初级中学数学实践案例集

27/27初中数学与科学实验背景介绍我们选取《初中代数与科学实践》的前言作为本部分内容的选题背景。为使教师和学生体会到数学与自然及数学与社会的密切联系，认识数学的价值，并通过有效地组织实验、调查、设计方案等活动，更好地启发学生运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，解决日常生活中的问题，形成勇于探索和创新的科学精神，国家教育发展研究中心中美数学课程与教学比较项目组组织编译了本书《初中代数与科学实践》。本书包括两部分内容：数学活动和数学与科学实验。第一部分是数学活动的设计，包括调查研究和专题研究，这部分为教师、学生和家长提供了大量的信息和材料。学生学完每章后，要进行一项与此节教学内容有关的活动，目的是在学校、家长和学生之间建立起一种紧密的联系，督促学生进行总结性的学习。形式上分为：调查研究A和调查研究B。调查研究A是为学生提供完成本活动的有关信息，让家长了解活动的要求。调查研究B侧重于对数学知识的探讨，且结合各章节具体内容，而不是关注数学的外部世界。当学生每学完2、3章后，为了加强这几部分之间的联系，以及数学知识与现实世界的联系，进行专题研究。其专题研究报告包括教学要求(有关活动的详细说明、数学活动的目标)、具体探讨的材料(包括如何进行调查的有关信息和一系列外部材料)、教师注意事项、成绩判定和评分标准卡(记录了学生的调查工作)。第二部分主要是通过科学实验，建立起数学与科学的联系。这种直观的方法有助于学生探索生命科学、地球科学、物理科学、生物学和化学的规律，学会用数学的方法进行思考，即用数学工具来分析他们收集的数据，刻划出科学概念的数学特征和加强数学概念的应用。第二部分内容的主要目的是在教学中实现各学科知识的综合和应用，这主要通过科学实验来实现。具体实验包括6个部分：背景介绍、目的、材料、程序、数据与观察、分析。每个实验后是教学建议。其中既有部分试样答案，也有教学和进一步探索的建议。本书集实用性、前沿性和指导性于一体，以培养学生的创新精神和实践能力为主线，重视学生的心理发展规律，关注学生的学习兴趣和经验，软化或者排除僵死的科目界限，更多地注重科学、数学和技术之间的相互联系，体现教育内容的现代化。同时本书摒弃了传统自然科学学科教学的知识传授模式，从开放教育与主体性学习的角度来组织教学，学生的主体性参与活动贯穿于教学过程的设计思想与具体方案之中。为中小学教育改革突破传统的应试教育模式，改变单纯的知识、技能传授，更好地关注学生的态度、价值观、知识、技能、方法、能力、行为、习惯等各方面能力的和谐发展提供了范例。为了有效地讲授科学、数学和技术知识以及其他的知识和技能，教师不但应让学生进行系统研究、认真验证和亲身体验，而且要普及科学基础知识、增强学生的科学探索精神，使学生拥有科学的价值观。为此，建议教师采用以下教学方法，由学生们感兴趣或熟悉的问题和现象开始讲授，让学生积极地运用假设、搜集和运用证据，设计调查和处理方案，鼓励学生的好奇心和创造性。学生要熟悉周围的事物，要会观察、收集、处理和描述它们，并对比提出问题、展开争论，然后试着为这些问题找出答案。让学生积极地参与。学生需要各种各样的机会进行搜集、筛选和分类；观察、做笔记和绘制草图；访问、调查。他们还需要学会使用放大镜、显微镜、温度计、照相机和其他普通仪器。他们还应该学会仔细分析、记数、画图和计算；探索一般物质的特征；系统地观察人类和其他动物的社会行为。在这些活动中，最重要的是测量。在测量时，首先要指出测量什么，用什么测量，怎样检验测量结果的正确性，怎样解释测量结果，并使其具体化，这些是很多科学和工程学的核心问题。让学生学会清晰地表达思想。生活中口头和书面表达思想都很重要。每位教师都要求学生把准确地表达思想放在优先地位。此外，讲授科学的教师更应强调清晰地表达思想。因为不能准确地向其他人表达自己的方法、发现和观念，别人就无法搞清证据的作用和确切的用途。采取小组学习方式。经常性的课堂小组活动有助于强化科学技术工作所需要的协作意识。大部分科学家和工程师是以小组方式，而不是以孤立的个人方式开展工作。同样，学生应与同学商量工作如何进行，互相交流学习步骤、概念意义，对调查结果进行辩论。小组学习与过去通常采用的那种个人的课本——作业——背诵方法相比，信息反馈和信息交流更具有现实性。关于中小学数学与科学实验的书在我国基础教育中还不多见，本书的出版主要起抛砖引玉作用。可以指导数学教师的教学实践，启发他们的思路，帮助他们从整体上理解数学并展开科学教育，使他们能够创造性地搞好数学科学教育，提高我国中小学生科学素养的整体水平。二、目录第一部分数学活动第一章调查研究A文字表达能力调查研究B进行统计第二章调查研究A有益的食品调查研究B游戏时间第三章调查研究A高等教育调查研究B数系专题研究一温室效应第四章调查研究A姓名的世界调查研究B如此之多第五章调查研究A剧场和收入 调查研究B集资专题研究二去钓鱼第六章调查研究A分析移民调查研究B种植图第七章调查研究A选择职业调查研究B健康范围专题研究三被动吸烟第八章调查研究A游戏调查研究B线性思维第九章调查研究A历史的构成调查研究B濒临灭绝的动物专题研究四预备、开始、降落第十章调查研究A电影中的数字调查研究B成功的公式第十一章调查研究A志愿者调查调查研究B构造抛物线专题研究五造砖厂第十二章调查研究A玛雅时期调查研究B焦距第十三章调查研究A基本调查调查研究B螺旋专题研究六消费热点第二部分科学与数学实验室实验1利用物理性质实验2酸雨的pH值实验3光的反射实验4电磁铁强度的变化实验5密度与浓度的关系实验6绘制太阳能收集器的效率图实验7风力和盒形图实验8测定醋中醋酸的百分比实验9天文距离和科学记数法实验10发射运动实验11过度繁殖实验12土壤的物理因素使用说明三、内容选介3．1数学活动第一章这一章，学生要学习数学表达式及其性质，同时学习如何借助图来表达数据。调查研究A文字表达能力学生将进行一项关于各种工作中文字表达能力重要性的调查。下面所列的是完成这项调查所必须进行的活动。1．至少调查20多种工作，按重要程度排序，并回答如下问题：最重要的工作；工作中最重要的事情；工作中不重要的事情。2．用l中所获得的数据计算出各项所占的百分比。3．到图书馆查阅有关工作介绍的书籍，列出需要较强写作能力的工作。4．研究一项你所列的职业，你可以采访一些在工作中需要大量写作的人员，找出每个人写作的目的，并弄清写作究竟涉及哪些内容。5．制订一个小册子帮助低年级的同学理解具有写作技能的重要性。调查研究B进行统计学生将进行一项关于运动统计的调查。下面所列的是完成这项调查所必须进行的活动。1．统计一下这学期足球甲A联赛中每个球队获胜的场次数量，你可以从每周报纸的体育栏目找到这些信息。2．用1所获得的数据在辽宁队和申花队之间的比赛用树图表示。3．用一个完整的树图对辽宁队和申花队之间进行对比，比较一下谁较好，谁较差。4．选择一个你认为是最好的或最差的队，计算出每队获胜的百分比。5．记录下另外5场比赛的结果，用图粗略地勾画出这个队在5场比赛中获胜的百分比。6．写一篇新闻报道，报道一下在主要的球赛中最好的或最差的队的成绩，并作图列出其发展的趋势。第十章这一章，学生学习因式分解，他们将要学会如何对二项式进行因式分解，学会用分配律和因式分解方法来解方程。调查研究A电影中的数字学生将进行一项关于电影名称中数字的调查。下面所列的是完成这项调查所必须进行的活动。1．在电影中的标题中经常出现数字，例如“101Dalamatians”、“阿克波罗13”和“12只猴子”。这项研究需要小组合作，列出至少20部电影名中包含数字的电影，可以用报纸上关于电影的报道或参观音像书店等。2．确定在电影题目中的数字哪些是素数哪些是合数。3．找出这些合数的素数因子。4．交换各组的游戏。调查研究B成功的公式学生将进行一项关于数学公式的调查。下面所列的是完成这项调查所必须进行的活动。1．在你的生活中，你可能用过许多公式，特别是在你学习数学和科学科目时。由于你或多或少是位公式专家，杂志编辑让你和其他同学写一篇题目是“20个真正有用的公式”的文章，此文章的目的是想证实人们是否在实际中应用代数公式。例如公式可用于计算某一物体从初始高度以一定的速度在特定的时间虞所达到的高度，你可以通过查阅有关的数学和科学书籍，搜集更多的有用公式。2．小组合作，尽可能地写出更多的数学公式，从中选择出20个最好、最有用的公式。3．给出每个公式后，告诉大家它是如何用的，并用例子说明其用途，用最恰当的方式展示你小组所获取的信息，如果可能可以用图片或照片等。4．当你的小组完成这篇文章后，与其他小组进行交流、讨论，看一下你的文章与其他组的文章的相似之处和不同之处。3．2专题研究三：被动吸烟材料：秒表、坐标纸、3个圆形气球、皮尺、细线。20世纪的50、60年代，科学家已经收集了大量证据说明吸烟对人体的危害。最近开始关注被动吸烟者的受害情况。被动吸烟者指由于附近有人吸烟而不得已地吸人烟的人群。1993年环境保护机构(EPA)估计，美国每年数千位非吸烟者因被动吸烟而患癌症。被动吸烟已成为直2种危害人体健康的环境污染之一。作为一个意识到吸烟危害性的公民和一名关注健康的年轻人，你希望组织一个活动将被动吸烟的影响限制到最小。本项研究中，你要研究呼吸时吸人了多少空气以及房间中有多少是有烟气体。你也可以从经济和健康方面来考察这个问题。3人一组，进行研究。研究A收集数据重．制作如下表格。1232．小组的每位成员吹起一个气球，然后放气，如此反复3次。注意给每位成员休息的时间。3．将64厘米长的线两端打结在一起。4．小组中的一位成员用线环绕着气球，另一位将气球吹到线围成的那么大(即此时气球的周长大约为64厘米)，第三位记录需要吹多少次才能吹足气球。每个成员都要吹起一个气球。5．测量每个吹足的气球的周长，利用公式求出气球的半径。分析数据1．将你所获得的数据作图。2．计算吹足一个气球的平均次数。3．用公式估计每个气球的体积，然后估计每次吹气的体积。研究B现在我们要比较每吸一口烟呼出到房间空气中的烟量和深呼吸时呼出的气体量。吸烟者平均要抽重0次就可抽完一支烟。重．假设每吹一次气球吹出的气体量就近似等于每吸一口烟排放到空气中的烟量。一个气球的体积相当于多少支烟呢?2．作一张抽一支烟排放到房间中烟量的图，横轴表示抽了几口烟，纵轴为房间中累积的烟量。描述这张图，并写出相应的函数来。3．作图，横轴为气球半径，纵轴为气球的周长。写出反映它们之间关系的等式来。4．静止状态时每呼吸一次平均排出大约500毫升的气体。从研究A中得到你吹起一个气球需要吹的次数为n，那么静止状态呼吸n次排出的气体量与气球的体积相比如何?是什么原因造成这个差异?研究C我们已经假设每吹一次气球吹出的气体量就近似等于每吸一口烟排放到空中的烟量。重．与小组成员吹起一个气球需要吹的平均次数比较，哪个同学的次数最接近这个平均值呢?现在假设这个同学是一个吸烟者，进行下面的实验。2．请这个同学吹起气球。他每吹一下(就等于抽了一口烟)，就用皮尺测量气球的周长，记录每次的测量结果。3．计算每吹一下气球的体积，用所得数据作图。描述这张图，它是否反映了某种函数关系?如果是，函数的定义域和值域是什么?4．每盒烟有20支。如果吸烟者抽完这整整一盒的烟，相当于吹起了多少个气球?有多少烟被排放到空气中?5．作一张抽一盒烟排放到房间中烟量的图，横轴表示抽了多少支烟，纵轴为房间中累积的烟量。6．每条烟有10包烟。如果吸烟者抽完这整整一条烟，相当于吹起了多少个气球?有多少烟排放到空气中?研究D现在，美国有大约5千万的烟民，平均每个烟民每天要抽30支烟。1．计算每个烟民重年排放的烟量。2．计算这5千万烟民重年呼出的烟量。3．估计你的房间里空气的体积。写出一个不等式来估计需要抽多少口烟来充满你的房间?4．假设将一个烟民和几条烟一起锁在你的房间里。他是否有可能用与呼出的烟相同密度的烟充满你的房间?请解释你的答案。研究E吸烟增加了健康出问题的机会。常常处于被动吸烟状态也会危及不吸烟者的健康。一家烟草公司的报告书中说，一个不吸烟者同一群吸烟者共同工作的话，他相当于每月抽了重．5支烟。一个在吸烟环境中工作的餐馆服务人员也就相当于每月抽了2支烟。环境保护机构(EPA)不同意这些数据。1．一个在吸烟环境中工作的餐馆服务人员工作1年，相当于抽了多少支烟呢?请写出一个不等式来进行估计。2．有一场官司涉及烟草工业和环境保护机构(EPA)。诉讼说环境保护机构(EPA)在各项研究中评价数据时没有使用标准的显著性水平5％。显著性水平5％是指得出的统计结论错误的概率不超过5％。3．1995年1月在美国，一盒香烟的平均价格为$2．06，其中联邦和州政府要抽56％的税。香烟的价格现在又涨了。计算一个烟民平均每年要抽掉多少钱?4．税务局如何通过烟的销售量来估计美国有多少烟民?小结EPA最近一项关于被动吸烟的长期研究表明，与吸烟者结婚的不吸烟者，得肺癌的机会要增加19％。12项研究说明，被动吸烟者不仅易患肺癌，而且易得心脏病。与吸烟者结婚的被动吸烟者要比其他的不吸烟者患心脏病的机会高30％。EPA通过许多研究得出结论：被动吸烟导致美国550万的18个月以下婴幼儿中，额外增加了重5~30万人次的呼吸道感染。美国加利弗尼亚大学的环境与健康专家KatharineHamm。nd对被动吸烟者的致癌物质苯进行了分析。她发现“在同一间屋子里，在同一时刻，不吸烟者苯的摄人量等同于吸烟者吸6只烟的苯摄人量”。两位统计学家对被动吸烟的研究还发现，若长期处于有烟环境中，每立方米的尼古丁超过6．8微克，那么，1000个人当中就有重个人会患上肺癌。分析你已经做过实验并以不同方式组织了这些数据。现在需要你分析一下你的发现并得出结论。1．被动吸烟危害的根源主要是来自香烟燃烧一端飘出的烟。这些烟雾比吸烟者所吸人的烟毒性更大。这些信息对你研究在室内的不吸烟者吸人有烟气体的含量有什么影响?2．如果你是一个不吸烟者，但和一个吸烟者生活在一起。你将花费在哪些方面?解释一下你的考虑。3．描述一下你被动吸烟的个人经历。报告假设你想告诉人们被动吸烟的危害，请给当地报纸写一封信，记述一下你对被动吸烟者的研究结果。1．用你实验所得的数据和发现以及上面所作的介绍，写一篇关于被动吸烟危害不吸烟者健康的文章。2．如果想进一步研究，可与国家癌症协会等一些组织联系，获取这方面的有关资料。3．用数据、表和图来证明你的立场，用数学方法来使你的读者相信你的结论。回答下面的问题以及你们列在下面需要考虑的问题。·如果你与某人在一间密封的房间里，而这个人吸了两盒烟(每盒有20支烟)，估计一下你吸入烟的量，它等于多少支烟！·基于你的研究，你是否赞成禁止在公共场所和比较封闭的房间中吸烟的法律?请解释原因。知识点数据的收集和分析、利用公式、作图、写出方程式并求解。教学建议·在介绍本项研究时可以先和学生讨论一下吸烟对人体的潜在危害。·鼓励每个学生都要参与，提供意见和看法。·鼓励学生有组织、有步骤地进行工作。·提醒学生仔细记录实验结果、有关数据和现象。提醒学生将记录保存完整，存放在适当的地方以防丢失。•至少3人一组。•调查可以分几部分进行，也可以在一个较完整的时间内完成。•每个小组提供调查实验用的材料和评分标准。时间安排步骤时间调查1课时，预备调查的工作每人20分钟，共4次结束调查1课时，小结评分标准3．3数学实验室：土壤的物理因素初中数学案例集初中网络教育资源集锦数学问题集2．1秦王暗点兵

秦王暗点兵问题和韩信乱点兵问题，都是后人对物不知其数问题的一种故事化。

物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。原题为：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”

这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。如果三件三件地数，就会剩下两件；如果五件五件地数，就会剩下三件；如果七件七件地数，也会剩下两件。问：这批物品共有多少件？

变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用3除余2，用5除余3，用7除余2。求这个数。

这个问题很简单：用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，所以23就是本题的一个答案。

这个问题之所以简单，是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性。如果没有这个特殊性，问题就不那么简单了，也更有趣儿得多。

我们换一个例子；韩信点一队士兵的人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人。问：这队士兵至少有多少人？

这个题目是要求出一个正整数，使之用3除余2，用5除余3，用7除余4，而且希望所求出的数尽可能地小。

如果一位同学从来没有接触过这类问题，也能利用试验加分析的办法一步一步地增加条件推出答案。

例如我们从用3除余2这个条件开始。满足这个条件的数是3n+2，其中n是非负整数。

要使3n+2还能满足用5除余3的条件，可以把n分别用1，2，3，…代入来试。当n=1时，3n+2=5，5除以5不是余3，不合题意；当n=2时，3n+2=8，8除以5正好余3，可见8这个数同时满足用3除余2和用5除余3这两个条件。

最后一个条件是用7除余4。8不满足这个条件。我们要在8的基础上得到一个数，使之同时满足三个条件。

为此，我们想到，可以使新数等于8与3和5的一个倍数的和。因为8加上3与5的任何整数倍所得之和除以3仍然余2，除以5仍然余3。于是我们让新数为8+15m，分别把m=1，2，…代进去试验。当试到m=3时，得到8+15m=53，53除以7恰好余4，因而53合乎题目要求。

我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》（1593年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法：

三人同行七十稀，

五树梅花廿一枝，

七子团圆月正半，

除百零五便得知。“月正半”暗指15。“除百零五”的原意是，当所得的数比105大时，就105、105地往下减，使之小于105；这相当于用105去除，求出余数。

这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时，用70乘以用3除的余数，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大，就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。

按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数可得：

70×2+21×3+15×4=263，

263=2×105+53，所以，这队士兵至少有53人。

在这种方法里，我们看到：70、21、15这三个数很重要，稍加研究，可以发现它们的特点是：

70是5与7的倍数，而用3除余1；

21是3与7的倍数，而用5除余1；

15是3与5的倍数，而用7除余1。因而

70×2是5与7的倍数，用3除余2；

21×3是3与7的倍数，用5除余3；

15×4是3与5的倍数，用7除余4。

如果一个数除以a余数为b，那么给这个数加上a的一个倍数以后再除以a，余数仍然是b。所以，把70×2、21×3与15×4都加起来所得的结果能同时满足“用3除余2、用5除余3、用7除余4"的要求。一般地，

70m+21n+15k(1≤m＜3,1≤n＜5,1≤k＜7)

能同时满足“用3除余m、用5除余n、用7除余k”的要求。除以105取余数，是为了求合乎题意的最小正整数解。

我们已经知道了70、21、15这三个数的性质和用处，那么，是怎么把它们找到的呢？要是换了一个题目，三个除数不再是3、5、7，应该怎样去求出类似的有用的数呢？

为了求出是5与7的倍数而用3除余1的数，我们看看5与7的最小公倍数是否合乎要求。5与7的最小公倍数是5×7=35，35除以3余2，35的2倍除以3就能余1了，于是我们得到了“三人同行七十稀”。

为了求出是3与7的倍数而用5除余1的数，我们看看3与7的最小公倍数是否合乎要求。3与7的最小公倍数是3×7=21，21除以5恰好余1，于是我们得到了“五树梅花廿一枝”。

为了求出是3与5的倍数而用7除余1的数，我们看看3与5的最小公倍数是否合乎要求。3与5的最小公倍数是3×5=15，15除以7恰好余1，因而我们得到了“七子团圆月正半”。

3、5、7的最小公倍数是105，所以“除百零五便得知”。

依照上面的思路，我们可以举一反三。

例如：试求一数，使之用4除余3，用5除余2，用7除余5。

解：

我们先求是5与7的倍数而用4除余1的数；5与7的最小公倍数是5×7=35，35除以4余3，3×3除以4余1，因而35×3=105除以4余1，105是5与7的倍数而用4除余1的数。

我们再求4与7的倍数而用5除余1的数；4与7的最小公倍数是4×7=28，28除以5余3，3×7除以5余1，因而28×7=196除余5余1，所以196是4与7的倍数而用5除余1的数。

最后求是4与5的倍数而用7除余1的数：4与5的最小公倍数是4×5=20，20除以7余6，6×6除以7余1，因而20×6=120除以7余1，所以120是4与5的倍数而用7除余1的数。

利用105、196、120这三个数可以求出符合题目要求的解：

105×3+196×2+120×5=1307。

由于4、5、7的最小公倍数是4×5×7=140，1307大于140，所以1307不是合乎题目要求的最小的解。用1037除以140得到的余数是47，47是合乎题目的最小的正整数解。

一般地，

105m+196n+120k(1≤m＜4,1≤n＜5,1≤k＜7)是用4除余m,用5除余n,用7除余k的数;(105m+196n+120k)除以140所得的余数是满足上面三个条件的最小的正数。

上面我们是为了写出105m+196n+120k这个一般表达式才求出了105这个特征数。如果只是为了解答我们这个具体的例题，由于5×7=35既是5与7的倍数除以4又余3，就不必求出105再乘以3了。

35+196×2+120×5=1027就是符合题意的数。

1027=7×140+47，由此也可以得出符合题意的最小正整数解47。

《算法统宗》中把在以3、5、7为除数的“物不知其数”问题中起重要作用的70、21、15这几个特征数用几句口诀表达出来了，我们也可以把在以4、5、7为除数的问题中起重要作用的105、196、120这几个特征数编为口诀。留给读者自己去编吧。

凡是三个除数两两互质的情况，都可以用上面的方法求解。

上面的方法所依据的理论，在中国称之为孙子定理，国外的书籍称之为中国剩余定理。2．2小数点的代价1967年8月23日，前苏联的联盟一号宇宙飞船在返回大气层时，突然发生了恶性事故--减速速降落伞无法打开。前苏联中央领导研究后决定：向全国实况转播这次事故。当电视台的播音员用沉重的语调宣布，宇宙飞船两个小时后将坠毁，观众将目睹宇航员弗拉迪米·科马洛夫殉难的消息后，举国上下顿时被震撼了，人们沉浸在巨大的悲痛之中。

在电视台上，观众看到了宇航员科马洛夫镇定自若的形象，他面带微笑地对母亲说："妈妈，您的图像我在这里看得清清楚楚，包括您的头上的每根白发，您能看清我吗？""能，能看清楚。儿啊，妈妈一切都很好，你放心吧！"这时，科马洛夫的女儿也出现在电视屏幕上，她只有12岁。科马少夫说："女儿，你不要哭。""我不哭……"女儿已泣不成声，但她强忍悲痛说："爸爸，您是苏联英雄，我想告诉您，英雄的女儿会像英雄那样生活的！"科马洛夫叮嘱女儿说："学习时，要认真对待每一个小数点。联盟一号今天发生的一切，就是因为地面检查时忽略了一个小数点……"

时间一分一秒地过去，距离宇宙飞船坠毁只有7分钟了，科马洛夫向全国的电视观众挥挥手说："同胞们，请允许我在这茫茫的太空中与你们告别。"

这是一次惊心动魄的告别仪式。科马洛夫永远地走了，他留下了对亲人对祖国永恒的爱。但更震撼人心的是他对女儿说的那番话。它警示着人们：对待人生不能有丝毫的马虎，否则，即使是一个细枝末节，也会让你付出深重的甚至是永远无法弥补的代价。2．3第一个算出地球周长的人2000多年前，有人用简单的测量工具计算出地球的周长。这个人就是古希腊的埃拉托色尼(约公元前275—前194)。埃拉托色尼博学多才，他不仅通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长。细心的埃拉托色尼发现：离亚历山大城约800公里的塞恩城(今埃及阿斯旺附近)，夏日正午的阳光可以一直照到井底，因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子。但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子。他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成。从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角。按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长。埃拉托色尼测出夹角约为7度，是地球圆周角(360度)的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长(40076公里)相差无几。他还算出太阳与地球间距离为1.47亿公里，和实际距离1.49亿公里也惊人地相近。这充分反映了埃拉托色尼的学说和智慧。埃拉托色尼是首先使用“地理学”名称的人，从此代替传统的“地方志”，写成了三卷专著。书中描述了地球的形状、大小和海陆分布。埃拉托色尼还用经纬网绘制地图，最早把物理学的原理与数学方法相结合，创立了数理地理学。2．4新婚夫妻买餐具

白羊和金牛是天上的两个著名星座。请允许我在此作为生活中一对新婚夫妻的代号。夫妻两人都喜欢吃西菜，所以他们决定去定购成套的西式餐具。

他们到了一家店里，发现身上所带的钱正好可以购买21把叉子和21把匙；或者28把小刀。不言而喻，刀、叉和匙的个数必须相等，这样才能配套，否则，有多有少，就不成体统了。

这对夫妻都是学数学的，所以，只要略施心算，便立即算出了应采购的刀、叉和匙的数目，并且正好用完了他们身上所带的钱，欢欢喜喜地回家去了。2．5田忌赛马

《史记》中有这样一个故事：有一天，齐王要田忌和他赛马，规定每个人从自己的上、中、下三等马中各选一匹来赛；并规定，每有一匹马来比赛；并约定，每有一匹马取胜可获千两黄金，每有一匹马落后要付千两黄金。

当时，齐王的每一等次的马比田忌同样等次的马都要强，因而，如果田忌用自己的上等马与齐王的上等马比，用自己的中等马与齐王的中等马比，用自己的下等马与齐王的下等马比，则田忌要输三次，因而要输黄金三千两。但是结果，田忌没有输，反而赢了一千两黄金。这是怎么回事呢？

原来，在赛马之前，田忌的谋士孙膑给他出了一个主意，让田忌用自己的下等马去与齐王的上等马比，用自己的上等马与齐王的中等马比，用自己的中等马与齐王的下等马比。田忌的下等马当然会输，但是上等马和中等马都赢了。因而田忌不仅没有输掉黄金三千两，还赢了黄金一千两。

这个故事与上一段老鼠逃跑的策略问题都表明，在有双方参加的竞赛或斗争中，策略是很重要的。采用的策略适当，就有可能在似乎一定会失败的情况下取得胜利的结果。

研究这种竞赛策略的数学分支，叫作博奕论，也叫对策论；它是运筹学中的一部分内容。2．6能掐会算的本事请在心里随便想好一个数,不要告诉他我想的数是几,只要默默地在这个数的基础上按照他的指令进行加、减、来、除运算。在进行了每一步运算之后,我要记住得数,但是不把得数告诉他,然后在这个得数的基础上按他的指令作新的运算。当按他的全部指令完成所有的运算之后,不用我说出来,他就知道最后得数是几,他说他能掐会算。为什么？2．7如何解决三个几何问题1有一双对边相等和一双对角相等的四边形是平行四边形。2设两个三角形有两边及外接圆半径成比例,则必相似。3一个三角形的两边和其中一边上的高(角平分线,中线),同另一三角形的两边和其中一边上的高(角平分线,中线)对应相等,则此两个三角形全等。三、新课