新教材2023年秋高中物理第1章安培力与洛伦兹力素养提升课2带电粒子在有界磁场中的运动教师用书含答案新人教版选择性必修第二册

素养提升课(二)带电粒子在有界磁场中的运动1．掌握几种常见有界磁场的分布特点。2．会分析直线边界、圆形边界磁场中带电粒子的运动轨迹。3．能利用几何知识求解圆周运动的半径。4．会分析有界磁场中的临界、极值问题。带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动1．单平面边界的磁场问题从单平面边界垂直磁场射入的正、负粒子重新回到边界时的速度大小、速度方向和边界的夹角与射入磁场时相同。2．双平行平面边界的磁场问题带电粒子由边界上P点以如图所示方向进入磁场。(1)当磁场宽度d与轨迹圆半径r满足r≤d时(如图中的r1)，粒子在磁场中做半圆周运动后从进入磁场时的边界上的Q1点飞出磁场。(2)当磁场宽度d与轨迹圆半径r满足r>d时(如图中的r2)，粒子将从另一边界上的Q2点飞出磁场。【典例1】如图所示，直线MN上方存在着垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，质量为m、电荷量为－q(q＞0)的粒子1在纸面内以速度v1＝v0从O点射入磁场，其方向与MN的夹角α＝30°；质量为m、电荷量为＋q的粒子2在纸面内以速度v2＝3v0也从O点射入磁场，其方向与MN的夹角β＝60°。已知粒子1、2同时到达磁场边界的A、B两点(图中未画出)，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求：(1)两粒子在磁场边界上的穿出点A、B之间的距离d；(2)两粒子进入磁场的时间间隔Δt。[思路点拨](1)根据速度方向和粒子的电性画出运动轨迹，利用几何关系求出轨道半径。(2)粒子的运动具有对称性，即进、出磁场时的速度方向和边界的夹角相等。[解析](1)做出两粒子的运动轨迹如图所示，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝mv2r，则r故d＝OA＋OB＝2r1sin30°＋2r2sin60°＝4mv(2)粒子1做圆周运动的圆心角θ1＝5粒子2圆周运动的圆心角θ2＝4粒子做圆周运动的周期T＝2粒子1在匀强磁场中运动的时间t1＝θ1粒子2在匀强磁场中运动的时间t2＝θ2所以Δt＝t1－t2＝πm[答案](1)4mv0qB(1)要按照“画轨迹，找圆心，求半径(利用几何关系)”的基本思路进行。(2)解题过程中注意对称性的应用。[跟进训练]1．(2022·黑龙江哈九中高二期中)如图所示，在平板PQ上方有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。某时刻有a、b、c三个电子(不计重力)分别以大小相等、方向如图所示的初速度va、vb和vc经过平板PQ上的小孔O垂直射入匀强磁场。这三个电子打到平板PQ上的位置到小孔O的距离分别是la、lb和lc，电子在磁场中运动的时间分别为ta、tb和tc。整个装置放在真空中。则下列判断正确的是()A．la＝lb<lc B．la<lb<lcC．ta＞tb＞tc D．ta＝tc＜tbC[三个电子的速度大小相等，轨迹如图所示，垂直进入同一匀强磁场中。由于初速度va和vc的方向与PQ的夹角相等，所以这两个电子的运动轨迹正好组合成一个完整的圆，则这两个电子打到平板PQ上的位置到小孔的距离是相等的。而初速度vb的电子方向与PQ垂直，则它的运动轨迹正好是半圆，所以电子打到平板PQ上的位置到小孔的距离恰好是圆的直径。由于它们的速度大小相等，因此它们的运动轨迹的半径均相同，所以速度为vb的距离最大，故A错误，B错误。从图中可得，初速度va的电子偏转的角度最大，初速度vc的电子偏转的角度最小，根据粒子在磁场中运动的时间与偏转的角度之间的关系tT＝θ2π可得偏转角度最大的a运动的时间最长，偏转角度最小的c在磁场中运动的时间最短，故带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动1．在圆形匀强磁场区域内，沿径向对准磁场圆心射入的粒子一定沿径向射出。如图所示，磁场圆半径为R，粒子轨迹圆半径为r，带电粒子从P点对准磁场圆心O射入，由几何知识容易证明粒子从Q点飞出的速度方向的反向延长线必过磁场圆心O点。2．带电粒子入射方向偏离圆形匀强磁场圆心射入的问题处理这类问题时一定要分清磁场圆和轨迹圆，并要注意区分轨迹圆的圆心和圆形边界匀强磁场的圆心。(1)当粒子沿图甲所示轨迹运动时，粒子在磁场中运动时间最长、速度偏转角最大。(2)由图甲看出，在轨迹圆半径和速度偏转角一定的情况下，可实现此偏转的最小磁场圆是以PQ为直径的圆。(3)如图乙所示，由几何知识很容易证明：当r＝mvqB＝R时，相同带电粒子从P点沿纸面内【典例2】在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿x轴负方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿y轴正方向飞出。(1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷qm(2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，磁感应强度B′为多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？[思路点拨](1)粒子沿半径方向进入磁场后，仍会沿着半径方向射出磁场。(2)画出运动轨迹并求出轨道半径是解答本题的关键。[解析](1)粒子的运动轨迹如图所示，由左手定则可知，该粒子带负电荷。粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°角，则粒子轨迹半径R＝r，又qvB＝mv2r，则粒子的比荷(2)设粒子从D点飞出磁场，速度方向改变了60°角，故AD弧所对圆心角为60°，粒子做圆周运动的半径R′＝rtan又R′＝mvqB'，所以B′粒子在磁场中运动所用时间t＝16[答案](1)负电荷vBr(2)33B[跟进训练]2．(2022·黑龙江哈师大青冈实验中学高二期中)如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的直径。一带电粒子从a点射入磁场，速度大小为v、方向与ab成30°角时，恰好从b点飞出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为t；若同一带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，也经时间t飞出磁场，则其速度大小为()A．12v B．3C．23v D．3B[带电粒子两次在磁场中的运动时间相同，圆心角都是60°；设圆形磁场的半径为R，粒子第一次在磁场中运动时，根据牛顿第二定律得qvB＝mv2r1，r1粒子第二次在磁场中运动时，根据牛顿第二定律得qv2B＝mv22r2，r2＝Rtan60°，解得v2＝3]带电粒子在有界磁场中的临界问题带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动时，带电粒子速度大小的变化，引起带电粒子做圆周运动的半径发生变化。或者随着带电粒子速度方向的变化使带电粒子的运动状态在某一时刻发生变化。找到临界点对应的条件是解决此类问题的突破口。解决此类问题应注意以下结论：(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。(2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长。(3)当比荷相同，速率v变化时，在匀强磁场中运动的圆心角越大的带电粒子，运动时间越长。【典例3】如图所示，匀强磁场宽度l＝43cm，磁感应强度的大小B＝0.1T，方向垂直纸面向里，有一质量m＝8×10-25kg、电荷量q＝5×10-18C的正离子，以方向垂直磁场的初速度v0从小孔C沿水平方向射入匀强磁场，转过圆心角θ＝60°后从磁场右边界A点射出(取π＝3)。(1)求离子的初速度v0；(2)求离子在磁场中的运动时间；(3)只改变正离子的速度大小，使之无法从右边界射出，求离子速度的最大值(取3＝1.73，结果保留两位有效数字)。[解析](1)由几何关系得r＝lsinθ由洛伦兹力提供向心力得qv0B＝mv解得v0＝5×104m/s。(2)离子运动周期为T＝2πrv0＝9.6离子在磁场中的运动时间为t＝θ360°T＝1.6×10-6(3)若离子刚好不从右边界射出，则离子轨迹刚好和右边界相切，由几何关系得离子轨迹半径为R＝l由洛伦兹力提供向心力得qvmB＝mv解得vm≈4.3×104m/s。[答案](1)5×104m/s(2)1.6×10-6s(3)4.3×104m/s(1)带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动的临界问题往往对应着一些特殊的词语，如“恰好”“刚好”“最大”“最小”“最高”“至少”等等，解题时应予以特别关注。(2)画出粒子运动的轨迹并根据几何知识求得此时带电粒子运动的轨道半径往往是求解此类问题的关键。[跟进训练]3．(2022·云南玉溪第三中学高二阶段练习)如图所示，矩形边界ABCD内存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里，AB长为2l，AD长为l。从AD的中点E以不同速率发射粒子，速度方向与AD成30°角；粒子带正电，电荷量为q，质量为m；不计粒子重力与粒子间的相互作用。求：(1)从AB边离开磁场的粒子，出射点离A点的最远距离；(2)要使粒子全部从AB边离开磁场，发射速率应满足的条件。[解析](1)如图所示当粒子的轨迹恰好与CD边相切时，根据几何关系，有R1(1-cos60°)＝l