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Page326.2二次函数的图象与性质1.二次函数y=ax²的图象与性质1.会用描点法画出y=ax2的图象,理解抛物线的概念.(重点)2.掌握形如y=ax2的二次函数图象和性质,并会应用.(难点)一、情境导入自由落体公式h=eq\f(1,2)gt2(g为常量),h与t之间是什么关系呢?它是什么函数?它的图象是什么形状呢?二、合作探究探究点一:二次函数y=ax2的图象【类型一】画二次函数y=ax2的图象在同一平面直角坐标系中,画出下列函数的图象:①y=eq\f(1,2)x2;②y=-eq\f(1,2)x2.根据图象回答下列问题:(1)这些函数的图象都是轴对称图形吗?如果是,对称轴是什么?(2)图象有最高点或最低点吗?如果有,最高点或最低点的坐标是什么?解析:要画出已知2个函数的图象,需先列表,因为在这些函数中,自变量的取值范围是全体实数,故应以原点O为中心,对称地选取x的值,列出函数的对应值表.解:列表:描点、连线,函数图象如图所示.(1)这两个函数的图象都是轴对称图形,对称轴都是y轴;(2)函数y=eq\f(1,2)x2的图象有最低点,函数y=-eq\f(1,2)x2的图象有最高点,最低点和最高点的坐标都是(0,0).方法总结:(1)画形如y=ax2(a≠0)的图象时,x的值应从最低(或最高)点起左右两边对称地选取.(2)连线时,一般按从左到右的顺序将点连接起来,一定注意连线要平滑,不能画成折线.(3)抛物线的概念:二次函数y=ax2(a≠0)的图象是抛物线,简称为抛物线y=ax2.(4)抛物线的特点:①有开口方向;②有对称轴;③有顶点——对称轴与抛物线的交点.抛物线的顶点也是它的最低点或最高点.【类型二】同一坐标系中两种不同图象的判断已知a≠0,在同一直角坐标系中,函数y=ax与y=ax2的图象有可能是()解析:本题进行分类讨论:(1)当a>0时,函数y=ax2的图象开口向上,函数y=ax图象经过一、三象限,故排除选项B;(2)当a<0时,函数y=ax2的图象开口向下,函数y=ax图象经过二、四象限,故排除选项D;又因为在同一直角坐标系中,当x=0或1时,ax=ax2,即当x=0或1时,函数y=ax与y=ax2的纵坐标相同,故选C.方法总结:分a>0与a<0两种情况加以讨论,并且结合一些特殊点,采取“排除法”.探究点二:二次函数y=ax2的性质【类型一】利用图象判断二次函数的增减性作出函数y=-x2的图象,观察图象,并利用图象回答下列问题:(1)在y轴左侧图象上任取两点A(x1,y1),B(x2,y2),使x2<x1<0,试比较y1与y2的大小;(2)在y轴右侧图象上任取两点C(x3,y3),D(x4,y4),使x3>x4>0,试比较y3与y4的大小;(3)由(1)、(2)你能得出什么结论?解析:根据画出的函数图象来确定有关数值的大小,是一种比较常用的方法.解:(1)图象如图所示,由图象可知y1>y2;(2)由图象可知y3<y4;(3)在y轴左侧,y随x的增大而增大,在y轴右侧,y随x的增大而减小.方法总结:解有关二次函数的性质问题,最好利用数形结合思想,在草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误.【类型二】二次函数的图象与性质的综合题已知函数y=(m+3)是关于x的二次函数.(1)求m的值;(2)当m为何值时,该函数图象的开口向下?(3)当m为何值时,该函数有最小值?解析:(1)由二次函数的定义可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2+3m-2=2,,m+3≠0,))故可求m的值.(2)图象的开口向下,则m+3<0;(3)函数有最小值,则m+3>0;解:(1)根据题意,得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2+3m-2=2,,m+3≠0,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m1=-4,m2=1,,m≠-3.))∴当m=-4或m=1时,原函数为二次函数.(2)∵图象开口向下,∴m+3<0,∴m<-3,∴m=-4.∴当m=-4时,该函数图象的开口向下.(3)∵函数有最小值,∴m+3>0,m>-3,∴m=1,∴当m=1时,原函数有最小值.方法总结:二次函数的最值是顶点的纵坐标,当a>0时,开口向上,顶点最低,此时顶点的纵坐标为最小值;当a<0时,开口向下,顶点最高,此时顶点的纵坐标为最大值.探究点三:确定二次函数y=ax2的关系式【类型一】利用图象确定y=ax2的关系式一个二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点A(2,-2)关于坐标轴的对称点B,求其关系式.解析:坐标轴包含x轴和y轴,故点A(2,-2)关于坐标轴的对称点不是一个点,而是两个点.点A(2,-2)关于x轴的对称点B1(2,2),点A(2,-2)关于y轴的对称点B2(-2,-2).解:∵点B与点A(2,-2)关于坐标轴对称,∴B1(2,2),B2(-2,-2).当y=ax2的图象经过点B1(2,2)时,2=a×22,∴a=eq\f(1,2),∴y=eq\f(1,2)x2;当y=ax2的图象经过点B2(-2,-2)时,-2=a×(-2)2,∴a=-eq\f(1,2),∴y=-eq\f(1,2)x2.∴二次函数的关系式为y=eq\f(1,2)x2或y=-eq\f(1,2)x2.方法总结:当题目给出的条件不止一个答案时,应运用分类讨论的方法逐一进行讨论,从而求得多个答案.【类型二】二次函数y=ax2的实际应用如图,有一抛物线形状的桥洞.桥洞离水面最大距离OM为3m,跨度AB=6m.(1)请你建立适当的平面直角坐标系,并求出在此坐标系下的抛物线的关系式;(2)一艘小船上平放着一些长3m,宽2m且厚度均匀的矩形木板,要使小船能通过此桥洞,则这些木板最高可堆放多少米?解析:可令O为坐标原点,平行于AB的直线为x轴,建立平面直角坐标系,则可设此抛物线函数关系式为y=ax2.由题意可得B点的坐标为(3,-3),由此可求出抛物线的函数关系式,然后利用此抛物线的函数关系式去探究其他问题.解:(1)以O点为坐标原点,平行于线段AB的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的函数关系式为y=ax2.由题意可得B点的坐标为(3,-3),∴-3=a×32,解得a=-eq\f(1,3),∴抛物线的函数关系式为y=-eq\f(1,3)x2.(2)当x=1时,y=-eq\f(1,3)×12=-eq\f(1,3).∵OM=3,∴木板最高可堆
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