直角三角形全等的判定八年级数学上册尖子生培优题典23

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】专题直角三角形全等的判定姓名：__________________班级：______________得分：_________________考前须知：本试卷总分值100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕在每题所给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔2021秋•永年区期末〕如下图，∠C＝∠D＝90°添加一个条件，可使用“HL〞判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是〔〕A．AC＝ADB．AB＝ABC．∠ABC＝∠ABDD．∠BAC＝∠BAD【分析】由两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，假设利用HL证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即BC＝BD或AC＝AD．【解析】需要添加的条件为BC＝BD或AC＝AD，理由为：假设添加的条件为BC＝BD，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∵，∴Rt△ABC≌Rt△ABD〔HL〕；假设添加的条件为AC＝AD，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∵，∴Rt△ABC≌Rt△ABD〔HL〕．应选：A．2．〔2021秋•无锡期末〕以下条件中，能判断两个直角三角形全等的是〔〕A．有两条边分别相等B．有一个锐角和一条边相等C．有一条斜边相等D．有一直角边和斜边上的高分别相等【分析】根据全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL对4个选项逐个分析，然后即可得出答案．【解析】A、两边分别相等，但是不一定是对应边，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；B、一条边和一锐角对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；C、有一条斜边相等，两直角边不一定对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；D、有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等，故此选项符合题意；应选：D．3．〔2021秋•中山区期末〕以下关于全等三角形的说法中，正确的选项是〔〕A．周长相等的两个等边三角形全等B．周长相等的两个等腰三角形全等C．周长相等的两个直角三角形全等D．周长相等的两个钝角三角形全等【分析】根据全等三角形的概念、性质定理和判定定理判断即可．【解析】A、周长相等的两个等边三角形的三边对应相等，那么这两个等边三角形全等，故本选项说法正确；B、周长相等的两个等腰三角形的对应边〔对应角〕不一定相等，那么这两个等腰三角形不一定全等，故本选项说法错误；C、周长相等的两个直角三角形的对应边〔对应角〕不一定相等，那么这两个等腰三角形不一定全等，故本选项说法错误；D、周长相等的两个钝角三角形全等的对应边〔对应角〕不一定相等，那么这两个等腰三角形不一定全等，故本选项说法错误；应选：A．4．〔2021秋•沭阳县期中〕如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O．如果AB＝AC，那么图中全等的直角三角形的对数是〔〕A．1B．2C．3D．4【分析】共有3对，分别为△ADC≌△AEB、△BOD≌△COE、Rt△ADO≌Rt△AEO；做题时要从条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找即可．【解析】∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，∵在△ADC和△AEB中，，∴△ADC≌△AEB〔AAS〕；∴AD＝AE，∠C＝∠B，∵AB＝AC，∴BD＝CE，在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE〔AAS〕；∴OB＝OC，OD＝OE，在Rt△ADO和Rt△AEO中，，∴Rt△ADO≌Rt△AEO〔HL〕；∴共有3对全等直角三角形，应选：C．5．〔2021春•株洲期末〕以下语句中不正确的选项是〔〕A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等B．有两边对应相等的两个直角三角形全等C．有两个锐角相等的两个直角三角形全等D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等【分析】根据直角三角形全等的判定定理进行解答即可．【解析】A、∵直角三角形的斜边和一锐角对应相等，所以另一锐角必然相等，∴符合ASA定理，故本选项正确；B、两边对应相等的两个直角三角形全等，假设是两条直角边，可以根据SAS判定全等，假设是直角边与斜边，可根据HL判定全等．故本选项正确；C、有两个锐角相等的两个直角三角形相似，故本选项错误；D、有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形符合ASA定理，可判定相等，故本选项正确．应选：C．6．〔2021秋•乐亭县期末〕如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，那么∠2＝〔〕A．40°B．50°C．60°D．75°【分析】此题要求∠2，先要证明Rt△ABC≌Rt△ADC〔HL〕，那么可求得∠2＝∠ACB＝90°﹣∠1的值．【解析】∵∠B＝∠D＝90°在Rt△ABC和Rt△ADC中∴Rt△ABC≌Rt△ADC〔HL〕∴∠2＝∠ACB＝90°﹣∠1＝50°．应选：B．7．〔2021春•姑苏区期末〕如图，点C在∠DAB的内部，CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B，CD＝CB，那么Rt△ADC≌Rt△ABC的理由是〔〕A．SASB．ASAC．HLD．SSS【分析】求出∠B＝∠D＝90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．【解析】∵CD⊥AD，CB⊥AB，∴∠B＝∠D＝90°，∴在Rt△ADC和Rt△ABC中，∴Rt△ADC≌Rt△ABC〔HL〕，应选：C．8．〔2021秋•松江区期末〕以下条件中不能判定两个直角三角形全等的是〔〕A．两个锐角分别对应相等B．两条直角边分别对应相等C．一条直角边和斜边分别对应相等D．一个锐角和一条斜边分别对应相等【分析】根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．【解析】A、两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意；B、可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意；C、可以利用边角边或HL判定两三角形全等，不符合题意；D、可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意．应选：A．9．〔2021秋•平阴县期末〕如下图，∠C＝∠D＝90°，添加以下条件①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③∠BAC＝∠BAD；④BC＝BD，能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是〔〕A．1B．2C．3D．4【分析】根据直角三角形的全等的条件进行判断，即可得出结论．【解析】①当AC＝AD时，由∠C＝∠D＝90°，AC＝AD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD〔HL〕；②当∠ABC＝∠ABD时，由∠C＝∠D＝90°，∠ABC＝∠ABD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD〔AAS〕；③当∠BAC＝∠BAD时，由∠C＝∠D＝90°，∠BAC＝∠BAD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD〔AAS〕；④当BC＝BD时，由∠C＝∠D＝90°，BC＝BD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD〔HL〕；应选：D．10．〔2021秋•汝南县期中〕如图，点C在∠DAB的内部，CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B，CD＝CB，那么能判定Rt△ADC≌Rt△ABC的理由是〔〕①AAS；②SAS；③SSS；④HLA．①②③B．①②④C．①②③④D．②③④【分析】利用直角三角形的性质和角平分线的性质可得∠DAC＝∠BAC，∠ACB＝∠ACD，再利用全等三角形的判定方法进行推理即可．【解析】∵CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B，∴∠B＝∠D＝90°，在Rt△ADC和Rt△ABC中，，∴Rt△ADC≌Rt△ABC〔HL〕，∵CD＝CB，∴AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC〔AAS〕，∵∠DAC＝∠BAC，∠B＝∠D＝90°，∴∠ACB＝∠ACD，在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC〔ASA〕，∵AC＝AC，DC＝BC，∴ADAB，∴在△ADC和△ABC中，，∴△ADCt△ABC〔SSS〕，应选：C．二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕请把答案直接填写在横线上11．判断题〔正确的打“√〞，错误的“×〞〕：〔1〕一个锐角及斜边分别相等的两个直角三角形全等；√〔判断对错〕〔2〕两条边分别相等的两个直角三角形全等；×〔判断对错〕〔3〕一条直角边和斜边分别相等的两个直角三角形全等；√〔判断对错〕〔4〕斜边相等的两个等腰直角三角形全等．√〔判断对错〕【分析】根据全等三角形的判定判断即可．【解析】〔1〕一个锐角及斜边分别相等的两个直角三角形全等；正确；〔2〕两条边分别相等的两个直角三角形不一定全等；错误；〔3〕一条直角边和斜边分别相等的两个直角三角形全等；正确；〔4〕斜边相等的两个等腰直角三角形全等，正确；故答案为：〔1〕√；〔2〕×；〔3〕√；〔4〕√．12．〔2021秋•鼓楼区校级月考〕如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BF＝AC，CD＝DF，证明图中两个直角三角形全等的依据是定理HL．【分析】根据HL可证明Rt△ACD≌Rt△BFD．【解答】∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠BDF＝90°，在Rt△ACD和Rt△BFD中，，∴Rt△ACD≌Rt△BFD〔HL〕．故答案为：HL．13．〔2021秋•秦淮区期末〕结合图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等〞的推理形式：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DFAB＝DE∴Rt△ABC≌Rt△DEF．【分析】根据条件可知，少一组斜边，所以可添加为：AB＝DE．【解析】∵∠C＝∠F＝90°，∴在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF〔HL〕，故答案为：AB＝DE．14．〔2021秋•台州期中〕如图，在△ABC和△BAD中，∠C＝∠D＝90°，再添加一个条件，就可以用“HL〞判定Rt△ABC≌Rt△BAD，你添加的条件是AC＝BD〔或者AD＝BC〕．【分析】利用直角三角形的判定方法得出答案．【解析】条件是AC＝BD，∵∠C＝∠D＝90°，在Rt△ABC和Rt△ABD中∵，∴Rt△ABC≌Rt△ABD〔HL〕，故答案为：AC＝BD〔或者AD＝BC〕．15．〔2021秋•临沭县期中〕如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，AB∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件AB＝DF〔答案不唯一〕，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．【分析】根据全等三角形的判定定理证明即可证得结论．【解析】添加的条件是：AB＝DF，证明：在Rt△ABC和Rt△DFE中，∴∠ACB＝∠DEF＝90°，∵AB∥DF，∴∠ABC＝∠DFE，∴添加AB＝DF，在Rt△ABC和Rt△DFE中，，∴Rt△ABC≌Rt△DFE〔AAS〕，故答案为：AB＝DF〔答案不唯一〕．16．〔2021秋•金乡县期中〕如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，∠A＝∠D＝90°，假设利用“HL〞证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是AB＝DC〔答案不唯一〕．〔不添加字母和辅助线〕【分析】根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB＝DC．【解析】∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，∴在Rt△ABC与Rt△DCB中，∠A＝∠D＝90°，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB＝DC．故答案为：AB＝DC〔答案不唯一〕17．〔2021秋•高邮市月考〕以下说法正确的有3个．〔1〕两条边对应相等的两个直角三角形全等．〔2〕有一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等．〔3〕一条直角边和一个锐角对应相等的两直角三角形全等．〔4〕面积相等的两个直角三角形全等．【分析】利用全等三角形的判定方法逐个判断即可．【解析】〔1〕当这两条边都是直角边时，结合直角相等，那么可用SAS可判定两个三角形全等，当这两条边一条是斜边一条是直角边时，可用HL判定这两个直角三角形全等，故〔1〕正确；〔2〕有一锐角和斜边对应相等时，结合直角，可用AAS来判定这两个直角三角形全等，故〔2〕正确；〔3〕当一条直角边和一个锐角对应相等时，结合直角，可用AAS或ASA来证明这两个直角三角形全等，故〔3〕正确；〔4〕当两个三角形面积相等时，这两个直角三角形不一定会等，故〔4〕不正确；综上可知正确的有3个，故答案为：3．18．〔2021秋•勃利县期末〕如图，AB⊥BC、DC⊥BC，垂足分别为B、C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，点P为BC边上一动点，当BP＝2时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等．【分析】当BP＝2时，Rt△ABP≌Rt△PCD，由BC＝8可得CP＝6，进而可得AB＝CP，BP＝CD，再结合AB⊥BC、DC⊥BC可得∠B＝∠C＝90°，可利用SAS判定△ABP≌△PCD．【解析】当BP＝2时，Rt△ABP≌Rt△PCD，∵BC＝8，BP＝2，∴PC＝6，∵AB⊥BC、DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，在△ABP和△PCD中，∴△ABP≌△PCD〔SAS〕，故答案为：2．三、解答题〔本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕19．〔2021春•岱岳区期末〕如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°．【分析】先利用HL定理证明△ACE和△CBF全等，再根据全等三角形对应角相等可以得到∠EAC＝∠BCF，因为∠EAC+ACE＝90°，所以∠ACE+∠BCF＝90°，根据平角定义可得∠ACB＝90°．【解答】证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中，，∴Rt△ACE≌Rt△CBF〔HL〕，∴∠EAC＝∠BCF，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°．20．〔2021春•铜仁市期末〕如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．【分析】根据条件，利用直角三角形的特殊判定方法可以证明题目结论．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴DE＝CE．∵∠A＝∠B＝90°，∴△ADE和△EBC是直角三角形，而AD＝BE．∴Rt△ADE≌Rt△BEC〔HL〕21．〔2021•蓬安县模拟〕如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．〔1〕求证：△ABC≌△DCB；〔2〕△OBC是何种三角形？证明你的结论．【分析】〔1〕根据条件，用HL公理证：Rt△ABC≌Rt△DCB；〔2〕利用Rt△ABC≌Rt△DCB的对应角相等，即可证明△OBC是等腰三角形．【解答】证明：〔1〕在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°AC＝BD，BC为公共边，∴Rt△ABC≌Rt△DCB〔HL〕；〔2〕△OBC是等腰三角形，∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB＝∠DBC，∴OB＝OC，∴△OBC是等腰三角形．22．〔2021秋•集贤县期中〕如图，AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE．求证：BC＝BE．【分析】根据“HL〞证Rt△ADC≌Rt△AFE，∴CD＝EF，再根据“HL〞证Rt△ABD≌Rt△ABF，∴BD＝BF，∴BD﹣CD＝BF﹣EF，即BC＝BE．【解答】证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE〔HL〕．∴CD＝EF．∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF〔HL〕．∴BD＝BF．∴BD﹣CD＝BF﹣EF．即BC＝BE．23．〔2021秋•扶沟县期中〕如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合，那么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？【分析】此题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝10，可据此求出P点的位置．②Rt△