第2课时等差数列的性质与应用+练习 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第2课时等差数列的性质与应用一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)1.已知数列{an}为等差数列,且a3=6,a9=18,则公差d= ()A.1 B.3 C.2 D.42.[2022·黑龙江双鸭山一中高二月考]在等差数列{an}中,若a4+a5+a6+a7+a8=90,则a3+a9= ()A.18 B.30 C.36 D.723.已知{an},{bn}是两个等差数列,其中a1=3,b1=-3,且a20-b20=6,那么a10-b10的值为 ()A.-6 B.6C.0 D.104.在数列{an}中,若a2=2,a6=0,且数列1an+1是等差数列,则a4= A.12 B.13 C.14 5.在等差数列{an}中,a1+a4+a7=58,a2+a5+a8=44,则a3+a6+a9的值为 ()A.30 B.27C.24 D.216.有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,自冬至日起,其日影长依次成等差数列,立春日的日影长为9.5尺,立夏日的日影长为2.5尺,则春分日的日影长为 ()A.4.5尺 B.5尺C.5.5尺 D.6尺7.[2023·龙岩一中高二期末]已知数列{an}的前n项和为Sn,满足a1=1,Sn+1-Sn=1,则an= A.2n-1 B.nC.2n-1 D.2n-18.(多选题)已知等差数列{an}满足a1>0,且a1+a2+a3+…+a101=0,则 ()A.a1+a101>0 B.a1+a101<0C.a3+a99=0 D.a51<a509.(多选题)[2023·哈尔滨一中高二月考]“中国剩余定理”又称“孙子定理”.此定理讲的是关于整除的问题,现将1到2023这2023个数中被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},其前n项和为Sn,则下列说法正确的是 ()A.a1=1B.S3=33C.a4-a3=7D.数列{an}共有202项二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)10.在等差数列{an}中,若a1+a5+a9=39,a3+a7+a11=27,则数列{an}的通项公式为.

11.若数列{an}中对任意m,n∈N*,恒有am+n=am+an,且a1=18,则a7=.12.将数列{2n+4}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的通项公式为an=.

三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)[2023·福建泉州高二期末]已知等差数列{an}中,a1=1,a2+2a3+a4=12.(1)求a5+a7的值;(2)若数列{bn}满足bn=a2n-1,证明:数列{bn}是等差数列.14.(10分)已知等差数列{an}的公差为正数,a2与a8的等差中项为8,且a3a7=28.(1)求{an}的通项公式.(2)从{an}中依次取出第3项,第6项,第9项,…,第3n项,按照原来的顺序组成一个新数列{bn},判断938是不是数列{bn}中的项?并说明理由.15.(5分)(多选题)[2023·福州高二期末]在数列{an}中,若an2-an-12=p(n≥2,n∈N*,p为常数),则称{an}为平方等差数列A.{(-2)n}是平方等差数列B.若{an}是平方等差数列,则{anC.若{an}是平方等差数列,则{kan+b}(k,b∈N*,k,b为常数)也是平方等差数列D.若{an}是平方等差数列,则{akn+b}(k,b∈N*,k,b为常数)也是平方等差数列16.(15分)[2023·湖北恩施高二期末]已知函数y=1-1x+2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到f(x)的图象,数列{an}满足an=f(an-1)(n∈N*且n(1)若a1=35,且bn=1an-1(2)若a1=35,试判断{an}中是否存在最大项与最小项?若存在,求出最大项与最小项;若不存在,请说明理由

第2课时等差数列的性质与应用1.C[解析]因为数列{an}为等差数列,所以a9=a3+6d,即18=6+6d,所以d=2.2.C[解析]由已知得,5a6=90,解得a6=18,所以a3+a9=2a6=36.故选C.3.B[解析]因为{an},{bn}都是等差数列,所以{an-bn}也是等差数列,而a1-b1=6,a20-b20=6,所以{an-bn}是常数列,故a10-b10=6.故选B.4.A[解析]由1an+1是等差数列,可得2a4+1=1a2+1+1a6+1=13+1=45.A[解析]设b1=a1+a4+a7=58,b2=a2+a5+a8=44,b3=a3+a6+a9.因为{an}是等差数列,所以b1,b2,b3也是等差数列,得b1+b3=2b2,所以b3=2b2-b1=2×44-58=30,即a3+a6+a9=30.故选A.6.D[解析]设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为{an},则立春日的日影长为a4=9.5,立夏日的日影长为a10=2.5,所以春分日的日影长为a7=12(a4+a10)=6.故选D7.A[解析]∵a1=1,Sn+1-Sn=1,∴{Sn}是以1为首项,以1为公差的等差数列,∴Sn=n,即Sn=n2,∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.当n=1时,a1=1也适合上式,∴an=28.CD[解析]设数列{an}的公差为d,根据等差数列的性质,得a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,因为a1+a2+a3+…+a101=0,所以101a51=0,所以a1+a101=a3+a99=2a51=0.又a1>0,所以d<0,所以a51=a50+d<a50.故选CD.9.AB[解析]将1到2023这2023个数中被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列为1,11,21,31,…,2021,该数列是以1为首项,10为公差的等差数列,∴an=10n-9,∴a1=1,∴选项A正确;又S3=a1+a2+a3=33,∴选项B正确;又a4-a3=10,∴选项C错误;令10n-9≤2021,得n≤203,n∈N*,∴数列{an}共有203项,∴选项D错误.故选AB.10.an=23-2n[解析]方法一:设等差数列{an}的公差为d.∵a1+a5+a9=3a5=39,∴a5=13.∵a3+a7+a11=3a7=27,∴a7=9,∴a7-a5=2d=9-13=-4,∴d=-2,∴an=a5+(n-5)×(-2)=13-2n+10=23-2n.方法二:设等差数列{an}的公差为d.∵a1+a5+a9=39,a3+a7+a11=27,∴(a3+a7+a11)-(a1+a5+a9)=6d=-12,∴d=-2,又a1+a5+a9=3a1+12d=39,∴a1=21,∴数列{an}的通项公式为an=21+(n-1)×(-2)=23-2n.11.78[解析]根据题意,数列{an}满足am+n=am+an,当m=1时,有an+1=an+a1=an+18,即an+1-an=18,则数列{an}为等差数列,其首项a1=18,公差为18,则an=18+18(n-1)=12.6n+4[解析]由题意知,数列{2n+4}为6,8,10,12,14,16,18,20,22,…,数列{3n-2}为1,4,7,10,13,16,19,22,…,则它们的公共项构成的数列{an}为10,16,22,28,…,该数列是首项a1=10,公差d=6的等差数列,∴an=10+6(n-1)=6n+4.13.解:(1)∵a2+a4=2a3,∴a2+2a3+a4=4a3=12,∴a3=3.设等差数列{an}的公差为d,∵a3=a1+2d,∴d=1,∴a5+a7=2a1+10d=12.(2)证明:由(1)可知an=n,∴bn=a2n-1=2n-1.∵bn-bn-1=(2n-1)-[2(n-1)-1]=2(n≥2),∴数列{bn}是等差数列,且首项是1,公差是2.14.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则d>0.根据等差中项的性质可得a2与a8的等差中项为a5,所以a5=8.因为a3a7=28,即(a5-2d)(a5+2d)=28,所以d2=9,又d>0,所以d=3.由a5=a1+4d=8,得a1=-4,所以{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=-4+3(n-1)=3n-7(n∈N*).(2)结合(1)可知bn=a3n=9n-7(n∈N*).令938=9n-7,解得n=105,即b105=938,所以938是数列{bn}中的项.15.BD[解析]对于选项A,因为(-2)2n+2-(-2)2n=3×22n,所以{(-2)n}不是平方等差数列,即选项A错误;对于选项B,若{an}是平方等差数列,则an2-an-12=p(n≥2,n∈N*,p为常数),则{an2}是等差数列,即选项B正确;对于选项C,因为{an}是平方等差数列,则an2-an-12=p(n≥2,n∈N*,p为常数),则(kan+b)2-(kan-1+b)2=k2(an2-an-12)+2kb(an-an-1)=pk2+2kb(an-an-1)(n≥2,n∈N*,p为常数),则{kan+b}(k,b∈N*,k,b为常数)不是平方等差数列,即选项C错误;对于选项D,若{an}是平方等差数列,则an2-an-12=p(n≥2,n∈N*,p为常数),则akn+b2-ak(n-1)+b2=(akn+b2-a16.解:(1)证明:函数y=1-1x+2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到的图象对应的函数为f(x)=1-1x-2+2+1则当n∈N*且n≥2时,an=f(an-1)=2-1an-1,则bn=1a由bn=1an-1,得当n∈N*且n≥2时,bn-1=1an-1-1,则b所以{bn}是以b1=1a