一元二次方程的根的判别式八年级数学上册尖子生培优题典2

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】专题姓名：__________________班级：______________得分：_________________考前须知：本试卷总分值100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕在每题所给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔2021秋•浦东新区期末〕在以下方程中，有两个不相等实数根的是〔〕A．x2＝2x﹣4B．x2﹣4x+4＝0C．x2﹣2x﹣1＝0D．x2+4＝0【分析】先计算各方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断方程根的情况，从而得到正确答案．【解析】A、方程化为x2﹣2x+4＝0，那么△＝〔﹣2〕2﹣4×4＝﹣12＜0，方程无实数根，所以A选项不符合题意；B、△＝〔﹣4〕2﹣4×4＝0，方程有两个相等的实数根，所以B选项不符合题意；C、△＝〔﹣2〕2﹣4×〔﹣1〕＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C选项符合题意；D、△＝02﹣4×4＝﹣16＜0，方程无实数根，所以D选项不符合题意．应选：C．2．〔2021秋•上海期末〕以下方程中，没有实数根的是〔〕A．x2﹣3x＝0B．x2﹣6x+10＝0C．x2﹣6x+9＝0D．x2＝1【分析】分别计算每个方程根的判别式的值，从而得出答案．【解析】A．此方程根的判别式△＝〔﹣3〕2﹣4×1×0＝9＞0，有两个不相等的实数根，不符合题意；B．此方程根的判别式△＝〔﹣6〕2﹣4×1×10＝﹣4＜0，没有实数根，符合题意；C．此方程根的判别式△＝〔﹣6〕2﹣4×1×9＝0，有两个相等的实数根，不符合题意；D．此方程根的判别式△＝02﹣4×1×〔﹣1〕＝4＞0，有两个不相等的实数根，不符合题意；应选：B．3．〔2021秋•普陀区期中〕以下一元二次方程中，有实数根的是〔〕A．x2﹣mx﹣m2＝0〔m是实数〕B．x2﹣x+2021＝0C．x2﹣2x+3＝0D．2x2+x+1＝0【分析】只要判断每个方程的根的判别式的值与零的关系就可以了．【解析】A、△＝〔﹣m〕2﹣4×1×〔﹣m2〕＝5m2≥0，有实数根；B、△＝12﹣4×1×2021＝﹣8079＜0，没有实数根；C、△＝〔﹣2〕2﹣4×1×3＝﹣8＜0，没有实数根；D、△＝12﹣4×2×1＝1﹣42应选：A．4．〔2021秋•闵行区期中〕以下关于x的一元二次方程中，没有实数根的是〔〕A．x2﹣6x+1＝0B．2x2+2＝xC．4x2+4x+1＝0D．x2﹣〔m﹣1〕x＝3【分析】根据根的判别式的值的大小与零的关系来判断根的情况．没有实数根的一元二次方程，即判别式的值是负数的方程．【解析】A、△＝36﹣4＝32＞0，方程有两个不相等的实数根；B、△＝﹣15＜0，方程没有实数根；C、△＝0，方程有两个相等的实数根；D、△＝〔m﹣1〕2+12＞0，方程有两个不相等的实数根．应选：B．5．〔2021秋•长宁区期末〕m为实数，那么关于x的方程x2﹣〔m﹣2〕x﹣2m＝0的实数根情况一定是〔〕A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有两个实数根D．没有实数根【分析】计算△＝b2﹣4ac，然后根据结果判断与0的大小关系，从而得出结论．【解析】△＝〔m﹣2〕2﹣4×〔﹣2m〕＝〔m+2〕2．对于任意实数m，都有〔m+2〕2≥0，即△≥0，所以原方程一定有两个实数根，应选：C．6．〔2021•松江区二模〕关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是〔〕A．k＞4B．k≤4C．k＜4且k≠0D．k≤4且k≠0【分析】假设一元二次方程有两个实数根，那么根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【解析】∵方程有两个实数根，∴根的判别式△＝b2﹣4ac＝16﹣4k≥0，即k≤4，且k≠0．应选：D．7．〔2021•静安区二模〕如果关于x的方程x2﹣6x+m＝0有实数根，那么m的取值范围是〔〕A．m＞9B．m≥9C．m＜9D．m≤9【分析】由关于x的方程x2﹣6x+m＝0有实数根知△＝b2﹣4ac≥0，求出m的取值范围即可．【解析】∵关于x的方程x2﹣6x+m＝0有实数根，∴△≥0，∴△＝〔﹣6〕2﹣4m≥0，∴m≤9，应选：D．8．〔2021秋•杨浦区校级期中〕以下说法中，正确的选项是〔〕A．x+y与B．方程x2＝3x的解是x＝±3C．方程〔x﹣3〕2＝16的解为x＝±7D．假设方程ax2﹣bx+a＝0有两个实数根，那么这两实数根互为倒数【分析】根据有理化因式的定义对A进行判断；利用因式分解法解方程可对B、C进行判断；根据根与系数的关系和倒数的定义可对D进行判断．【解析】A、x+y与x+B、方程x2＝3x的解为x1＝0，x2＝3，所以B选项错误；C、方程〔x﹣3〕2＝16的解为x1＝﹣1，x2＝7，所以C选项错误；D、方程ax2﹣bx+a＝0有两个实数根，那么两两根之积为aa=1，即这两实数根互为倒数，所以应选：D．9．〔2021•虹口区二模〕如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围为〔〕A．m≤4B．m＜4C．m≥4D．m＞4【分析】由方程有两个不相等的实数根得出△＝〔﹣4〕2﹣4m＞0，解之可得．【解析】根据题意知△＝〔﹣4〕2﹣4m＞0，解得m＜4，应选：B．10．〔2021•闵行区二模〕方程x2﹣23x+3＝0根的情况〔〕A．有两个不相等的实数根B．有一个实数根C．无实数根D．有两个相等的实数根【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解析】由题意可知：△＝〔﹣23〕2﹣4×1×3＝12﹣12＝0，应选：D．二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕请把答案直接填写在横线上11．〔2021•浦东新区二模〕关于x的一元二次方程x2﹣23x+k＝0有两个相等的实数根，那么k值为3．【分析】根据判别式的意义得到△＝〔﹣23〕2﹣4k＝0，然后解关于k的一元一次方程即可．【解析】根据题意得△＝〔﹣23〕2﹣4k＝0，解得k＝3．故答案为：3．12．〔2021•黄浦区二模〕关于x的方程x2﹣6x+k＝0有两个相等的实数根，那么k的值是9．【分析】关于x的方程x2﹣6x+k＝0有两个相等的实数根，即△＝b2﹣4ac＝0，代入即可求k值．【解析】∵关于x的方程x2﹣6x+k＝0有两个相等的实数根，∴△＝〔﹣6〕2﹣4×1×k＝0，解得k＝9，故答案为：9．13．〔2021•普陀区二模〕如果关于x的方程x2﹣x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，那么m的值等于54【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，即可求m值．【解析】∵方程x2﹣x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝〔﹣1〕2﹣4〔m﹣1〕＝0，解得m=5故答案为：5414．〔2021•闵行区二模〕如果关于x的一元二次方程x2+2x﹣c＝0有两个相等的实数根，那么c＝﹣1．【分析】利用判别式的意义得到△＝〔﹣3〕2﹣4k＝0，然后解关于k的方程即可．【解析】根据题意得△＝22+4c＝0，解得c＝﹣1．故答案为﹣1．15．〔2021•奉贤区二模〕如果一元二次方程x2﹣px+3＝0有两个相等的实数根，那么p的值是±23．【分析】关于x的方程x2﹣px+3＝0有两个相等的实数根，即△＝b2﹣4ac＝0，代入即可求p的值．【解析】∵一元二次方程x2﹣px+3＝0有两个相等的实数根，∴△＝〔﹣p〕2﹣4×1×3＝0，解得p=±23故答案为：±23．16．〔2021春•上海期中〕方程组a+b=10【分析】根据方程组，可以将a、b看成方程x2﹣10x﹣24＝0的两根．解此方程即可．【解析】∵a+∴可以将a、b看成方程x2﹣10x﹣24＝0的两根．∴a＝﹣2，b＝12，或者a＝12，b＝﹣2．∴方程组a+b=10故答案为：a=-217．〔2021•嘉定区二模〕如果关于x的方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值为9．【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，即可求m值．【解析】∵方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝〔﹣6〕2﹣4m＝0，解得m＝9，故答案为：9．18．〔2021•浦东新区二模〕如果关于x的方程x2+3x﹣k＝0没有实数根，那么k的取值范围是k＜【分析】根据判别式的意义得到△＝32﹣4×〔﹣k〕＜0，然后解不等式即可．【解析】根据题意得△＝32﹣4×〔﹣k〕＜0，解得k＜故答案为：k＜三、解答题〔本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕19．〔2021秋•舞钢市期末〕关于x的一元二次方程〔m﹣1〕x2+2mx+m﹣3＝0，求：当方程有两个不相等的实数根时m的取值范围．【分析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围．【解析】∵关于x的一元二次方程〔m﹣1〕x2+2mx+m﹣3＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0且m﹣1≠0，即〔2m〕2﹣4〔m﹣1〕〔m﹣3〕＞0且m≠1，解得m＞34且m≠∴当方程有两个不相等的实数根时m的取值范围为m＞34且m≠20．〔2021秋•静安区校级期中〕关于x的方程x2+2kx＝x﹣〔k﹣2〕2，当k取何值时，此方程：〔1〕有两个不相等的实数根；〔2〕没有实数根．【分析】首先利用根的判别式得出关于x的方程x2+〔2k﹣1〕x+〔k﹣2〕2＝0的判别式，再根据〔1〕当△＞0，方程有两个不相等的实数根；〔2〕当△＜0，方程没有实数根．建立k的不等式求得k的取值范围即可．【解析】方程化为：x2+〔2k﹣1〕x+〔k﹣2〕2＝0，∴△＝〔2k﹣1〕2﹣4×〔k﹣2〕2＝12k﹣15．〔1〕当12k﹣15＞0，k＞5〔2〕当12k﹣15＜0，k＜521．〔2021秋•杨浦区期中〕关于x的一元二次方程mx2﹣〔m﹣1〕x+m＝﹣1，其根的判别式的值为1，求m的值及方程的根．【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解析】原方程化为：mx2﹣〔m﹣1〕x+m+1＝0，由题意可知：△＝〔m﹣1〕2﹣4m×〔m+1〕＝1，∴m＝0〔舍去〕或m＝﹣2，∴原方程为：﹣2x2+3x﹣1＝0，∴x=12或x＝22．〔2021秋•杨浦区校级期中〕关于x的一元二次方程mx2﹣〔3m﹣1〕x+2m﹣1＝0．〔1〕求证：无论m为任意实数，方程总有实数根．〔2〕如果这个方程的根的判别式的值等于1，求方程的解．【分析】〔1〕先计算判别式的值得到△＝m2﹣2m+1，配方得△＝〔m﹣1〕2，再根据非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论．〔2〕利用判别式的定义得到△＝〔3m﹣1〕2﹣4m〔2m﹣1〕＝1，解m的方程，再利用一元二次方程的定义确定m＝2，即可求得一元二次方程为2x2﹣5x+3＝0，因式分解法解方程即可求得方程的解．【解析】〔1〕关于x的一元二次方程mx2﹣〔3m﹣1〕x+2m﹣1＝0．∵△＝〔3m﹣1〕2﹣4m〔2m﹣1〕＝〔m﹣1〕2≥0，∴无论m为任何实数，方程总有实根．〔2〕由题意得，△＝〔3m﹣1〕2﹣4m〔2m﹣1〕＝1，解得m1＝0，m2＝2，而m≠0，∴m＝2，∴关于x的一元二次方程为2x2﹣5x+3＝0．∴〔2x﹣3〕〔x﹣1〕＝0，解得x1=32，x2＝23．〔2021秋•闵行区期中〕关于x的一元二次方程〔m+1〕x2﹣3x+2＝0〔m为常数〕．〔1〕如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；〔2〕如果方程有两个相等的实数根，求m的值；〔3〕如果方程没有实数根，求m的取值范围．【分析】〔1〕根据根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，m+1≠0来求m的取值范围；〔2〕方程有两个相等的实数根，那么△＝b2﹣4ac＝0，那么可求出答案；〔3〕方程没有实数根，那么△＝b2﹣4ac＜0，可求出答案．【解析】〔1〕∵方程有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝〔﹣3〕2﹣4×2×〔m+1〕＝﹣8m+1＞0，且m+1≠0，∴m＜18且m≠﹣∴m的取值范围是m＜18且m≠﹣〔2〕∵方程有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝﹣8m+1＝0，∴m=1〔3〕∵方程没有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝﹣8m+1＜0，∴m＞1∴