静电场的电场强度仅是空间的点函数

§1.1电荷和电场

库仑定律描述真空中两个静止点电荷之间的相互作用力QQ′一、

库仑定律

⑴库仑定律是静电学的基本实验定律；超距作用：一个电荷不需中间媒介直接施力于另一个电荷。场传递：相互作用通过场来传递。对静电情况两种观点等价⑶两种物理解释:⑵Q对Q′的作用力和Q′对Q的作用力满足牛顿第三定律电场强度的方向沿检验电荷（带正电的点电荷）受力的方向，大小与检验电荷无关。静电场的电场强度仅是空间的点函数，静电场是一个矢量场。电荷周围空间存在电场：即任何电荷都在自己周围空间激发电场。电荷电场电荷电场的基本性质：对电场中的电荷有力的作用1.点电荷电场强度二、电场强度引入物理量—电场强度—来描述电场中某一点的电场的强弱和方向。2．场的叠加原理

电荷系在空间某点产生的电场强度等于组成该电荷系的各点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和。平行四边形法则3．电荷密度分布

体电荷面电荷线电荷4．连续分布电荷激发的电场强度对场中一点电荷Q′，受力仍成立dQPrV点电荷的场强积分遍及电荷分布区域若已知，原则上可求出。若不能积分，可近似求解或数值积分。但是在许多实际情况，不总是已知的。例如，空间存在导体或介质时，导体上会出现感应电荷分布，介质中会出现束缚电荷分布，这些电荷分布一般是不知道或不可测的，它们产生一个附加场，总场为。因此要确定空间电场，在许多情况下不能用上式，而需用其他方法。三、高斯定理与静电场的散度1.电通量E通过曲面S的电场强度通量(电通量)定义为通过闭合曲面S的电通量定义为设闭合曲面S内有一点电荷Q，其电场强度通过面元的通量为三、高斯定理与静电场的散度1.高斯定理为面元投影到以r为半径的球面上的面积为面元对电荷Q所张开的立体角元dΩ，因此三、高斯定理与静电场的散度1.高斯定理如果闭合曲面S内有多个点电荷Qi，则如果闭合曲面S内有连续分布的电荷Q，则右边的积分与V外的电荷分布无关。三、高斯定理与静电场的散度静电场对任一闭合曲面的通量等于面内电荷与真空介电常数比值。它适用求解电荷分布具有对称性情况下的静电场。它反映了电荷分布与电场强度在给定区域内的关系，不反应电场的点与点间的关系。电场是有源场，源为电荷。1.高斯定理的积分形式2.静电场的散度说明空间某点的电场强度的散度只与该点电荷体密度有关，与其它点的无关。电荷只直接激发其邻近的场，远处的场是通过场本身的内部作用传递出去的。仅适用于连续介质的区域，在分界面上，电场强度一般不连续，因而不能使用。由于电场强度有三个分量，仅此方程不能确定场，还要知道静电场的旋度。静电场高斯定理的微分形式。根据矢量散度的定义三、静电场的环路定理与旋度1.环路定理

证明旋度反映场的环流性质1.环路定理

⑴静电场对任意闭合回路的环量为零。⑵说明在回路内无涡旋存在，电场线是不闭合。2、静电场的旋度根据矢量旋度的定义⑴又称为环路定理的微分形式，仅适用静电场。⑵说明静电场为无旋场，电力线永不闭合。⑶在介质分界面上电场强度一般不连续，旋度方程不适用，只能用环路定理。四、静电场的基本方程

微分形式积分形式物理意义：反映电荷激发电场及电场内部运动的规律性物理图像：静电场是有源无旋场，电荷是电场的源。[例]：电荷Q均匀分布于半径为a的球体内，求各点场强的散度和旋度。[解]：它的场强由高斯定理可求出，由此例子可看出，散度的概念具有局域性质，虽然对任一个包围着电荷的曲面都有电通量，但是，散度只存在于有电荷分布的区域内，在没有电荷分布的空间中电场的散度为零。§1.2电流和磁场一、电荷守恒定律

I

单位时间通过空间任意曲面的电量1.电流强度的定义

电流强度不能描述电流在导体内的分布，在高频交流电通过一根导线时，电流在截面上的分布是不均匀的，几乎集中到导线表面上。因此，必须引入一个物理量来描述电流的分布情况：电流密度矢量。方向：沿电流的方向大小：单位时间垂直通过单位面积的电量电流强度和电流密度之间的关系：2.电流密度（矢量）

如果电流由一种运动带电粒子构成，设带电粒子的电荷密度为ρ，平均速度为，则dt时间内通过dS的电量为电流强度和电流密度之间的关系：2.电流密度（矢量）

因此因此如果有几种带电粒子，其电荷密度分别为ρ，平均速度分别为3、电荷守恒定律不论发生任何变化过程，如化学反应、原子核反应甚至粒子的转化，封闭系统内的总电荷严格保持不变。流出为正、流入为负电荷守恒定律在数学上用连续性方程表示对于开放系统，单位时间流出（或流入）区域V的电荷总量等于V内电量的减少（或增加）率。流出为正流入为负3、电荷守恒定律电流连续性方程因为所以可得电荷守恒定律的微分形式，称为电流连续性方程对于全空间，S为无穷远界面，因此在S上没有电流流出（或流入），故表示全空间的电荷守恒3、电荷守恒定律⑴反映空间某点电流与电荷之间的关系，一般情况下电流线不闭合⑵稳恒电流分布是无源的，其流线必为闭合曲线，没有发源点和终止点。即恒定电流（直流电）只能够在闭合回路中通过。在恒定电流情况下，因此有恒定电流的连续性方程对电流连续性方程的讨论磁场：通电导线间有相互作用力。与静电场类比假定导线周围存在着场，该场与永久磁铁产生的磁场性质类似，因此称为磁场。磁场也是物质存在的形式，用磁感应强度来描述。二、毕奥—萨伐尔定律（实验定律）恒定电流激发的磁场有毕奥—萨伐尔定律给出。设为源点上的电流密度，为由点到场点的矢径，则场点上的磁感应强度为μ0为真空中的磁导率对闭合细导线情况如果电流集中于导线中，为线元，dSn为导线横截面，则电流元对导线截面积分后的电流元因而，对闭合细导线情况，毕奥—萨伐尔定律电流分布在空间体积内结论：两电流元之间的相互作用力不满足牛顿第三定律。但两通电闭合导体之间满足第三定律电流分布于细导线2.安培作用力定律三、安培环路定理和磁场的旋度方程式中为L所环连的电流强度1、安培环路定理

载流导线周围磁场的磁感线总是围绕着导线的闭合曲线，磁场沿闭合曲线的环路积分与闭合曲线所围的电流成正比，此即安培环路定理安培环路定理的验证载流I的无限长直导线激发的磁感应强度为选半径为r的圆周作为闭合回路，它反应了电流与磁感应强度在某区域内的关系，对于某些具有较高对称性的问题可利用该定理求解磁感应强度。

稳恒磁场为有旋场。式中为L所环连的电流强度1、安培环路定理

如果所选闭合曲线内没有电流通过2、旋度方程对连续分布的电流，环路定律为1、磁场的通量四、磁场的通量和散度方程电磁学的知识告诉我们，磁场对任何闭合曲面的总通量为零所以可得磁场的旋度因为S磁场的高斯定理2、磁场的散度方程

静磁场为无源场（相对通量而言）不仅适用于静磁场，也适用变化磁场。因此可得磁场的散度方程积分形式：微分形式：五．静磁场的基本方程是否有和电荷一样的磁荷（磁单极子）呢？磁单极子是理论物理学弦理论中指一些仅带有N极或S极单一磁极的磁性物质，它们的磁感线分布类似于点电荷的电场线分布。这种物质的存在性在科学界时有纷争，截至2012年尚未发现这种物体。可以说是21世纪物理学界重要的研究主题之一英国物理学家保罗·狄拉克（PaulDirac）早在1931年利用数学公式预言了磁单极粒子的存在。当时他认为既然带有基本电荷的电子在宇宙中存在，那么理应带有基本“磁荷”的粒子存在。从而启发了许多物理学家开始了他们寻找磁单极粒子的工作。通过种种方式寻找磁单极粒子包括使用粒子加速器人工制造磁单极子均无收获。

1975年，美国的科学家利用高空气球来探测地球大气层外的宇宙辐射时偶尔发现了一条轨迹，当时科学家们分析认为这条轨迹便是磁单极粒子所留下的轨迹。1982年2月14日，在美国斯坦福大学物理系做研究的布拉斯·卡布雷拉宣称他利用超导线圈发现了磁单极粒子，然而事后他在重复他先前的实验时却未得到先前探测到的磁单极粒子，最终未能证实磁单极粒子的存在。内森·塞伯格（NathanSeiberg）和爱德华·威滕（EdwardWitten）两位美国物理学家于1994年首次证明出磁单极粒子存在的理论上的可能性。例题：电流

I

均匀分布于半径为a的无限长直导线内，求空间各点磁感应强度，及其散度和旋度。解：作半径为r

的圆环为积分回路L,依安培环路定理横截面图.IrL柱坐标下写成矢量形式为柱坐标下写成矢量形式为1831年法拉第发现：当磁场变化时，附近的闭合回路中将出现感应电流。由此他总结了这一现象服从的规律。§1.3麦克斯韦方程组一、电磁感应定律

电磁感应现象电磁感应现象的实质：变化磁场激发电场

物理机制:动生可以认为电荷受到磁场的洛伦兹力，因此产生电动势；感生情况回路不动，应该是受到电场力的作用。因为无外电动势，该电场不是由静止电荷产生，因此称为感生电场（对电荷有作用力是电场的本质，因此它与静电场在这一点上无本质差别）磁通变化的三种方式：a)回路相对磁场做机械运动，即磁场与时间无关，磁通量随时间变化，一般称为动生电动势；b)回路静止不动，但磁场变化，称为感生电动势；c)上面两种情况同时存在。二、总电场的旋度和散度方程感生电场与感生电动势的关系感生电场的旋度方程1）反映感生电场为有旋场（又称漩涡场），与静电场本质不同。2）反映变化磁场与它激发的变化电场间的关系，是电磁感应定律的微分形式。电磁感应定律因此又因闭合回路感生电场的散度方程总电场的旋度与散度方程假定电荷分布激发的场为满足：总电场为：得到总电场满足的方程：变化电场是有旋有源场，它不仅可以由电荷直接激发，也可以由变化磁场激发。感生电场是有旋无源场由于感生电场不是由电荷直接激发，可以认为三、位移电流假设

变化磁场产生感生电场那么变化电场能否产生磁场？磁感强度的旋度为对恒定电流在交变电流情况下，例如电容的充、放电过程，电流在电容器中是断开的，由电荷守恒定律可得两边取散度三、位移电流假设

麦克斯韦假设它仅在产生磁场上与传导电流相同麦克斯韦假设存在位移电流总电流：出现矛盾，该如何解决呢？四、总磁场的旋度和散度方程（1）为总磁感应强度（2）若，仍为有旋场（3）可认为磁场的一部分直接由变化电场激发旋度方程散度方程五、真空中的电磁场基本方程——麦克斯韦方程组

微分形式积分形式如果存在磁荷,麦克斯韦方组的积分形式应该表述为:（ρm为磁荷密度）（jm为磁荷流密度）对麦克斯韦方程组的分析与讨论（1）真空中电磁场的基本方程揭示了电磁场内部的运动规律，即电荷电流激发电磁场，时变电磁场相互激发。微分形式反映点与点之间场的联系，积分方程反映场的局域特性。（2）预测空间电磁场以电磁波的形式传播在电荷、电流为零的空间（称为自由空间）电磁波（3）方程的正确性已由实验验证。电场与磁场之间的相互激发可以脱离电荷和电流而存在。电场与磁场相互联系，相互激发，时间上周而复始，空间上交链重复，这一过程预示着波动是电磁场的基本运动形式。Maxwell的这一预言在他去世（1879年）后不到10年的时间内，由德国科学家Hertz通过实验证实。从而证明了Maxwell的假设和推广的正确性。六、洛伦兹力公式

洛伦兹假设左述公式对变化电磁场仍然成立，近代物理实验证实了该式的正确。现代带电粒子加速器、电子光学设备等都是以麦克斯韦方程组和洛仑兹力公式作为设计的理论基础。对于运动电荷，洛伦兹力公式

力密度麦氏方程组反映了电荷（电流）激发场以及场内部的运动，反过来，场对电荷（电流）也会产生作用。库仑定律安培定律§1.4介质的电磁性质一、介质的极化和磁化介质：介质由分子组成，分子内部有带正电的原子核及核外电子，内部存在不规则而迅变的微观电磁场。宏观物理量：我们仅讨论宏观电磁场，用介质中小体元内大量分子的平均值表示的物理量称为宏观物理量（小体元在宏观上无限小，在微观上无限大）。在没有外力场时，介质内宏观电荷、电流分布不出现，宏观场为零。

分子分类(1)有极分子：无外场时，正负电荷中心不重合，有分子电偶极矩。但固有取向无规，不表现宏观电矩。§1.4介质的电磁性质

分子分类(2)无极分子：无外场时，正负电荷中心重合，无分子电偶极矩，也无宏观电矩。(3)分子电流：介质分子内部电子运动可以认为构成微观电流。无外场时，分子电流取向无规，不出现宏观电流分布。(1)有极分子：无外场时，正负电荷中心不重合，有分子电偶极矩。但固有取向无规，不表现宏观电矩。

介质的极化和磁化极化使介质内部或表面上出现的电荷称为束缚电荷。介质的极化：介质中分子和原子的正负电荷在外加电场力的作用下发生小的位移，形成定向排列的电偶极矩；或原子、分子固有电偶极矩不规则的分布，在外场作用下形成规则排列。介质的磁化：介质中分子或原子内的电子运动形成分子电流，微观上形成不规则分布的磁偶极矩。在外磁场力作用下，磁偶极矩定向排列，形成宏观上的磁偶极矩。传导电流：介质中可自由移动的带电粒子，在外场力作用下，导致带电粒子的定向运动，形成电流。二、介质存在时电场的散度和旋度方程2、电极化强度矢量介质11、电偶极矩一对相距的正负电荷±q的电偶极矩（方向由负指向正）在介质内取物理小体积元ΔV，其内的总电偶极距与ΔV之比定义为电极化强度矢量2、极化电荷密度当偶极子的负电荷处于体积dV=

内时，同一偶极子的正电荷就穿出界面外边。设单位体积分子数为n，则穿出外面的正电荷为对包围区域V的闭合界面S积分，则由V内通过界面S穿出去的正电荷为由于介质是电中性的，上面的量也等于V内净余的负的束缚电荷，设表示束缚电荷密度2、极化电荷密度由于介质是电中性的，上面的量也等于V内净余的负的束缚电荷，设表示束缚电荷密度由于所以非均匀介质极化后，一般在整个介质内部都出现束缚电荷，在均匀介质内，束缚电荷只出现在自由电荷附近及介质界面处。2、极化电荷密度介质1介质2如图为介质1和介质2分界面上的一个面元，在分界面两侧取一薄层，在薄层内出现的束缚电荷与dS之比称为分界面上的束缚（极化）电荷密度σP。通过薄层右侧进入介质2的正电荷为，由介质1通过薄层左侧进入薄层的正电荷为，因此薄层内出现的净余电荷为2、极化电荷密度因此有关系故为分界面上有介质1指向介质2的法向单位矢量面电荷密度不是真正分布在一个几何面上的电荷，而是在一个含有相当多分子层的薄层内的效应。介质1介质2（1）线性均匀介质中，极化迁出的电荷与迁入的电荷相等，不出现极化电荷分布。（2）不均匀介质内或由多种不同结构物质混合而成的介质内，可出现极化电荷。（3）在两种不同均匀介质交界面上的一个很薄的层内，由于两种介质的极化强度不同，存在极化面电荷分布。总结：3、电位移矢量存在束缚电荷的情况下，总电场包含了束缚电荷产生的场，一般情况自由电荷密度可知，但束缚电荷难以得到(即使实验得到极化强度,其散度也不易求得)为计算方便，要想办法在场方程中消掉束缚电荷密度分布。在自由电荷和束缚电荷共同激发的电场中，麦克斯韦方程得第一式写作因此有电位移矢量仅起辅助作用，并不代表场量。通过引入该矢量消去了束缚电荷。上式中场强的源是总电荷分布，是电场的基本物理量。具体应用中电位移矢量与电场强度的关系由实验或计算来确定。4、电场的散度方程电位移矢量引入一辅助矢量—电位移矢量实验表明，对各向同性线形介质χe称为介质的极化率ε：介质的电容率，εr：相对电容率三、介质存在时磁场的散度和旋度方程

1、磁偶极距M=nm介质分子内的电子运动构成微观分子电流，在外磁场作用下，分子电流出现有规则取向，形成宏观磁化电流密度分子电流可以用磁偶极距描述，其关系为i为分子电流强度，为载流i的小线圈的面积矢量，为磁偶极距。2、磁化强度介质磁化后，出现宏观磁偶极距分布，用磁化强度矢量表示3、磁化电流密度设S为介质内部的一个曲面，其边界线为L，只有被L链环着的分子电流才对总磁化电流IM有贡献，因此，通过S的总磁化电流等于L链环着的分子数目乘上每个分子的电流i。在L上取线元dl，a为分子电流圈面积，若分子中心位于体积的柱体内，该分子电流就被穿过，若单位体积分子数为n，L链环着的分子电流数目为总磁化电流为4、极化电流密度

5、诱导电流密度

即3、磁化电流密度此外，当电场变化时，介质的极化强度发生变化，产生极化电流，设V内每个带电粒子的位矢为，电荷为ei称为极化电流密度

介质中的磁场由自由电流、诱导电流密度和位移电流共同决定一般的，诱导电流无法直接测定，需要消去引入辅助矢量—磁场强度7、磁场的旋度方程6、磁场强度

实验表明，对于各向同性非铁磁物质χM称为磁化率μ称为磁化率，μr为相对磁化率四、介质中的麦克斯韦方程

1、介质中普适的电磁场基本方程，可用于任意介质，当，回到真空情况。2、12个未知量，6个独立方程，求解必须给出与，与的关系。五、介质中的电磁性质方程

首先讨论非铁磁介质均呈线性关系各向同性均匀介质极化率电容率相对电容率磁化率磁导率相对磁导率导体中的欧姆定律电导率1、实际电磁场问题都是在一定的空间和时间范围内发生的，它有起始状态（静态电磁场例外）和边界状态。即使是无界空间中的电磁场问题，该无界空间也可能是由多种不同介质组成的，不同介质的交界面和无穷远界面上电磁场构成了边界条件。2、在不同介质分界面处，由于可能存在电荷电流分布等情况，使电磁场量产生突变。微分方程不再适用，但积分方程仍可用。从积分方程出发，可以得到在分界面上场量间关系，这称为边值关系。它是方程积分形式在界面上的具体化。只有知道了边值关系，才能求解多介质情况下场方程的解。§1.5电磁场的边值关系一、电磁场量的法线方向分量的边值关系1.和的法向分量边值关系：在两介质边界上取一扁平状柱体，则柱体厚度趋于零时，侧面积分趋于零都不连续的法向边值关系综上，极化矢量法向分量Pn的跃变与束缚电荷面密度有关，Dn的跃变与自由电荷面密度有关，总电荷法向分量En的跃变与总电荷面密度有关，2、、的法向分量边值关系在两介质边界上取一扁平状柱体，则柱体厚度趋于零时，侧面积分趋于零由于故二、切向分量边值关系1、的边值关系分界面上存在传导电流时的切向分量不连续。2、的切向边值关系但

的切向分量一般不连续。的边值关系的边值关系边值关系一般表达式绝缘介质边值关系表达式一侧为导体的边值关系表达式理想导体内导体介质例题：1、已知均匀各向同性线性介质ε中放一导体，导体表面静电场强度为,证明与表面垂直，并求分界面上自由电荷、束