第五章+一元函数的导数及其应用导学案 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册期末复习

第五章一元函数的导数及其应用——高二数学人教A版(2019)期末复习敲重点学习目标整合导数的概念及运算（1）了解导数概念及几何意义，会求切线方程.

（2）掌握基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，会求简单函数的导数，以及简单的复合函数的导数.导数的应用（1）掌握导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.（2）能利用导数求函数的极大值、极小值以及最大值、最小值.（3）能利用导数求解不等式的证明问题、恒成立问题、有解问题和函数零点问题.思维导图回顾知识重难知识易混易错重难知识点1.基本初等函数的导数公式原函数导函数αxα－12.导数的四则运算法则（1）；（2）；（3）.3.复合函数的求导公式：设函数，均可导，则复合函数也可导，且.4.函数的单调性与导数的关系：一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系：在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增；在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递减.5.函数的单调性：判断函数的单调性的步骤：第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数的零点；第3步，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性.6.函数的极值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧.类似地，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧.把a叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；b叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.7.函数极值的求法：按如下方法求函数的极值：解方程，当时：（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值.8.函数最值与极值的关系：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.只要把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.9.函数最值的求法：一般地，求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数在区间上的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.易混易错例题1.若在R上恒成立，则实数k的取值范围为()A. B. C. D.答案：B解析：由题意可得：在R上恒成立，令，则，当时可得，当时，当时，因为是偶函数，关于原点对称的区间单调性相反，所以在和单调递减，在和单调递增所以，所以，可得，又因为，所以，所以实数k的取值范围为，故选：B.2.已知函数有两个不同的极值点，，若不等式有解，则t的取值范围是()A. B.C. D.答案：C解析：由题可得：，因为函数有两个不同的极值点，，所以方程有两个不相等的正实数根，于是有解得.若不等式有解，所以因为.设，，故在上单调递增，故，所以，所以t的取值范围是.故选：C.3.已知直线是曲线在点处的切线方程，则_________.答案：e解析：由题设，且，则，所以，切线方程为，即，所以，故.故答案为：e.4.已知函数在上是增函数，则a的最小值是______.答案：解析：因为函数在上是增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，所以当时，，函数递增；当时，，函数递减，则，故，所以a的最小值是.故答案为：.5.已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，且，证明：有且仅有两个零点.（e为自然对数的底数）解析：(1)由题意得函数的定义域为，，当时，令，得，所以在上单调递增；令，得，所以在上单调递减；当时，因为恒成立，所以在上单调递增；(2)，令，则在时恒成立，所以在时单调递增，且，所以有两个零点等价于有两个零点.因为，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，所以，因为，所以.下面证明当时，，设，则，令，又，当时，恒成立，所以单调递增，得，故在上单调递增，得，即，又因为，所以在，上各存在一个零点，所以时，函数有且仅有两个零点，即当时，函数有且仅有两个零点.核心素养对接高考考情分析1.在高考试题中，导数的几何意义最常见的是求切线方程和已知切线方程求参数值，导数的应用主要考查函数的单调性，极值与最值，利用导数研究函数零点，不等式的证明及不等式恒成立或有解时参数的取值范围.2.通过导数研究函数的单调性，极值、最值问题，考查分类讨论思想，等价转化思想等.情境真题应用1.【2023年新课标Ⅱ卷】已知函数在区间单调递增，则a的最小值为()A. B.e C. D.答案：C解析：因为函数，所以.因为函数在单调递增，所以在恒成立，即在恒成立，易知，则在恒成立.设，则.当时，，单调递增，所以在上，，所以，即，故选C.2.【2023年新课标Ⅱ卷】（多选）若函数既有极大值也有极小值，则()A. B. C. D.答案：BCD解析：因为函数，所以函数的定义域为，，因为函数既有极大值也有极小值，所以关于x的方程有两个不等的正实根，，则，即，所以.故选BCD.3.【2023年新课标Ⅰ卷】（多选）已知函数的定义域为R，，则()A. B.C.是偶函数 D.为的极小值点答案：ABC解析：取，则，故A正确；取，则，所以，故B正确；取，则，所以，取，则，所以，所以函数为偶函数，故C正确；由于，且函数为偶函数，所以函数的图象关于y轴对称，所以可能为函数的极小值点，也可能为函数的极大值点，也可能不是函数的极值点，故D不正确.综上，选ABC.4.【2023年新课标Ⅰ卷】已知函数.(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，.答案：(1)当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增(2)证明见解析解析：(1)，当时，，所以函数在上单调递减；当时，令，得，令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.综上可得：当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.(2)由(1)得当时，函数的最小值为，令，，所以，令，得；令，得.所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为，所以当时，成立.5.【2023年新课标Ⅱ卷】(1)证明：当时，；(2)已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围.答案：(1)证明见解析(2)a的取值范围是解析：(1)令，则，令，则，所以即单调递减，又，所以当时，，单调递减，所以当时，，即.令，则，所以单调递减，又，所以当时，，即.综上，当时，.(2)通解：因为，所以，所以为偶函数.，令，则.令，则.当时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以是的极小值点，不符合题意.当时，取与1中的较小者，为m，则当时，易知，所以即在上单调递增，所以.①当，即时，.所以在上单调递增，所以，即.那么在上单调递增，由偶函数性质知在上单调递减.故是的极小值点，不符合题意.②当，即时，当，即时，因为，，所以在上存在唯一零点，且当时，，单调递减，因为，所以当时，，即，所以在上单调递减，因为为偶函数，所以在上单调递增，故可得是的极大值点，符合题