存

在，请说明理由.

m2

6.已知y=(m+l)x+m是关于x的二次函数，且当x>0时，y随x的增大而减小.求：

(Dm的值.

(2)求函数的最值.

7.在-2,」,0,1,2这五个数中任意取两个数m,n,已知有二次函数y=(x—+n.

(1)先取m=l,则从余下的数中任意取n,求二次函数图象与y轴交于负半轴的概率；

(2)任意取两个数m,n,求二次函数y=(x-mY+n的顶点在坐标轴上的概率.

8.已知函数y=(巾一1)%加:+1+4%-5是二次函数.

(1)求m的值；

(2)写出这个二次函数的解析式及其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.

9.若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.

(1)请写出两个为“同簇二次函数''的函数；

(2)已知关于x的二次函数y\=2x2-4mx+2m2+｝和yz=ax1+bx+5,其中yi的图像经过点A(1,

1),若y+”与为“同簇二次函数”，求函数"的表达式，并求出当

2―3时，”的最小值.

10.已知二次函数y=-2x2+bx+c图象的顶点坐标为(3,8),该二次函数图象的对称轴与x轴的交

点为A,M是这个二次函数图象上的点，。是原点.

(1)不等式b+2c+8K)是否成立？请说明理由；

(2)设S是aAMO的面积，求满足S=9的所有点M的坐标.

11.已知抛物线y=x2-2kx+3k+4.

(1)抛物线经过原点时，求k的值.

(2)顶点在x轴上时，求k的值；

(3)顶点在y轴上时，求k的值；

12.如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数丫=江+云+。与二次函数y=(a+3)/+S—15)x+

+18的图象与x轴的交点分别是A,B,C.

(1)判断图中经过点8,D,C的图象是哪一个二次函数的图象？试说明理由.

(2)设两个函数的图象都经过点3、D,求点B,。的横坐标.

(3)若点。是过点&D、C的函数图象的顶点，纵坐标为一2,求这两个函数的解析式.

13.在同一直角坐标系中，抛物线Ci：y=ax2-2x-3与抛物线C2：y=x2+mx+n关于y轴对称，C2与

x轴交于A,B两点，其中点A在点B的左根IJ.

(1)求抛物线Ci,C2的函数表达式；

(2)求A,B两点的坐标；

(3)在抛物线Ci上是否存在一点P,在抛物线C2上是否存在一点Q,使得以AB为边，且以

A,B,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说

明理由.

14.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点，与y轴交于A点.

(1)根据图象确定a、b、c的符号，并说明理由；

(2)如果点A的坐标为(0,-3),Z.ABC=45°,Z.ACB=60°,求这个二次函数的解析

式.

15.已知关于X的一元二次方程-x2+(3-k)x+k-l=0,其中k为常数.

(1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；

(2)若函数y=-x2+(3-k)x+k-1的图象不经过第二象限，求k的取值范围.

16.已知y=(k+l)xk2-2是关于x的二次函数.

(1)求满足条件的k的值；

(2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x为何值时，y的值随x值的增大而增

大？

(3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？

答案解析部分

L【答案】(1)解：由抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)得：m=3.

...抛物线为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.

列表得：

X-10123

y03430

图象如下.

.,.抛物线与x轴的交点为(-1,0),(3,0).

,.,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4

•••抛物线顶点坐标为(1,4).

(3)解：由图象可知：

当-l<x<3时，抛物线在x轴上方

(4)解：由图象可知：

当x>1时，y的值随x值的增大而减小.

2.【答案】(1)>

(2)<

(3)>

(4)-2<x<4

3.【答案】(1)解：:图象经过(0,-3),(2,-3),

.•.图象对称轴为直线x=竽=1，

由表格可得，x<l时，y随x的增大而减小，

抛物线图象开口向上

(2)解：：(-2,5)关于直线x=l的对称点是(4,5),

；.x=4时，函数y的值为5

(3)解：•.•抛物线开口向上，且经过点(0,-3),(2,-3),

•,.当0<x<2时，ax2+bx-3<-3,

故ax2+bx-3<-3的解为0<x<2.

'a>0

A=b2-4ac>0

4.【答案】(1)方程有一个负实根|个正实根|bn

2a

、c>0

(2)解：方程的根的判别式为4=(2k-1)2-4(9—k)=4/c2-4/c+1-4fc2+4k=1>

0,则此方程有两个不相等的实数根

_~~(2k-1)„(k>-

由题意，可利用③得：2—,解得2

.k2-k>0(k>l或fc<0

则方程组的解为k>1

故k的取值范围是k>1

5.【答案】(1)•.•抛物线解析式为y=(x+m)2+k的顶点为M(1,-4)

.••y=(x-1)2-4,抛物线对称轴是直线X=l.

Va=l>0,

.•.抛物线开口方向向上

(2)•••抛物线解析式为y=(x-1)2-4,

令y=0,得(x-1)2-4=0,

解得Xl=3,X2=-L

，A(-1,0),B(3,0)

(3)PAB与△MAB同底，且SAPAB=SAMAB,

•e•\ypI=I'MI=4,GRyp=±4,

又..,点P在y=(x-1)24的图象上，yp^-4,

.'.yp=4,则(x-1)2-4=4,

解得Xl=2V2+1,X2=-2V2+1,

存在合适的点P,坐标为(2代+1,4)或(一2鱼+1,4).

6.【答案】(1)解：•.•¥=(m+1)+m是关于x的二次函数，

.,.m2=2,解得m=+V2,

•.•当x>0时，y随x的增大而减小，

.*.m+l<0,m=-V2,m=V2(不符合题意，舍)；

(2)解由(1)可得抛物线解析式为y=(l-^/I)x2—鱼所以当x=()时，函数有最大值，最大值为-

V2.

7.【答案】(1)解：在-2,-1,0,1,2这五个数中任意取两个数m,n,已知有二次函数y=(x-m)2+

n.

二次函数图象与y轴交于负半轴的概率P一；

4

一共有20种可能，二次函数y=(x-m)2+n的顶点在坐标轴上的有8种，

所以，P=|

8.【答案】(1)解：由y=(jn—l)xm2+1+4x—5是二次函数，得

m2+1=2且TH—1。0.解得m=-1

(2)解：当m=—1时，二次函数为y=—2/+4x-5,

"."a=-2V0，

二二次函数的图象开口向下，

"."y=-2x2+4%—5=-2(x-l)2-3,

二对称轴为直线x=l顶点坐标为(1,-3).

9.【答案】(1)解：由“同族二次函数的定义”可知：y=x2和y=2/是一对“同族二次函数”

(答案不唯一)；

(2)解：..31=2/-4耀》+262+1的图象过点A(1,1),二2x/一4m+2血2+i=1,解

得：m=1,=2X2-4X+3=2(X-1)2+1,.•多的顶点坐标为(1,1),且旷1+当=

2

(a+2)x+(b-4)x+8,Vy1+y2与y1是“同族二次函数”，

二月+%的顶点坐标也为(1，1).

(a+2)+(b-4)+8=l

/Jb-41，解得：fJ=

1-2(H+2)=11b=-10

22

.*.y2=5x—lOx+5=5(x—l),

又YZWxW3在对称轴x=1的右侧，

・••当x=2时，y2最小=5.

10.【答案】(1)解：由题意抛物线的顶点坐标(3,8),・••抛物线的解析式为产-2(x-3)2+8=-

2x2+12x-10,Ab=12,c=-10,

Ab+2c+8=12-20+8=0,

・•・不等式b+2c+8>0成立.

(2)解：设M(m,n),

由题意得A(3,0)..,.1・3・|n|=9,

n=±6,

①当n=6时，6=-2m2+12m-10,

解得m=2或4,②当n=-6时，-6=-2m2+12m-10,解得m二3±夕，.•.满足条件的点M的坐标

为(2,6)或(4,6)或(3+V7,-6)或(3-夕，-6).

11.【答案】(1)解：:抛物线y=x2-2kx+3k+4经过原点，把(0,0)代入得3k+4=0,

解得：k=-

(2)解：•.•抛物线y=x2-2kx+3k+4顶点在x轴上,

.*.b2-4ac=0,

(-2k)2-4xlx(3k+4)=0,

解得：k=4或k=-1

(3)解：...抛物线y=x2-2kx+3k+4顶点在y轴上，

-2k=0,

解得：k=0

12.【答案】(1)解：根据题意，由抛物线开口，一个开口向下，一个开口向上，•••a+3>a,

，经过B、D、C的图象是：y=(a+3)x2+(b-15)x+c+18的图象.

⑵解：解方程组［y=f+bX+c,

(y=(a+3)x2+(b-15)x+c+18

整理得：x2—5x+6=0,

解得：xi=2,X2=3,

，点B,D的横坐标分别为2,3；

(3)解：由题可知，点D坐标为(3,-2),设所求解析式为：y=a(x一3尸一2,把点B的坐标

(2,0)代入，则矶2-3尸一2=0,解得：a=2,：.y=2(%-3)2-2,

即y=2x2—12x+16；

.,.a+3=2,b—15=-12,c+18=16,/.a=-l,b=3,c=-2,

，左边抛物线的解析式为：y=-x2+3x-2.

13.【答案】(1)解：•・•©、C2关于y轴对称,

...G与C2的交点一定在y轴上，且Ci与C2的形状、大小均相同，

a=1,n=-3,

...Ci的对称轴为x=L

，C2的对称轴为X=-1,

m=2,

2

ACi的函数表示式为y=x2-2x-3,C2的函数表达式为y=x+2x-3

(2)解：在C2的函数表达式为y=x2+2x-3中，令y=0可得x?+2x-3=0,解得x=-3或x=l,

AA(-3,0),B(1,0)

(3)解：存在.

「AB的中点为(-1,0),且点P在抛物线Ci上，点Q在抛物线C2上，

AAB只能为平行四边形的一边，

；.PQ〃AB且PQ=AB,

由(2)可知AB=1-(-3)=4,

/.PQ=4,

设P(t,t2-2t-3),则Q(t+4,t2-2t-3)或(t-4,t2-2t-3),

①当Q(t+4,t2-2t-3)时，则t2-2t-3=(t+4)2+2(t+4)-3,解得t=-2,

At2-2t-3=4+4-3=5,

.'.P(-2,5),Q(2,5)；

②当Q(t-4,t2-2t-3)时，则t2-2t-3=(t-4)2+2(t-4)-3,解得t=2,

At2-2t-3=4-4-3=-3,

：.P(2,-3),Q(-2,-3),

综上可知存在满足条件的点P、Q,其坐标为P(-2,5),Q(2,5)或P(2,-3),Q(-2,

3).

14.【答案】(1)解：•.•抛物线开口向上

.,.a>0

•.•对称轴在y轴的左侧

z.-A<0

2a

Ab>0

・・•抛物线交y轴的负半轴

/.c<0

(2)解：连接AB、AC,如图所示:

,/在