2023年广东省深圳市九年级中考数学培优

目录

一、探究应用型问题...................................................2

二、探索型问题综合...................................................8

三、阅读理解问题....................................................17

四、典型几何模块化综合..............................................27

五、二次函数与圆综合（一）.............................................37

六、二次函数与圆综合（二）.............................................44

七、典型压轴题（一）..................................................52

八、典型压轴题（二）................................................58

九、典型压轴题（三）——圆...........................................66

十、典型压轴题（四）..................................................75

十一、易错盘点—二次函数...........................................85

十二、易错盘点——圆................................................90

十三、易错盘点——综合分析..........................................94

考点链接

一、探究应用型问题

经过对已知条件的探究、得到一些新的方法、结论、启示、解题思想等，以便应用在下一

步处理较为复杂的问题上。一定要注意在探究过程中所得到的提示。

核心透析

经典1:CD

(D探究新知：-

如图1,已知AABC与AABD的面积相等，/

试判断AB与CD的位置关系，并说明理由.

(2)结论应用：

①如图2,点M,N在反比例函数y=k(k>0)的图象上，过点M作MELy轴，过点N

作NFJ_x轴，垂足分别为E,F.试

证明：MN//EF.E

②若①中的其他条件不变，只改变点M,Ny

的位置如图3所示，请判断MN与EF是否平行

经典2：

问题背景

（1）如图1,△A8C中，DE〃BC分另lj交AB,AC于D,E两点，A

过点"乍EF〃AB交BC于点F.请按图示数据填空：四

DE

边形D8FE的面积S=,

△EFC的面积S1=JQ,S3

△ADE的面积邑=卫.S\

B

V五一

图1

探究发现

（2）在（1）中，若BF=a,FC=b,DE与8c间的距离为〃.请证明6=4SS.12

拓展迁移

（3）如图2,£7DEFG的四个顶点在△A8c的三边上，若

MDG、&DBE、AGFC的面积分别为2、5、3,试期（？A

jFOiAABC的面积.

冬2

最优练习

1、情境观察

将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到AABC和初七。，如图1所示.将△AC©的顶点A'

与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(AY8在同一条直线上，如图2所示.观察

图2可知：与BCffl等的线段是，ZCAC'=.

女唱3,3BC中，AG1BC于点G,以A为直角顶点，分别以A8、AC为直角边，向AABC外作

等腰MABE和等腰MACF,过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ

之间的数量关系，并证明你的结论.

ACNF,射线GA交EF于点H.若AB=kAE,AC=kAF,试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理

由.

M

2、问题情境

已知矩形的面积为a(a为常数，。＞0)当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？

数学模型

设该矩形的长为X,周长为y,则y与X的函数关系式为y=2(x+。乂毛＞。)

x

探索研究

⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数

1

y=X+_(X＞0)的图象性质.

X

①填写下表，画出函数的图象：y八

5

②

4

X>>>。1111234>)>>

4323

y999999992

②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；1

③在求二次函数y=ax2+bx+c(aW0)的最大(小)

J--------1---------1---------1>

—12345^

值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到.请v

你通过配方求函数产x+(x4)的最小值.a

X

解决问题

⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案.

3阅读理解：对于任意正实数Y

_旷沁,：.a-2jO7+b^Q,：.a+b^2,

只有当。=姗，等号成立.

,只有当a=

结论：在22WTa、6均为正实数)中，若a6为定值p,贝!Ja+622

。时，a+6有最小值2.J万

根据上述内容，回答下列问题：

若R>0,只有当而时，加+1有最小值.

m

思考验证：如图1,AB为半圆0的直径，C为半圆上任意一点(与点A、B不重合)过点C作CD1AB,

垂足为D,AD=a,DB=b.

试根据图形验证。+匕》2曲，并指出等号成立时的条件.

12

探索应用：如图2,已知A(—3,0),B(0,-4),P为双曲线y(43上的任意一点，

x

过点P作PCJ_Att于点C,PD,谕于点D.求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的

蹴

自由练习

1、（1）探究新知：

①如图，已知AD〃8C,AD=BC,N是直线CD上任意两点.求

证：△A8M与△ABN的面积相等.

MDNC

AB

图①

②如图，已知AD//BE,AD=BE,AB〃CD〃EF,点、M是直线CD上任一点，点G是直线EF

上任一点.试判断8M与△ABG的面积是否相等，并说明理由.

（2）结论应用:

图②

如图③，抛物线产62+板+C的顶点为C（1,4）

交x轴于点A（3,0）交y轴于点D.试探究

在抛物线产以”乐+c上是否存在除点C以外的点

E,使得与△ACD的面积相等？若存在,

请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由.

（友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论.）

图③备用图

知识链接二、探索型问题综合

探索型问题一般有两类：

（1）探索条件的开放题；（2）探索结论的开放题。探

索型问题的特点：

Q）题设开放型探索性问题的特点是给出结论，不给出条件或条件残缺，需在给定结论的前

提下，探索结论成立的条件，但满足结论成立的条件往往不唯一，答案与已知条件对整个问题而

言只要是充分的、相容的、独立的，就视为正确的；

2）结论开放型探索性问题的特点是给出一定的条件而未给出结论，要求在给定的前提条件

下，探索结论的多样性，然后通过推理证明确定结论；

核心透析

类型一条件开放型问题

经典1.如图，四边形A8CD是正方形，ZMBE是等边三角形，M为对角线B。（不含8点）上任

意一点，BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM.CM.

（1）求证：/\AMB冬AENB；

⑵①当M点在何处时，AM+CM的值最小；

②当M点在何处时，AIV/+BM+CM的值最小，并说明理由；____________

⑶当4W+8M+CM的最小值为JI+1时，求正方形的边长./

经典2.如图，抛物线与x轴交于A(-1,0)B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,一3)设抛物

线的顶点为D.

(1)求该抛物线的解析式与顶点。的坐标；

(2)以B、C、。为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？

(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、4c为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指

出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

类型二结论开放型问题

经典3.如图，是由RtZ\ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结8'交斜边于点£,CC

的延长线交BB，于点F.

(1)证明：AACES^FBE；

(2)设NABC=a,NCAC=试探索a、〃茜足什么关系时，△ACE与^FBE是全

等三角形，并说明理由.

⑵如图，设。。与x轴正半轴交点为P,融、F是线段OPH恸点(与点P不重合)连接并延长。E、

。尸交。。于点8、C,直线BC如轴于点G,若ADEb是以EF为底的等腰三角形，试探索

sinNCGO的大小怎样变化，请说明理由。

类型三、综合探索型问题

经典5.ASBC中，NA=/8=30。，AB=2.电ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位

于坐标原点。（如图），/\ABC可以绕点。作任意角度的旋转.

（1）当点B在第一象限，纵坐标是豳，求点B的横坐标；

2

（2）如果抛物线），=以2+法+。（80）的对称轴经过点C,请你探究：

①当。=5,匹」，c\35时，鱼两点是否都在这条抛物线上？并说明理

425

由；

②设b=-2am,是否存在这样的m的值使48两点不可能同时在这条抛物线上？若存在,

直接写出m的值；若不存在，请说明理由.

最优练习

1.如图1,已知矩形/眄，点C题DE的中点，KAB=2AD.（1）

判断AABC的形状，并说明理由；

（2）倒寺图1中的A4BC固定不变，绕点C辘DE所在的直线MN到图2中的位置（当垂线段

AD、BE在直线MN的同侧）.试探究线段AO、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证

明；

（3）僦图2中的AABC固定不变，继续绕点（7端。石所在的直线图3帷位置（当

垂线段AD、BE在直线MN的异侧）.试探究线段AO、BE、DE长度之间有什么关系？并

给予证明.

2.如图1、2是两个相似比为1：拉的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三

角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合。

⑴在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E,F,如图

4。求证：AE2+BF2^EF2

⑵若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和延长线分别与A6交于点E、F,

女阍5,止时结论A1+B/lE:产是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。

3、在△ABC中，NB4C=90°AB<AC,M是3c边的中点，MN±3C交AC于点

N.动点尸从点8出发沿射线84以每秒厘米飒度运动.同时，动点。从点N出发沿

射线NC运动，且始终保持设运动时间为1秒(Z>0)

(1)MBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由；

(2)若ZABC=60°AB=43®^

①求动点Q的运动速度；

②设△APQ的面积为S(平方厘米)求S与f的函数关系式；

(3)探求BP\PQ2、C。?三者之间的数量关系，以图1为例说明理由.

AA

4、如图1,在4ABC中，AB=BC,P为AB边上一点，连接CP,以PA、PC为邻边作nAPCD,AC

与PD相交于点E,已知NABC=NAEP=a(0°<a<90°).

(1)求证：ZEAP=ZEPA；

(2)oAPCD是否为矩形？请说明理由；

(3)如图2,F为BC中点，连接FP,将NAEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到/MEN(点M、N

分别是NMEN的两边与BA、FP延长线的交点).猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结

论.

DDCC

A

EPBMAPB

图IN图2

自由练习

（1）如图1,在正方形460冲，/凝式边（不含端点6、O上任意一点，隰比延长线上一点，力是

/比摘平分线上一点.若册90°,求证：A庐MM

下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明.证

明：在边用上截取/斤比，连ME.正方形4a舛，/庐Na决90°,AB-BC.

：./恻区180°—/4肠『/4修180°—/B—/NMAB=NMAE.

（下面请你完成余下的证明过程）

4D

则当/图淤60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由.

°时，结论4生腑仍然垃（直接写出答案，不需要证明）

三、阅读理解问题

知识链接

所谓数学的阅读理解题,就是题目首先提供一定的材料,或介绍一个概念,或给出一种解法

等,让你在理解材料的基础上，获得探索解决问题的方法,从而加以运用，解决实际问题.其目的

在于考查学生的阅读理解能力、收集处理信息的能力和运用知识解决实际问题的能力.

解决型阅读题的关键是首先仔细阅读信息，弄清信息所提供的数量关系，然后将信息转化

为数学问题，感悟数学思想和方法，形成科学的思维方式和思维策略，进而解决问题.

核心透析

类型之一考查掌握新知识能力的阅读理解题

命题者给定一个陌生的定义或公式或方法，让你去解决新问题，这类考题能考查解题者自

学能力和阅读理解能力，能考查解题者接收、加工和利用信息的能力。

经典1.让我们轻松一下，做一个数字游戏：

第一步：取一个自然数中5,计算行+1得a；)

第二步：算出a的各位数字之和得n,苏十算万+1痴；2

第三步：算出a的各位数字之和得〃，再计算4+1得a；3

依此类推，则疔.

经典2.用与“<=”表示一种法则：(=6)=-b,(aUb)=-a,如(2=3)=-3,则

(2010=201g(2009n2008)j

经典3.符号“称为二阶行列式，规定它的运算法则为：=ad_bc,请你根据上述

cacd

21

规定求出下列等式中X的值._1]]

-111

1-XX

类型之二模仿型阅读理解题

在已有知识的基础上，设计一个陌生的数学情景，通过阅读相关信息，根据题目引入新知识

进行猜想解答的一类新题型.解题关键是理解材料中所提供的解题途径和方法，运用归纳与类比

的方法去探索新的解题方法.问题解答并不太难，虽出发点低,但落脚点高.是“学生的可持续发展”

理念的体现.

经典4.阅读理解：若p、q、m为整数，且三次方程x3+px2+"+m=O有整数解c,贝！|将c

代入方程得：c3+pc2+qc+m=O,移项

得m=-c3-pc2-qc>

BPW：m=cx.(^c2-pc-q}>

由于-『-pc-g与c及,"都是整数，所以c是m的因数.

上述过程说明：整数系数方程^+pxi+qx+m=Q的整数解只可能是m的因数.

例如：方程/+4丁+3n-2=0中一2的因数为土1和土2,将它们分别代入方程

始+49+3彳-2=0进行验证得：x=-2是该方程的整数解，一1、1、2不是方程的整数解.

解决问题:(1根据上面的学习，请你确定方程X3+X2+5X+7=O的整数解只可能是哪几个整数?

(2)方程V-2?-4x+3=0是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由

经典5、实际问题：某学校共有18个教学班，每班的学生数都是40人.为了解学生课余时间

上网情况，学校打算做一次W1样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级，那么

全校最少需抽取多少名学生？

建立模型：为解决上面的“实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：

在不透明的口袋中装有红、黄、白三种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同）现要确保从

口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？为

了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化：

（1）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸

出多少个小球？

假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们

的颜色各不相同，那么只需再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需摸出小

球的个数是：1+3=4（如图①）

0若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？

我们只需在（1）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保S少有3个小球同色，即最少需摸出小

球的个数是：1+332=7（如图②）

G）若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个是同色的呢？

我们只需在（2）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有4个小球同色，即最少需摸出小

球的个数是：1+333=10（如图③J

（10）若要确保从口袋中摸出的小球至少有10个是同色的呢？

我们只需在（9）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有10个小球同色，即最少需摸

出小球的个数是：1+33（10-1）=28（如图⑩）

模型拓展一：在不透明的口袋中装有红、黄、白、蓝、绿五种颜色的小球各20分（除颜色外完全相同）

现从袋中随机摸球：

（1）若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是：

（2）若要确保摸出的小球至少有10个同色，则最少需摸出小球的个数是；

（3）若要确保摸出的小球至少有〃个同色金<20）则最少需摸出小球的个数是.模型拓展二:

在不透明口袋中装有机种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同）现从袋中随机摸球：

（1）若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是.

（2）若要确保摸出的小球至少有〃个同色（〃<20）则最少需摸出小球的个数是.

问瞬缺（1）请把本题中的“实际问题”转化为一个从口袋中摸球的数学模型；

（2）根据（1）中建立的数学模型，求出全校最少需抽取多少名学生.

类型之三操作型阅读理解题

操作型阅读理解题通常先提供图形变化的方法步骤.解题的时候，你只要根据题目所提供的操

作步骤一步步解题即可.它能有效检测学生的创新意识和创新能力的好题型，是中考改革的必然产物.

这类问题能较好地考查学生用数学的能力，具有很强的开放性并具有一定的趣味性和挑战性.

经典6.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只

有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.

如图，点4B、a后'别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点龙I勺坐标为(0,-3),做为半圆的直径，

经典7.请阅读下列材料：

问题：如图1,在菱形ABCD和哪BEFG中，点A,B,E在同一条直线上，P跆段DF的中点，

PG

连结PG,PC.若NA8C=NBEF=60，探究PG与PC的位置关系及一的值.

PC

小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H,构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

PG的值；

(1)写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及——

PC

(2)将图1中的血BEFG绕点B顺柠针瓣专，幽^BEFG颍寸角线BF恰好与翅ABCD的边AB在同

一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图2)你在(1)中得到的两个结论是否发

生变化？写出你的猜想并加以证明.

(3)若图1中ZABC=N8EA2o(0<c<90),将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原

PG

问题中的其他条件不变，请你直接写出•—的值(用含a的式子表示)

PC

最优练习

1.理解发现

阅读以下材料：

对于三个数a,b,c,用表示这三个数的平均数，用min{a,b,c}表示这

三个数中最小的数.例如：

-1+2+341)

M{-123}=-----------=3；min{-123}=-1；min{-12,a}=〈《卜口

解决下列问题：

(1)填空：min{sin30cos45tan3()}=；

如果min{22x+24—2x}=2,则x的取值范围为WxW.

(2)①如果M{2,x+12x}=min{2,x+12x},求x；

②根据①，你发现了结论“如果M{a,b,c}=min{«,b,c},那么(填

a,b,c•的大小关系,证明你发现的结论；

③运用②的结论，填空：

若M{2x+y+2,x+2)2x-y}=min{2x+y+2,x+2)2x-y},则

x+y^□.

(3)在同一直角坐标系中作出函数产x+1,尸(x-Ip,尸2-x的图象(不需列表描点)通

过观察图象，填空：min{x+l(x—1)22-}的最大值为.

2.解方程以-1|+卜+2=5。由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和一2的距

离之和为5的点对应的x的值。在数轴上，1和一2的距离为3,满足方程的x对应点在1的右

边或一2的左边，若x对应点在1的右边，由图（17）可以看出x=2；同理，若x对应点在一2的

左边，可得x=-3,故原方程的解是x=2或x=-3

<--------4-------------------►>

---------------------1-------——,

-2012

参考阅读材料，解答下列问题：

（1）方程出+3=4的解为

（2）解不等式|%—3|+|x+4但9；

（3）若|尤一3|-|x+4|sa对任意的x都成立，求a的取值范围.

3、X市与W市之间的城际铁路正在紧张有序地建设中.在建成通车前，进行了社会需求调查,

得到一列火车一天往返次数m与该列车每次拖挂车厢节数n的部分数据如下：

车厢节数n4710

往返次数m16104

⑴请你根据上表数据，在三个函数模型：①^:/^+从八b为常数，kWO）；②y=4岁（

常数，kWO）；©y=ax2+bx+c{a,b、c为常数，aWO）中，选取一个适合的函数模型，求

出的m关于"的函数关系式是m=（不写n的取值范围）；

⑵结合你求出的函数，探究一列火车每次挂多少节车厢，一天往返多少次时，一天的设廿运营人数

Q最多（每节车厢载客量设定为常数p）.

4、我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形

为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.

（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称，；

（2）如图（1）已知格点（小正方形的顶点）0（00）,430）,8（母），请你画出以格点为顶&OA,

B

E

图（2

自由练习

⑴分析材料：

①如图1,在AABC所在平面上存在一点P,使它到三角形三顶点的距离之和最小，则

称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△4BC的费马距离.

②如图2,若的四个顶点在同一个圆上，贝IJ有A82co+BCNA0=AC28D.此

①请你利用托勒密定理，解决如下问题：

如图3,已知点P为等边△ABC外接圆的部上任意一点.求证：PB+PC=PA.

②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中NB、ZC均小于120。）的费马

点和费马距离的方法：

第一步:如图4,在AABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；第

二步：在曲上取一点P,连接PA、P玲、PCSPD.Oo

易知PM+%8+PoC=PM+（PoB+PoC）=PM+；

第三步：请你根据⑴①中定义，在图4中找出AA8c的费马点P,线段的长度即为AABC

的费马距离.

⑶知识应用：

2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水

困难.为解决老百姓饮水问题，解放军某部到云南某地打井取水.

已知三村庄48、C构成了如图5所示的△ABC（其中NA、NB、ZC均小于120叽现选

取一点P打水井，使水井P到三村庄4B、C所铺设的输水管总长度最小.求输水

管总长度的最小值.A

.BC

3k图5

305

4km

四、典型几何模块化综合

模块一：两段加和求最小值（折转直，异侧一一三点共线）

模型呈现：作图：如图，直线AB的同侧有两点C、D,在AB上求作一点P,使PC+PD最小。

中考链接

1、（达州）在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，

点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ,则△PBQ周长的最小值为

cm（结果不取近似值）.

2、（抚顺市）如图所示，正方形ABCO的面积为12,△ABE是

等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点

P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

A.2-J3B.2RC.3D.卡

3、（鄂州）已知直角梯形ABCD中，AD//BC,ABLBC,AD=2,

叱屐5,点雁式上移动，则当必+/W最小值时，△初9中边

/吐的高为（）

4

八一洞B—b

1717

「8b

C、—1厂D、3

17

4、(陕西)如图在锐角△ABC中AB=4,NBA渣45°,

NBAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点，c

则BM+MN的最小值是.

5、(新疆乌鲁木齐市)如图，在矩形0LBC中，已知4、CW点的可/、八

/M^\D

。为。4的中点.设点尸是N40C平分线上的一个动点(不上\

(1)试证明：无论点P运动到何处，PC总与相等；/R

(2)当点尸运动到与点B的距离最小时，试确定过0、P、D-N

(3)设点E是(2)中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，APOE的周长最小？求出此时

点P的坐标和△PDE的周长：

(4)设点N是矩形。48C的对称中心，是否存在点P,使NCPN=90°?若存在,请直接写出

点尸的坐标.

v

模块二：三段加和求最小值（折转直）

模型呈现：作图：A、B为两定点，C、D分别轴Y轴上的动点，请确定C、D的位置，以便使四

一，一小Y

边形ABCD周长最短。

中考链接

1、如图，以眺的8c的顶点。为原点，力所在的直线为对由，%所在的直线为例，建立平面直角坐

标系.已知的=3,比三2,点破4?的中点，在刃上取一点D,将△飒沿ZiZ翻折，使点/落在比边上

（1）直接写出点反型坐标；-------------\-----------

（2）设顶点为加勺抛物线交斶咖■点P,且以点E、F、"T股的三角形是舞三角形，求该抛物线

的解析式；\

（3）在斓1、冲山上是否分别存在点KN,使得四边形网硬的配装J、？如果

存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由.A

2、（恩施市）

恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世

界级自然保护区星斗山（8）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km,A、8到直线X的距

离分别为10km利40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向4、3两景区运送游客.小民

设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P9到A、8的距离之和

S^PA+PB,图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A,连接34交直线X于

点P）P至IJA、5的距离之和S2=PA+PB.

（1）求S、S?,并比较它们的大小;

（2）请你说明S2=PA+PB的值为最小；y|

（3）拟建的恩施到张家界高速公路y与沪渝高速公路垂直，建立如巾（3）所示的直角坐标系，8到

直线y的距离为30km,请你在X旁和y旁各修建一服务区P、Q,上P、/8、Q组成的四边形

的周长最小.并求出这个最小值.„I\

图（1）图(2)图(3)

3、如图1,抛物线y=ax?+bx+c(a#0)的顶点为C(1,4)交x轴于A、B两点，交y轴于点D,其

中点B的坐标为(3,0)

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为2,若直线PQ为

抛物线的对树血点G为直线PQ上的一动点，贝k轴上是否存在一点H,使D、G,H、F四点所围成

的四边形周长最小.若存在，求出这个最4值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；

图1图2

模块三：将不相连的不定长线段，通过平移连接后，再用模型一（折转直）

1、在直角坐标系中，A（1,-3）B（6,-1）C（a+3,0）,D（a,0）,当a为何值时，四边形ABCD周

长最小，并求此最小值。

2、如图，抛物线广加+公-4a经过4-10）、。（⑼两点，与x轴交于另一点6.

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点。（加，m+1）在第一象限的抛物线上，求点。关于直线5c对称的点的坐标；

（3）P为抛物线顶点，HK平行于X轴，并过点（0,3）CE平行于X轴，E为其上一动点，做EF垂直

于HK与F,求PE+EF+FB的最小值，并确定此时，EF两点坐标。

模块四：两段做差求最大值(同侧一一三点共线)

模型呈现：如图，直线AB的同侧有两点C、D,在AB上求作一点P,使|PC-PD|最大。

变式如图,直线AB的两侧有两点C、D,在AB上求作一点P,使|PC-PD|最大。

中考链接：

11,

1,如图，已知直线y=_x+l与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线yj=^+bx+c与

直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1,0)

(1)求该抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使HM-MC|的值最大，\1

求出点M的坐标。

模块五：侧面展开后直线距离最短。

1、如图所示，有一长为8cm,宽为4cm,高为5cm的长方体盒子，在它的底面A点有一只蚂蚁，它想吃

到上底面上与A点柢掷JB点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？你能求出来吗？

2如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6cm

的正三角形ABC,母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃

粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的

最短路程是cm.

3如图，有一个长方体，它的长BC=4,宽AB=3,高BB]

爬行到G，这时小虫爬行的最短路径的长度是。

4、如图，一圆柱体的底面周长为24cm,BC是上底面直径，母

线（高）AB为4cm,一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行

到点C的最短路程大约是（）

5.如图，圆锥的母线长0A=6,底面圆的半径为2,一小虫在圆锥

底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处，则小虫所走的最短距

离为（）.

B.4%

C.6D.6j

A

模块六：动线段和转化成点到直线的距离最短

1.(浙江省绍兴市)定义一种变换：平移抛物线瓦得到抛物线尸2,使尸2经过Fi的顶点A.设F2

的对称轴分别交居，B于点。，8，点。是点A关于直线BD的对称点.

⑴女唱1,若色y=x2,经过变换后，得至UF：点C的坐标为(2,0),则

12

①6的值等于;②四边形旗CD为

(2)如图2,若户y=ax2+c,经过变换后，点5为(2,c—l)求的面积；

⑶如图3,若F:y=x2-x+,经过变换后，AC=2，点尸是直线AC上的动点,

,333

求点P到点。的距离和到直线AD的距离之和的最小值.

8)SJ

®2

2、（北京市）如图，在平面直角坐标系X。），中，4ABC三个顶点的坐标分别为

A（-6,0）,8（6,0）,。（0,4版），延长AC至晾D,使CD=Ug,过点D何E〃AB交BC的延

长线于点E.一

（1）求D点的坐标；

（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF,若过B点的直线尸fcc+b将四边形CDFE分

成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；

（3）设G为y轨k一点，点P从酸产气+力与y轴的交点出发，先沿y*岷处G点，再沿

GA至处A点,若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍,试确定G点的位置使P点

按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）

五、二次函数与圆综合(一)

核心透析

经典1:

如下图，在平面直角坐标系中，点B在直线y=2x上，过点B作r轴的垂线，垂足为A,0A=5,

若抛物线y^_jC+bx+c过点0,A两点。

6

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若A点关于直线尸2x的对称点为C,判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；

(3)如图2,在(2)的条件下，。01是以BC为直径的圆。过原点0作01的切线OP,P为切点

(P与点C不重合)抛物线上是否存在点Q,使得以PQ为直径的圆与。相切？若存在，求出点Q的横

坐标；若不存在，请说明理由。

经典2：

已知：函数y的图象与x轴只有一个公共点.

(1)求这个函数关系式；

(2)如图所示，设沸I数卢加+尤+1图象的顶点为反与)，轴的交点为4£为图象上的一点，若

以线段咫为直径的圆与直线45相切于点B,求。点的坐标；

(3)在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线外的对称点为必，试探索点醒否在

抛物线y="2+x+l上，若在抛物线上，求出.，掠的坐标；若不在，请说明理由.

经典3：

已知：如图所示，扰舷线y=a^+bx+c(a^O)经过x轴上的两点A(x,O),B(x,2,0)和y轴上

的点。(0,--),©P的1心P在y轴上，且经过B、C两点，若/?=瓜，AB=2.73

2

(1)求抛物线的解析式；

(2)1)在抛物线上，且C、I)两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD是否经过圆心P?并说明理

由；

(3)设直线BD交。P于另一点E,求经过点E的OP的切线的解析式.

经典4：

如图所示，二次函数)，=奴2+灰+。过A(-1,0)B(3,0)C(0,-3)M为顶点.

(1)求二次函数的解析式；

(2)AABM内切圆圆心为D,OD与AB相切于N与BM相切于E,求它的半径；

(3)在(1)中二次函数图像上是否存在一点P,使A/V1N的面积为AACM面积的2001倍？若存

在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由.

最优练习

1、如图，已知。P的圆心坐标为（15,0）,半径为2.5,OP与x轴交于A、B两点（点A在点

B的左侧）与y轴的负半轴于点D.

（1）求D点的坐标；

（2）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；

（3）设平行于x轴的直线交此抛物线于E、F两点，问:是否存在以线段EF为直径的圆0'恰好与0P

相外切？若存在，求出其半径r及圆心。'的坐标；若不存在，请说明理由.

2、已知：如图所示，在平面直角坐标系中，过点A(0,2)的直线AB与以坐标原点为圆心，为半径C

的圆相切于点C,且与x轴的负半轴相交于点B.

(1)求NBAO的度数；

(2)求直线AB的解析式；

(3)若一抛物线的顶点在直线AB上,且抛物线的顶点和它与X轴的两个交点构成斜边长为2的直

角三角形，求此抛物线的解析式.

自由练习

1、如图所示，已矢碘物线y=lY—X+左的图象与丁轴相交于点8(0,1)，点C(m/)在该

4

抛物线图象上，且以BC为直径的。M修过顶点A.

(1)求女的值；

(2)求点。的坐标；

(3)若点尸的纵坐标为且点P在该抛物线的对称轴/上运动，试探索：

①当S|<S<S2时，求r的取值范围(其中：S为aPAB的面积，S1为X0AB的面积,

S2为四