中考数学重要考点题型精讲精练人教版：专题06 相似三角形（热考题型）-原卷版

专题05相似三角形判定、性质及其模型【思维导图】◎考点题型1相似三角形的判定-定义法三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．例．（2022·全国·九年级课时练习）在与’中，有下列条件，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（

）组．①；②；③；④．A． B． C． D．变式1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点P在的边上，若要判定，则下列添加的条件不正确的是（

）A． B．C． D．变式2．（2022·河北石家庄·九年级期末）将两个完全相同的等腰直角△ABC与△AFG按图所示的方式放置，那么图中一定相似（不含全等）的三角形是（）A．△AEC与△ADB B．△ABE与△DAE C．△ABC与△ADE D．△AEC与△ADC变式3．（2023·河北·九年级专题练习）如图，在中，P、Q分别为AB、AC边上的点，且满足．根据以上信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论：嘉嘉说：连接PQ，则PQ//BC．淇淇说：．对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（

）A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错误◎考点题型2相似三角形的判定-平行法平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．例．（2021·河北保定·九年级期末）如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．变式1．（2021·上海市奉贤区实验中学九年级期中）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（）A．DEBC B．∠AED＝∠B C． D．变式2．（2021·四川宜宾·九年级期中）如图，，，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中的相似三角形共有（

）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对变式3．（2021·北京大兴·九年级期中）下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（ ）A．∠A=∠D，∠B=∠F B．且∠B=∠DC． D．且∠A=∠D◎考点题型3判定定理1如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．例．（2019·安徽·安庆市第四中学九年级阶段练习）下列条件中能判断△ABC∽△A′B′C′的是（）A．∠A＝∠B，∠A′＝∠BB．∠A＝∠A′，∠B＝∠CC．∠A＝∠A′，D．∠A＝∠A′，AB＝AC，A′B′＝A′C′变式1．（2022·广西·靖西市教学研究室九年级期中）如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断∽的是（

）．A． B． C． D．变式2．（2022·河北·石家庄市栾城区教育局教研室九年级期末）如图，△ABC中，CE⊥AB，垂足为E，BD⊥AC，垂足为点D，CE与BD交于点F，则图中相似三角形有几对（）A．6对 B．5对 C．4对 D．3对变式3．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在中，是的平分线，过点F作，交于点E，交的延长线于点D，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．◎考点题型4判定定理2如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．例．（2022·河北保定·九年级期末）如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（

）A． B． C． D．变式1．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，四边形的两条不等长对角线，相交于点，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若，则（

）A．甲、丙相似，乙、丁相似 B．甲、丙相似，乙、丁不相似C．甲、丙不相似，乙、丁相似 D．甲、丙不相似，乙、丁不相似变式2．（2021·河北承德·九年级期末）如图，在中，为上一点，若，则（

）A．～ B．～ C．～ D．无法判断变式3．（2020·广西贺州·九年级阶段练习）如图，在中，，，垂足为D，，，则CB的长为（

）A． B．4 C．12 D．16◎考点题型5判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似例．（2020·安徽·九年级阶段练习）如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与点、重合），与相交于点，下列结论中不一定成立的是（

）A． B． C． D．变式1．（2020·浙江·滨兰实验学校九年级阶段练习）如图，四边形，四边形，四边形都是正方形，图中与相似的三角形为（

）A． B． C． D．变式2．（2021·江苏·九年级专题练习）在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的周长之比为（）A． B． C． D．变式3．（2021·浙江杭州·九年级阶段练习）如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE=BE，则有（

）A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD◎考点题型6相似三角形基本图形--8字型有一组隐含的等角(对顶角)，此时需从已知条件或图中隐含条件通过证明得另一对角相等INCLUDEPICTURE"D雪晨浙数108A.TIF"(AB、CD不平行，∠A＝∠C)(AB∥CD)例．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，为平行四边形的边延长线上的一点，连接．交于，交于．求证：．变式1．（2021·重庆·九年级期末）如图与交于，且．（1）求证：∽．（2）若，，，求的长．变式2．（2021·全国·九年级专题练习）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．（1）求证：DF•AB=BC•DG；（2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．变式3．（2013·云南德宏·中考真题）如图，是一个照相机成像的示意图．(1)如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？(2)如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？◎考点题型7相似三角形基本图形--A字型有一个公共角(图①、图②)或角有公共部分(图③，∠DAF＋∠BAD＝∠DAF＋∠EAF)，此时需要找另一对角相等或相等角的两边对应成比例例．（2021·辽宁丹东·九年级期中）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的；（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．变式1．（2021·江苏·九年级）在中，，D为上一点，过D作DEBC交于点E，连接．设，求的取值范围．变式2．（2021·山东·嘉祥县马集镇中学九年级阶段练习）中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．（1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm?（2）若的面积为，求关于t的函数关系式．（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似?变式3．（2021·上海市金山初级中学九年级期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，．（1）求证：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB．◎考点题型8相似三角形基本图形--母子型有一个公共角及一个直角(图①为母子型的特殊形式AC2＝AD·AB仍成立，另CD2＝AD·BD)例．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．变式1．（2022·广东·江门市第二中学九年级开学考试）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB＝2∠PCB．（1）求证：CP是⊙O的切线；（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6，求MC•MN的值．变式2．（2021·安徽合肥·九年级期中）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，求的长．变式3．（2021·安徽滁州·九年级期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是△ABC的中线，求的值．◎考点题型9相似三角形基本图形--K字型如图①，∠D＋∠DBA＝∠E＋∠EBC＝∠DBA＋∠EBC＝90°，∴∠EBC＝∠D，∠E＝∠DBA，且一组直角相等，用任意两组等角即可证得三角形相似例．（2022·上海·七年级专题练习）等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．(1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；(2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积；(3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长．变式1．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．（2）探究若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．变式2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．变式3．（2021·吉林·长春市绿园区教师进修学校九年级期末）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．◎考点题型10相似基本模型（手拉手型）基础模型：旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形.例．（2021·全国·九年级专题练习）在和中，，，与在同一条直线上，点与点重合，，如图为将绕点顺时针旋转后的图形，连接，，若，求和的面积．变式1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，已知点在内，，，，．（1）当时，求证：；变式2．（2022·河南周口·九年级期末）观察猜想(1)如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等边，连接，则与的数量关系是______．(2)类比探究如图2，在等边中，点M是延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由．(3)拓展延伸如图3，在等腰中，，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等腰，使顶角．连按．试探究与的数量关系，并说明理由．变式3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，为等边三角形，D为AC边上一点，连接BD，M为BD的中点，连接AM．(1)如图1，若AB＝2+2，∠ABD＝45°，求的面积；(2)如图2，过点M作与AC交于点E，与BC的延长线交于点N，求证：AD＝CN；(3)如图3，在（2）的条件下，将沿AM翻折得，连接B'N，当B'N取得最小值时，直接写出的值．◎考点题型11相似基本模型（一线三等角型）基础模型：如图1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一线三等角）如图2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一线三等角）如图3，特别地，当D时BC中点时：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，FD平分∠EFC.例．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在中，点分别在边上，连接，且．（1）证明：；（2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．变式1．（2021·全国·九年级专题练习）已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，点B，C，E都在同一直线上，且△ABC和△DCE在该直线同侧．（1）如图①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，请猜想线段AF与DF之间的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；（2）如图②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系；（3）如图③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系（用含α的式子表示）．变式2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D与点E．（1）在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由；（2）若△PDE为正三角形时，求BD+CE的值；（3）当DE∥BC时，请用BP表示BD，并求出BD的最大值．变式3．（2020·全国·九年级课时练习）如图，B、C、D在同一直线上，△ABC和△DCE都是等边三角形，且在直线BD的同侧，BE交AD于F，BE交AC于M，AD交CE于N．（1）求证：AD=BE；

（2）求证：△ABF∽△ADB．

◎考点题型12利用相似求坐标例．（2023·江西·九年级专题练习）图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点．(1)求，，的值．(2)是轴上一点，若，求点的坐标．变式1．（2022·湖南常德·一模）如图，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过BC的中点，且与交于点，连接(1)求的面积(2)若点是边上一点，且∽，求点坐标．变式2．（2021·陕西榆林·二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）过点B（1，3）和点A（4，0），过点B作直线BC∥x轴，交y轴于点C．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作直线BC的垂线，垂足为D．连接OB，是否存在点P，使得以B，D，P为顶点的三角形与△BOC相似，若存在，求出对应点P的坐标；若不存在，请说明理由．变式3．（2021·全国·九年级专题练习）直线y＝kx+b与反比例函数（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点D．（1）求直线AB的解析式；（2）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．◎考点题型13相似三角形的性质--边和角相似三角形的对应角相等，对应边的比相等例．（2022·河南濮阳·八年级期末）如图，等边三角形中，为边上的一点，为边上的一点．且，，，则的边长为（

）A． B． C． D．变式1．（2021·陕西渭南·九年级阶段练习）若，与的面积比为，则与的对应边的比是（

）A． B． C． D．变式2．（2021·江苏·常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，ABC∽DAC，∠B＝31°，∠D＝117°，则∠BCD的度数是（

）A．32° B．48° C．64° D．86°变式3．（2022·河南许昌·九年级期末）如图，点D、E分别在的边BA、CA的延长线上，且，若，，则（

）A．12 B．18 C．24 D．36◎考点题型14相似三角形的性质--线段的比相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.例．（2022·全国·九年级课时练习）如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(

)A． B．C． D．变式1．（2020·浙江宁波·九年级期中）如图，∽，且，则与的相似比为（

）A．2:3 B．3:2 C．2:1 D．1:2变式2．（2022·甘肃天水·九年级期末）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则为（

）A． B． C． D．变式3．（2021·江苏·九年级专题练习）已知，且相似比为，则与的对应高之比为（

）A． B． C． D．◎考点题型15似三角形的性质--面积比相似三角形的面积比等于相似比的平方．例．（2021·辽宁大连·九年级期末）如图，△ABC中，DE∥BC，，则等于（

）A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶9变式1．（2022·河北唐山·八年级期末）的面积是，则它的三条中位线所围成的三角形的面积是（

）A． B． C． D．变式2．（2022·海南省直辖县级单位·九年级期末）如图，与位似，、、分别为OA、OB、OC的中点，若面积是5，则的面积为（

）A．10 B．20 C．25 D．50变式3．（2022·河南新乡·九年级期末）与的位似比是，已知的面积是3，则的面积是（

）A．3 B．6 C．9 D．12◎考点题型16相似三角形中的动点问题例．（2021·吉林·长春外国语学校八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度，沿AC边向终点C运动，点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度，沿AB边向终点A运动，两点同时出发，设运动时间为．(1)求出点Q到AC的距离（用t表示）；(2)设△APQ的面积为y，求出y关于t的函数解析式；(3)当△APQ与△ABC相似时，直接写出t值．变式1．（2022·宁夏吴忠·九年级期中）已知△AOB的三边OA=，OB=6，AB=，以顶点O为原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒，过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB于点M，N，当点M与N重合时，点P停止运动．(1)求点A的坐标，并确定t的取值范围；(2)求MN的长度(用含t的代数式表示)；(3)设△AMN的面积为S，写出S关于t的函数关系式，并求S的最值．变式2．（2022·陕西宝鸡·九年级期末）如图，在中，，，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动，点从点开始沿边以2cm/s的速度移动．如果点，分别从点，同时出发，经过几秒钟后，以点、、三点为顶点的三角形与相似？变式3．（2021·湖南邵阳·九年级阶段练习）如图，已知，，点、分别是线段、上的动点，点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，点、中有一个点停止时，另一个点也停止，设运动时间为秒．（1）当为何值时，为直角三角形；（2）当为何值时，是等腰三角形？并求此时点的坐标．◎考点题型17相似三角形中的折叠问题例．（2022·广东茂名·二模）在矩形ABCD中，，，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．(1)如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；(2)如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．变式1．（2021·吉林·长春市第五十二中学九年级期中）将按如图的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为EF．，，若以点，F，C为顶点的三角形与相似，求BF的长度．变式2．（2021·吉林·长春市第一零九中学九年级阶段练习）（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．（2）如图2，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝3，AB＝5，将△ABC折叠，使点B