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文档简介

动态几何中的定值问题动态几何类问题是近几年中考命题的热点,题目灵活、多变,能够全面考查同学们的综合分析和解决问题的能力。这类问题中就有一类是定值问题,下面通过例题来探究这类问题的解答方法。【问题1】已知一等腰直角三角形的两直角边AB=AC=1,P是斜边BC上的一动点,过P作PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,则PE+PF=。方法1:特殊值法:把P点放在特殊的B点或C点或BC中点。此种方法只适合小题。方法2:等量转化法:这是绝大部分同学能够想到的方法,PF=AE,PE=BE,所以PE+PF=BE+AE。方法3:等面积法:连接AP,总结语:这虽然是一道动态几何问题,难吗?不难,在解决过程中(方法2抓住了边长AB的不变性和PE,PF与BE,AE的不变关系;方法3抓住了面积的不变性),使得问题迎刃而解。设计:大部分学生都能想到方法2,若其他两种方法学生没有想到,也不要深究,更不要自己讲掉。此题可叫差生或中等偏下的学生回答。(设计意图:由简到难,让程度最差的同学也有在课堂上展示自我的机会。)过渡:这道题太简单了,因为等腰直角三角形太特殊了,我若把等腰直角三角形换成一般的等腰三角形,问题有没有变化,又该如何解决?请看:【变式1】若把问题1中的等腰直角三角形改为等腰三角形,且两腰AB=AC=5,底边BC=6,过P作PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,则PE+PF还是定值吗?若是,是多少?若不是,为什么?方法1:三角形相似进行量的转化(板书)(M为BC中点)(解题要点:等腰三角形中,底边上的中线是常作的辅助线,抓住这条线的长度是不变量这个特点,建立PE,PF与AM之间的联系,化动为静)方法2:等面积法:(M为BC中点)(板书)(解题要点:抓住三角形面积是个不变量,用等面积法求解,这是在三角形中求解与垂线段有关的量的常用方法。)(若学生想不到,可提示:在此题中,不变的东西是什么?不变的这个量和变量PE,PF之间有什么联系,能不能用一个等式来表示?学生会三角形的边长,角度,周长,面积等都是不变量。(设计意图:由特殊到一般,引出求垂线段长度的常用方法:等面积法)(教师行为:出示题之后,让学生做,教师下去看。叫用方法1的同学先站起来回答,然后再叫用方法2的同学。以达到过渡到下一题的目的。)问:我把题中的5改为a,6改为b,PE+PF还是定值吗?你能求出这个定值吗?答:是定值,求解方法不变。问:由这题,你能得出等腰三角形的一个一般性结论吗?结论:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值PE+PF=(a为腰长,b为底边长,h为的边上的高)(等面积法可以求解,注意当顶角为钝角的情况)(设计意图:培养学生探究的精神,养成勤总结的习惯)问题:通过前面几题,你能说说在解答动态几何问题时解题的关键是什么?应该注意什么问题?答:不要被"动"、"变"迷惑,通过观察,分析,动中窥静,变化之中求不变,从而明确图形之间的内在联系,找到不变量或不变关系,找到解题的途径。在解题过程中要注意点或线在运动的过程中,是否需要讨论。过渡:上面两题中的动点都是在一定线段或直线上运动,有些同学可能还是觉得不够刺激,下面再来一道刺激一点的,让点在一个区域内运动,请看:【变式2】已知P为边长为a的等边三角形ABC内任意一动点,P到三边的距离分别为h1,h2,h3,则P到三边的距离之和是否为定值?为什么?(由上题的启示,学生可能很容易想到等面积法)为定值(M为BC中点)(板书)可以用几何画板度量长度,进行演示(设计意图:使学生更深一步理解等面积法的应用)过渡:研究完了P在三角形内部运动的情况,我们不防降低对P点的约束,让这个好动的点P动到三角形外部去,情况又会有何变化?【变式3】已知P为边长为a的等边三角形ABC外任意一点,P到三边的距离分别为h1,h2,h3,则P到三边的距离之间有何关系?为什么?图1图2图3在几何画板中操作,发现当点P移出三角形时,h1+h2+h3发生改变,那么h1,h2,h3有没有什么一定的关系呢?等面积法还可以用吗?△PAB,△PBC,△PAC的面积有何关系?这三个三角形的面积和不变的三角形ABC的面积有何关系?(只需讲解一种情况,其它让学生自己去补充)图1:为定值(板书)图2:为定值(只把结论板书)图3:为定值(只把结论板书)图1图2图3图1:为定值(板书)图2:为定值(只把结论板书)图3:为定值(只把结论板书)(设计意图:渗透分类讨论思想在平面几何中的应用。)(教师行为:在几何画板中作出个三角形,填充内部,让学生直观地发现几个三角形之间的面积关系。)过渡:前面我们研究的都是以三角形为背景的动态几何定值问题,下面再看一道以圆为背景的定值问题。【问题2】已知:已知弧AB为120度,在以AB为弦的弓形劣弧上取一点M(不包括A、B两点),以M为圆心作圆M和AB相切,分别过A,B作⊙M的切线,两条切线相交于点C.求证:∠ACB有定值,并求出这个定值.分析:问:这个图形中不变的是什么?不变的角是那一个?答:此题中的不变量是弧AB,因此∠AMB也是不变量;不变关系是相切。问:已知直线和圆已经相切,我们会想到什么?答:连接圆心与切线方法1:问:要证∠ACB有定值,可以转化为求什么为定值?答:要证∠ACB有定值,只需证∠CAB+∠CBA是定值,只需证∠MAB+∠MBA是定值,只要∠AMB是定值即可。证明:在△ABC中,∠MAB+∠MBA=180-∠AMB,∵M是△ABC的内心,∴∠CAB+∠CBA=2(180-∠AMB).∴∠ACB=180-(∠CAB+∠CBA)=180-2(180-∠AMB)=2∠AMB-180=60.∴∠ACB有定值60.方法2:问:要证∠ACB有定值,可以转化为求什么为定值?答:要证∠ACB有定值,只需证∠EMF是定值,只需证∠EMD+∠FMD是定值,只要∠AMD+∠BMD即∠AMB是定值即可。证明:在四边形CEMF中,∠C+∠EMF=180,∵M是△ABC的内心,∴∠DMA=∠EMA,∠FMB=∠DMB,∴∠EMD+∠FMD=2∠AMB=240∴∠EMF=120∴∠C=180-∠EMF=60总结:若要证的不变量比较困难,你可以先找找题中比较容易看出的不变量,然后建立两者之间的联系。(设计意图:多角度,多方位地研究动态几何中的定值问题,本题以圆为背景,研究角的定值问题。)过渡:上题是道有关定值的证明题,也就是已经明确方向肯定是定值了,若不是证明题呢?【问题3】(2014•苏州)如图,二次函数y=a(x2﹣2mx﹣3m2)(其中a,m是常数,且a>0,m>0)的图象与x轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴交于C(0,﹣3),点D在二次函数的图象上,CD∥AB,连接AD,过点A作射线AE交二次函数的图象于点E,AB平分∠DAE.(1)用含m的代数式表示a;(2)求证:为定值;(3)设该二次函数图象的顶点为F,探索:在x轴的负半轴上是否存在点G,连接GF,以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在,只要找出一个满足要求的点G即可,并用含m的代数式表示该点的横坐标;如果不存在,请说明理由.分析:(1)由C在二次函数y=a(x2﹣2mx﹣3m2)上,则其横纵坐标必满足方程,代入即可得到a与c的关系式.(2)求证为定值,一般就是计算出AD、AE的值,然后相比.而求其长,过E、D作x轴的垂线段,进而通过设边长,利用直角三角形性质得方程求解,是求解此类问题的常规思路,如此易得定值.(3)要使线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形,且(2)中=,则可考虑若GF使得AD:GF:AE=3:4:5即可.由AD、AE、F点都易固定,且G在x轴的负半轴上,则易得G点大致位置,可连接CF并延长,证明上述比例AD:GF:AE=3:4:5即可.归纳小结:解答动态几何定值探索问题的方法,一般有两种:第一种是分两步完成:先探求定值.它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法,常用特殊位置定值法,即把动点放在特殊的位置,找出定值的表达式,然后写出证明.第二种是采用综合法,直接写出证明.结束语:数学因运动不再枯燥,数学因运动而充满活力。希望同学们能够把握动态几何的解题规律。【课堂小结】问:这节课我们学习了一类怎么样的问题?用什么方法解决?答:动态几何中的定值问题特点:图形中的某个元素,按某种规律在运动类型:(1)点动(2)线动(3)旋转、平移(4)形变解题思路:不要被"动"、"变"迷惑,通过观察,分析,动中窥静,变化之中求不变,从而明确图形之间的内在联系,找到解题的途径。作业:1.阅读材料:如图1,在△AOB中,∠O=90°,OA=OB,点P在AB边上,PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,则PE+PF=OA.(此结论不必证明,可直接应用)(1)【理解与应用】如图2,正方形ABCD的边长为2,对角线AC,BD相交于点O,点P在AB边上,PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,则PE+PF的值为.(2)【类比与推理】如图3,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=4,AD=3,点P在AB边上,PE∥OB交AC于点E,PF∥OA交BD于点F,求PE+PF的值;(3)【拓展与延伸】如图4,⊙O的半径为4,A,B,C,D是⊙O上的四点,过点C,D的切线CH,DG相交于点M,点P在弦AB上,PE∥BC交AC于点E,PF∥AD于点F,当∠ADG=∠BCH=30°时,PE+PF是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.2.(2014•宿迁)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0,c<0)交x轴于点A,B,交y轴于点C,设过点A,B,C三点的圆与y轴的另一个交点为D.(1)如图1,已知点A,B,C的坐标分别为(﹣2,0),(8,0),(0,﹣4);①求此抛物线的表达式与点D的坐标;②若点M为抛物线上的一动点,且位于第四象限,求△BDM面积的最大值;(2)如图2,若a=1,求证:无论b,c取何值,点D均为顶点,求出该定点坐标.3.如图,在中,,O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的半圆与AC切于点D,与AB交于点E,若AD=2,AE=1,求的值和四边形BCDE的面积。

参考答案:1.考点: 圆的综合题;等边三角形的判定与性质;矩形的性质;正方形的性质;弦切角定理;相似三角形的判定与性质.专题: 压轴题;探究型.分析: (1)易证:OA=OB,∠AOB=90°,直接运用阅读材料中的结论即可解决问题.(2)易证:OA=OB=OC=0D=,然后由条件PE∥OB,PF∥AO可证△AEP∽△AOB,△BFP∽△BOA,从而可得==1,进而求出EP+FP=.(3)易证:AD=BC=4.仿照(2)中的解法即可求出PE+PF=4,因而PE+PF是定值.解:(1)如图2,∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB=OC=OD,∠ABC=∠AOB=90°.∵AB=BC=2,∴AC=2.∴OA=.∵OA=OB,∠AOB=90°,PE⊥OA,PF⊥OB,∴PE+PF=OA=.(2)如图3,∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=OD,∠DAB=90°.∵AB=4,AD=3,∴BD=5.∴OA=OB=OC=OD=.∵PE∥OB,PF∥AO,∴△AEP∽△AOB,△BFP∽△BOA.∴,.∴==1.∴+=1.∴EP+FP=.∴PE+PF的值为.(3)当∠ADG=∠BCH=30°时,PE+PF是定值.理由:连接OA、OB、OC、OD,如图4.∵DG与⊙O相切,∴∠GDA=∠ABD.∵∠ADG=30°,∴∠ABD=30°.∴∠AOD=2∠ABD=60°.∵OA=OD,∴△AOD是等边三角形.∴AD=OA=4.同理可得:BC=4.∵PE∥BC,PF∥AD,∴△AEP∽△ACB,△BFP∽△BDA.∴,.∴==1.∴=1.∴PE+PF=4.∴当∠ADG=∠BCH=30°时,PE+PF=4.点评: 本题考查了正方形的性质、矩形的性质、弦切角定理、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识,考查了类比联想的能力,由一定的综合性.要求PE+PF的值,想到将相似所得的比式相加是解决本题的关键.2.考点:二次函数综合题.分析:(1)①利用待定系数法求抛物线的解析式;利用勾股定理的逆定理证明∠ACB=90°,由圆周角定理得AB为圆的直径,再由垂径定理知点C、D关于AB对称,由此得出点D的坐标;②求出△BDM面积的表达式,再利用二次函数的性质求出最值.解答中提供了两种解法,请分析研究;(3)根据抛物线与x轴的交点坐标、根与系数的关系、相似三角形求解.解答:解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(﹣2,0),B(8,0),C(0,﹣4),∴,解得,∴抛物线的解析式为:y=x2﹣x﹣4;∵OA=2,OB=8,OC=4,∴AB=10.如答图1,连接AC、BC.由勾股定理得:AC=,BC=.∵AC2+BC2=AB2=100,∴∠ACB=90°,∴AB为圆的直径.由垂径定理可知,点C、D关于直径AB对称,∴D(0,4).(2)解法一:设直线BD的解析式为y=kx+b,∵B(8,0),D(0,4),∴,解得,∴直线BD解析式为:y=﹣x+4.设M(x,x2﹣x﹣4),如答图2﹣1,过点M作ME∥y轴,交BD于点E,则E(x,﹣x+4).∴ME=(﹣x+4)﹣(x2﹣x﹣4)=﹣x2+x+8.∴S△BDM=S△MED+S△MEB=ME(xE﹣xD)+ME(xB﹣xD)=ME(xB﹣xD)=4ME,∴S△BDM=4(﹣x2+x+8)=﹣x2+4x+32=﹣(x﹣2)2+36.∴当x=2时,△BDM的面积有最大值为36;解法二:如答图2﹣

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