绝对值与相反数22

第18讲绝对值与相反数一、知识梳理1、绝对值1.绝对值的概念:数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.2.绝对值的表示方法:通常我们将数a的绝对值记为|a|.如图2-21所示，点A到原点的距离为3，即点A表示的数-3的绝对值为3，记作|-3|=3；同理点B表示的数2的绝对值为2，即|2|=2.3.绝对值是运算，这种运算是求数轴上的点到原点的距离.4.绝对值是“距离〞，表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值越大；反之，距离原点越近，这个数的绝对值越小.2、相反数1.相反数的概念符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个是另一个的相反数.0的相反数是0.例如2与-2互为相反数，其中2是-2的相反数，-2是2的相反数，π的相反数是-π.2.相反数的表示方法表示一个数的相反数，可以在这个数的前面添一个“-〞号.如-2的相反数可以表示为-(-2)，而我们知道-2的相反数是2，所以-(-2)=2.一般地，a的相反数是-a，-a的相反数是a，即-(-a)=a.3.任何数都有相反数，而且只有一个，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0.4.假设a与b互为相反数，那么a+b=0〔或a=-b〕；反之，假设a+b=0〔或a=-b〕，那么a与b互为相反数.3、化简一个含多重符号的数根据相反数的意义，我们可以化简一个含多重符号的数.把一个含多重符号的数化成单一符号，化简的结果是正还是负，由该数前面的“-〞号决定，与“+〞号无关.4、绝对值的性质1.绝对值的性质:〔1〕正数的绝对值是它本身；〔2〕负数的绝对值是它的相反数；〔3〕0的绝对值是0.2.求一个数的绝对值，首先要分清这个数是正数、负数、还是0，然后才能正确地写出它的绝对值.用式子表示:当a>0时，|a=a；当a=0时，|a|=0；当a<0时，|a|=-a.3.根据绝对值的概念和性质可以发现，任何一个数的绝对值都是正数或0，即对于任意数a，总有同≥0，这个特征叫做绝对值的非负性.5、会用绝对值比拟两个负数的大1.比拟两个正数的大小根据数轴上表示两个正数的点都在原点的右边，并且表示绝对值较大的正数的点在另一个点的右边；所以两个正数，绝对值大的数大；2.比拟两个负数大小根据数轴上表示两个负数的点都在原点的左边，并且表示绝对值较大的负数的点在另一个点的左边.所以两个负数，绝对值大的数小.步骤:〔1〕求出这两个数的绝对值；〔2〕比拟两个绝对值的大小；〔3〕根据“绝对值大的反而小〞作出判断.二、例题精讲【例1】在数轴上画出表示以下各数的点，并写出它们的绝对值.-3，2，-92，4，-0.5，5练习1〔2021·长沙开福区校级月考〕满足|x|=2的数x有〔A〕A.1个B.2个C.3个D.无数个练习2〔2021·大连中考〕-2的绝对值是〔B〕A.2B.12C.-12【例2】〔1〕〔2021·常州中考〕-3的相反数是〔〕A.13B.-13C.3D〔2〕在如图2-23所示的数轴上，假设A，B两点到原点的距离相等，那么点B所表示的数是〔〕A.-3B.-2C.13D.【例3】以下各数中，互为相反数的是〔〕A.+(-2)和-(+2)B.-(-0.5)和+(+0.5)C.-(-23)和+(-23)D.-(-9)和-[+(-9练习3〔2021·扬州江都区期末〕-2的相反数是〔〕A.-2B.2C.12D.-3.B[提示:因为-2+2=0，所以-2的相反数是2.]【例4】求以下各数的绝对值:32，-3练习4化简以下各数的符号.〔1〕-(+4)；〔2〕-(-7.1)；〔3〕-[+(-5)]；〔4〕-[-(-8)].【例5】比拟以下两组数的大小.〔1〕-534与-〔-523〕；〔2〕-67和练习5求以下各数的绝对值：-12，3，-(-7)，|-9.6|.5.解:|-12|=12.3|=3.|-〔-7〕|=7，|-9.6|=9.6.练习6〔2021·南通海安期末〕比拟大小:-12______23〔填“>〞“<〞或“6、<——题型总结——题型1绝对值的计算【例1】计算.〔1〕|-8|+|-4|；〔2〕-〔-3.5〕-|-12〔3〕-313÷|-114×|-112；〔4〕|-5|+|-10|÷练习1计算.〔1〕|-10|+|-5|；=15.〔2〕|-6|÷|-3|；=2.〔3〕|-6.5|-|-5.5|；=1.〔4〕|-5|+|-10|-|-9|；=6.〔5〕|-3×|-6|-|-7×|+2|.=4.【例2】假设1-m|+|n-2|=0，那么m+n的值为_________.练习2如果a是有理数，那么|a|+2021的最小值是_________.2.2021[提示:因为|a|≥0，所以|a|+2021≥2021，所以|a|+题型3数形结合比拟大小【例3】a>0，b<0，且|b|<a，试比拟a，b，-a，-b的大小.练习3〔2021·无锡期末〕有理数a，b在数轴上的对应点的位置如下图，那么化简|a+b|的结果正确的选项是〔〕A.a+bB.a-bC.-a+bD.-a-b3.D[提示:H据题意可知a+b<0.∴|a+b|=-〔a+b〕=-a-b.]题型4利用绝对值解决实际问题【例4】某超市出售食盐时以每袋500克为标准分袋.现抽取5袋进行检测，质量超过500克的记为正数，缺乏500克的记为负数，结果如下表所示:〔1〕把这5袋食盐的实际质量填在表内；〔2〕这5袋食盐的质量最接近标准质量的是_________；〔3〕这5袋食盐的总质量是多少克?练习4a>0，b<0，且|a|<|b|，试比拟a，-a，b，-b的大小.4.解:由数轴，得-b>a>-a>b.【例5】点A，B在数轴上分别表示有理数a，b.当|a|=1，|b|=3，求A，B两点之间的距离.练习5建设银行职员小张在办理业务时，约定存入为正，取出为负，某天，他先后办理了七笔业务:+2000元，-800元，+400元，-800元，+1400元，-1600元，-200元.〔1〕假设他早上领取备用金4000元，那么下班时应交回银行元.〔2〕在这七笔业务中，小张在第笔业务办理后，手中的现金最多；第笔业务办理后，手中的现金最少。〔3〕假设每办一笔业务，银行发给业务员业务量的0.1%作为奖励，那么小张这天应得奖金多少元？〔1〕4400〔2〕五、七〔3〕解:|+2000|+|-800|+|+400|+|-800|+|+1400|+|-1600|+|-200}=7200〔元〕.这天小张应得奖金为7200×0.1=7.2〔元〕.——随堂检测——★名校真题〕2和－22相等个个个个【答案】B【解析】①正确；②正确；③正确；④错误，当a＝0时，不成立；⑤错误，＝4，－22＝﹣4，所以不正确；正确的有3个，所以选B。以下说法正确的选项是〔〕A．有理数不是正数就是负数B．0是最小的有理数C．正数和负数统称为有理数D．是分数也是有理数【答案】D【解析】有理数包括正数，0，负数，故A错误；0不是最小的有理数，不存在最小的有理数，故B错误；正数包括正有理数和负有理数，故C错误；D正确，分数也是有理数，所以选D，那么x的值为。【答案】±3；【解析】由题意知：，所以x＝±3.【答案】﹣5；﹣2、﹣1；【解析】，5的相反数是﹣5；不小于﹣2的负整数就是大于等于﹣2的负整数，就是﹣2、﹣1；①-2是的相反数，的相反数是4.5；②与互为相反数；③如果，那么=.【答案】〔1〕2；﹣4.5；〔2〕；〔3〕﹣5化简＝，＝。【答案】4－π；π－3【解析】先判断绝对值中的数的符号，是正，那么直接去绝对值；假设绝对值中的数为负，那么取相反数绝对值的几何意义应用①绝对值最小的数是．②绝对值不大于2的整数有．③绝对值等于本身的数是；绝对值大于本身的数是．④绝对值不大于2.5的非负整数是．【答案】①0；②±2、±1、0；③非负数；负数；④0,1,2；【解析】①0的绝对值为0，其他数的绝对值为正数，所以绝对值最小的数是0；②画数轴可以解决；③负数的绝对值为其相反数；0的绝对值是0，即使本身，又是其相反数；正数的绝对值是其本身；所以绝对值是本身的数是非负数④理解非负整数，是指零和正整数★冲刺提升点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|．利用数形结合思想答复以下问题：①数轴上表示3和6两点之间的距离是______，数轴上表示1和-5的两点之间的距离是______．②数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为______．数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为______．③假设x表示一个有理数，那么|x-2|+|x+4|的最小值=______．④假设x表示一个有理数，且|x+1|+|x-4|=5，那么满足条件的所有整数x的是______．⑤假设x表示一个有理数，当x为______，式子|x+2|+|x|+|x-5|有最小值为______．【答案】〔1〕3；6；〔2〕；；〔3〕6；〔4〕﹣1,0,1,2,3,4；〔5〕0；7【解析】〔1〕6－3＝3；1－〔﹣5〕＝6；〔2〕＝；；〔3〕原式＝，可以看成是在求解，数轴上点x到2与x到﹣4的距离和，如以下图所示，当x在﹣4和2之间时，距离最短，等于2－〔﹣4〕＝6〔4〕原式＝＝5，就是点x到﹣1和到4的距离和等于5，那么x应该在﹣1到4之间的点，题目要求所有整数，所以是﹣1,0,1,2,3,4；〔5〕原式＝，就是求到﹣2，到0，到5三个点距离和最小的点，根据上两问可以知道，点x在﹣2和5之间，x到﹣2和到5的距离和最小，还需要再加一个到0的距离，所以x在0时，到三个点的距离最小结合数轴与绝对值的知识答复以下问题：〔1〕表示—3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如果，那么a=．〔2〕假设数轴上表示数a的点位于—4与2之间，那么的值