2023届北京二高三最后一卷数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.执行下面的程序框图，如果输入加=1995,〃=228,则计算机输出的数是()

(W)

//

|求m除以脑余幽|

IEI

/输出m/

A.58B.57C.56D.55

2./+〃=］是asine+》cos6Wl恒成立的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知函数/(x)=Asin(0x+g］-a(O<a<A)在区间0,二有三个零点七，A,刍，且王〈/〈七，若

\6y|_3co

S

%+2々+七=与TC，则/(6的最小正周期为()

712444

A.—B.—C."D.--

233

4,已知数列｛《,｝的前”项和为S“，且%+|=及二1,q=l,nwN：则｛4｝的通项公式4=()

2n—i

A.nB.H+1C.2n-lD.2n+l

5.已知x=0是函数/(x)=x(依-tanx)的极大值点，则。的取值范围是

A.(f,T)B.(fl]

C.[0,+oo)D.[1,-Hx>)

6,若函数/(x)=sin2x的图象向右平移自个单位长度得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间［0,。］上单调递增,

6

则〃的最大值为().

715万7乃

D.

~12~12

7.设集合知={乂/+3%+2>0},集合N={x|(—)*44},则M<JN=()

A.1x|x>-2|B.1x|x>-11C.{%|x<-21D.R

8.下列函数中，在区间(O,+8)上为减函数的是()

2

A.y=x/x+1B.y=x-\D.y=10g2X

9.已知f(x)=ax?+bx是定义在［a-L2a］上的偶函数，那么a+b的值是

2

33

]_

22

2

10.已知实数X,y满足、+y24l,贝!1产+丁—2|+,+y2—6x+7］的最小值等于()

A.672-5B.6A/2-7C.76-73D.9-60

11.已知集合4={小2一2左一3<0}3=何％<2},则AD8=()

A.(1,3)B.(1,3]C.[-1,2)D.(-1,2)

12.设而，7为非零向量，贝!］“存在正数zl,使得正=43”是“百4>0”的()

A.既不充分也不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.充分不必要条件

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为97和15万，则该圆锥的体积为

14.已知。>0,b>0,c>4,且。+匕=2,则竺+工_£+4的最小值为

bah2c-2

15.设G，鸟分别是椭圆C：「+%=1Ca>b>0)的左、右焦点，直线/过6交椭圆C于A,8两点，交y轴

a~b

于E点，若满足电=2福，且/Ef；K=60,则椭圆C的离心率为.

16.如图，在体积为V的圆柱ac中，以线段QQ上的点O为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为匕，

v+V

匕，则七上的值是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在AA5c中，设。、h>c分别为角A、B、。的对边，记AABC的面积为S,且25=通•/.

（1）求角A的大小；

4

（2）若c=7,cosB=—,求。的值.

18.（12分）已知。力都是大于零的实数.

(1)证明^—I--..a-\-b\

ba

2a1,

⑵若“出证明-LR>4.

19.（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线£：丫2=22》（，>0）的焦点为/，准线为/,P是抛物线上£上

一点，且点P的横坐标为2,|月典=3.

（1）求抛物线E的方程；

（2）过点尸的直线，"与抛物线七交于A、B两点,过点尸且与直线加垂直的直线〃与准线/交于点用，设AB的

中点为N,若。、MN、尸四点共圆，求直线〃?的方程.

20.（12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线/的参数方程

二1一名

“为参数），曲线C的极坐标方程为夕=4cos。；

二g

（1）求直线/的直角坐标方程和曲线C的直角坐标方程;

（2）若直线/与曲线C交点分别为A，B,点P（l,0）,求高+看的值•

21.（12分）记无穷数列｛可｝的前〃项中最大值为此，最小值为加“，令”=乂,则称圾｝是｛。，卜极差数

列

⑴若见=3〃-2,求｛>｝的前〃项和;

(2)证明：也｝的“极差数列”仍是也｝;

(3)求证：若数列｛2｝是等差数列，则数列｛《,｝也是等差数列.

22.(10分)已知a>b=O,a》c》d,且必2cd.

(1)请给出a,》,c,d的一组值，使得a+b22(c+d)成立;

(2)证明不等式a+/?》c+d恒成立.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可.

【详解】

本程序框图的功能是计算m，〃中的最大公约数，所以1995=228x8+171,

228=171x1+57,171=3x57+0,故当输入加=1995,〃=228,则计算机输出的数

是57.

故选：B.

【点睛】

本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题.

2.A

【解析】

a=cosa

设｛asinO+bcosff=sin6^cos«+cossina=sin(0+a)<1成立；反之，a=b=0满足

h=sina

asin6+灰x)s"l,Oa2+b2^1,故选A.

3.C

【解析】

根据题意，知当时，cox+-^—,由对称轴的性质可知%土和+七='工，即可求出卬,

x=+W=2X,即可求

3a)623a>3a)

出/(x)的最小正周期.

【详解】

fJTA771

解：由于/(x)=AsinGX+：-。(Ovo<A)在区间0,—有三个零点再，马，占，

当犬二无■时,715兀

5+—

6T

717C71

・・・由对称轴可知西，马满足公^^---1-coxH—=-X29

6262

即生

~3①

I——r兀兀371crr8兀

同理尤2，，3满足&X?H----F(OXmH--------X2,即/+F=---9

〜6623(0

10兀_5兀

，%+2%+占0=2,

3693

所以最小正周期为：丁=2=兀・

故选：C.

【点睛】

本题考查正弦型函数的最小正周期，涉及函数的对称性的应用，考查计算能力.

4.C

【解析】

利用an=S„-S1Ts>2)证得数列言、:为常数列，并由此求得｛«„)的通项公式.

【详解】

4s-1

由%+i=二"「得(2”一1)。2二4s〃-1,可得(2〃一3)。“=45〃_]-1(n>2).

2〃一1

相减得(2〃+l)a“=(2〃-1)4…则善_广#i1?(〃22),又

2n-\2〃+1

—所以岛为常

由a.□'得-3,所以品

2n-12x1+1

数列，所以¥^=T匚=1，故%=2〃-1.

2〃—12x1—1

故选：C

【点睛】

本小题考查数列的通项与前〃项和的关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，应用意识.

5.B

【解析】

方法一：令g(x)=ax-tanx,则f(x)=x-g(x),g'(x)=a-----,

cos-X

当小,^^(一/，^)时，g'(X)40，g(X)单调递减，

TT

/.X€(——,0)时，g(x)>g(0)=0,f(x)=x-g(x)<0,且尸(x)=xg'(x)+g(x)>0,

2

TT

.-./，U)>0,即/(%)在(一一,0)上单调递增，

2

JT

xe(0,—)时，g(x)<g(0)=0,f(x)=xg(x)<0,且/(x)=xg'(x)+g(x)<0,

2

：.f\x)<0,即/(x)在(0,々)上单调递减，.lx=0是函数/(x)的极大值点，.la<1满足题意；

2

711

当“>1时，存在止(0,5)使得cos/=&，即g⑺=0,

177

又gG)j——三在(0,不)上单调递减，・・・X£(0,。时，g(x)>g(0)=(),所以/(x)=x・g(x)>0,

cosx2

这与X=0是函数的极大值点矛盾.

综上，a<l.故选B.

方法二：依据极值的定义，要使x=0是函数/(x)的极大值点，须在x=0的左侧附近，/(幻<0,即以-tanx>0；

在x=0的右侧附近，/U)<0,即5—tanx<0.易知，a=l时，y=以与y=tanx相切于原点，所以根据卜=口

与了=12111的图象关系，可得a«l,故选B.

6.C

【解析】

由题意利用函数丫二人"成⑵+⑼的图象变换规律，正弦函数的单调性，求出。的最大值.

【详解】

7T

解：把函数/(X)=sin2x的图象向右平移F个单位长度得到函数g(x)=sin(2x-7T-)的图象,

63

若函数g(x)在区间［0,4］上单调递增，

在区间［。，上，2x——G［—―,2^7——］,

333

则当。最大时，2a-g=g,求得a=W，

3212

故选：C.

【点睛】

本题主要考查函数y=Asin(ox+e)的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题.

7.D

【解析】

试题分析：由题/=卜卜2+31+2)0}=k“〈—2或#一1},

考点：集合的运算

8.C

【解析】

利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间(0,+a)上的单调性，进而可得出结果.

【详解】

对于A选项，函数y=477在区间(0,+8)上为增函数；

对于B选项，函数y=/—i在区间(0,+纥)上为增函数；

对于C选项，函数y=(g］在区间((),+8)上为减函数；

对于D选项，函数y=log2尤在区间(0,+8)上为增函数.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题.

9.B

【解析】

依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f(-x)=f(x),且定义域关于原点对称，a-1=-2a,即可得解.

【详解】

根据偶函数的定义域关于原点对称，且f(x)是定义在［a-1,2a］上的偶函数，

得a-l=-2a,解得a=,，又f(-x)=f(x),

3

b=0,a+b=—.故选B.

3

【点睛】

本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f(-x)=f(x)；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定

义域区间两个端点互为相反数.

10.D

【解析】

设x=J^cos。，y=sin£,去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出.

【详解】

因为实数8，)‘满足J+y'i,

设x=J^cos。，y=sin£，

.•.|x2+/-2|+|x2+y2-6x+7|=|2cos26»+sin26»-2|+|2cos2(9+sin2^-6>/2cos6»+7|=|-sin2<9|+

|cos29-6A/2COS0+81,

cos26立cos。+8=(cos，-3收f-10>0恒成立，

.-.|x2+y2-2|+|x2+y2-6x+7|=sin?O+cos?6»-6&cos6>+8=9-6点cos6L9-6夜，

故则+,2-21+lY+y2-6x+7|的最小值等于9—60.

故选：D.

【点睛】

本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解

掌握水平.

11.C

【解析】

解不等式得出集合4,根据交集的定义写出AC8.

【详解】

M-BA={x|x2-2r-3<0}={x|-l<x<3},

B={x|x<2},AnB={x|-l<x<2}

故选c.

【点睛】

本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题.

12.D

【解析】

充分性中，由向量数乘的几何意义得（而,"=0,再由数量积运算即可说明成立；必要性中，由数量积运算可得

,90j,不一定有正数X,使得行=3；,所以不成立，即可得答案.

【详解】

充分性：若存在正数2,使得病=苏，贝1」（加,〃）=0",]剜"cosO=|w||n|>0,得证；

必要性：若记不〉0,贝!|（五,5）e[0,90,）,不一定有正数X,使得而故不成立；

所以是充分不必要条件

故选：D

【点睛】

本题考查平面向量数量积的运算，向量数乘的几何意义，还考查了充分必要条件的判定，属于简单题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.12万

【解析】

依据圆锥的底面积和侧面积公式，求出底面半径和母线长，再根据勾股定理求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式

求出体积。

【详解】

设圆锥的底面半径为广，母线长为/,高为/?,所以有

万/-97=3___________

解得,《，.,.〃=J--/_^52-32=4

"〃二15万1=3

故该圆锥的体积为V=1万r2〃=_L万X3?X4=12万。

33

【点睛】

本题主要考查圆锥的底面积、侧面积和体积公式的应用。

14.史

2

【解析】

由2=妇丝，先将：+二_一_1变形为至¥1,运用基本不等式可得最小值，再求

2bab24ab

且c+正=百己(c-2)+—+1］的最小值，运用函数单调性即可得到所求值.

2c-22c-2

【详解】

解：因为。>0,b>0,c>4,且a+〃=2,

c(2a2+2-ah)\[5

2abc—2

因为2=©+").•,所以2/+2-必2a'+ab

2---------=---------------

lablab

5a2+h22亚ab_亚

4ab4cib2

当且仅当b=时，取等号，

bi、iacccv5(a10v5

所以---1-------1----=C\1------H------

bab2c-2\bab2)c-2

C(2Q2+2-ab)y/i

labc-2

>——c+---

2c-2

=V5[^(c-2)+-^-+l]

2c-2

令f=c-2Q22),贝ij6[，(c-2)+—'―+1]=6+1+1),

2c-22t

1111

令/(。=彳1+_+1。22),则/«)=「一下〉o,

2t2r

所以函数/⑺在[2,+«))上单调递增，

所以/Q)N/(2)=；x2+；+l=|

所以石[』(c_2)+-^-+l]=逐+1+_575

2c-22t22

则所求最小值为逃

2

故答案为：巫

2

【点睛】

此题考查基本不等式的运用：求最值，注意变形和满足的条件：一正二定三相等，考查利用单调性求最值，考查化简

和运算能力，属于中档题.

15,昱1

3

【解析】

采用数形结合，计算目以及|而然后根据椭圆的定义可得|福并使用余弦定理以及e=5,可得结果.

【详解】

如图

由NE/M=6(T,所以|耳目=一^=2。

11cos600

由电=2画，所以|而;］耳耳=。

又,用+卜巴卜24,贝加A6|=2a-c

所以“二叫里我2

2回依

o-p,c2+(2cY—(2a—cY

所以cos120=———~-------L

2c2

化简可得：7c2=(2a—c)2=>2a—c=V7c

则£=金=①二

aV7+13

故答案为：立二1

3

【点睛】

本题考查椭圆的定义以及余弦定理的使用，关键在于根据角度求出线段的长度，考查分析能力以及计算能力，属中档

题.

1

16.-

3

【解析】

根据圆柱。的体积为V，以及圆锥的体积公式，计算即得.

【详解】

由题得，V；+K=1S-oo+-soo^-s^o.o^-v,得^~

।n30OO5i3oQOs/31/3yz3

故答案为：—

3

【点睛】

本题主要考查圆锥体的体积，是基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

7C

17.（1）-；（2）a=5

4

【解析】

（1）由三角形面积公式，平面向量数量积的运算可得儿sinA=Zx：cosA,结合范围Ae（O,乃），可求tanA=l,进而

可求A的值.

3

（2）利用同角三角函数基本关系式可求sinB=m，利用两角和的正弦函数公式可求sinC的值，由正弦定理可求得“

的值.

【详解】

解：（1）由25=福•林,得AcsinA=AccosA,

因为Aw（0,乃）,

所以tanA=l,

可得：A=f.

4

4

(2)AABC中，cosB=-,

3

所以sin8=w.

75y

所以：sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=,

a7

由正弦定理一g—u-J,得g=很，解得a=5,

sinAsinC5记

【点睛】

本题主要考查了三角形面积公式，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦

定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

18.(1)答案见解析.(2)答案见解析

【解析】

(1)利用基本不等式可得±+蟾.,里+。2b,两式相加即可求解.

ba

(2)由(1)知包色二夕，代入不等式，利用基本不等式即可求解.

<aJa

【详解】

2j2

(1)幺+〃超一+Q2b

ba

两式相加得

ab

、、〜2],b2},b\a-b)

(2)由(1)知。..bci+b-----cibH-----------

Ia)a

2

.D2a1,b(a-b)a1

于是,crH--H--------..cibH-----------1--d---------

b3a(a-b)a护a(a-b)

(.6/A(b2(a-h)1、

Ib)aa(a—b))

..2“>4.

ba

【点睛】

本题考查了基本不等式的应用，属于基础题.

19.(1)/=4x(2)y=±V2(x-l)

【解析】

(1)由抛物线的定义可得上日=2+T，即可求出〃，从而得到抛物线方程；

(2)设直线机的方程为x=)+l,代入＞2=4x,得/_40-4=0.

设A(%,y),列出韦达定理，表示出中点N的坐标，若。、M、N、E四点共圆，再结合

得OM上ON,则丽・丽=0即可求出参数/,从而得解；

【详解】

解：(1)由抛物线定义，得|PF|=2+5=3,解得〃=2,

所以抛物线E的方程为V=4x.

(2)设直线加的方程为x=O+l,代入＞2=4X,得y2_4/y—4=0.

设A(W，y),8(%,%)，则乂+%=由，

由=4%,y；=4X2,得

X+x_才+犬_(凹+%)2-2必必_(左)2—2x(—4)_

'-4444

所以N(2『+12).

因为直线加的斜率为;，所以直线〃的斜率为T,则直线〃的方程为＞=-r(x-1).

由］；二(1)解得〃㈠⑵).

若。、M、N、尸四点共圆，再结合得OM上ON，

则丽・丽=-lx(2/+l)+2，-2f=2/一1=0,解得［=±4，

所以直线机的方程为丁=±3(x—1).

【点睛】

本题考查抛物线的定义及性质的应用，直线与抛物线综合问题，属于中档题.

20.(I)/：x+y-l=0,曲线。：/+/一4%=0(II)巫

3

【解析】

试题分析：(1)消去参数，可得直线/的直角坐标系方程，由尤2+^2=22,x=0COS。可得曲线C的直角坐标方程;

,V2

X=I------1

2L1111联一胃_

(2)将〈(/为参数)代入曲线C的方程得:厂+也.3=°，网+画=同+门=而‘利用

V2

尸丁

韦达定理求解即可.

试题解析:

(1)l:x+y-l=O,曲线。:/+;/-4%=0,

V2

x=1------

2

(2)将《(/为参数)代入曲线的方程得：/・

血C3=0

所以4+G=_0,?/2=_.

11年一胃J(4+12)~一曲七V14

所以1—F+1—r

1^11^|

kJ|^|卬2I33

33

21.(1)-n2--n(2)证明见解析(3)证明见解析

44

【解析】

(1)由｛《,｝是递增数列，得",='〃-2I/-]),由此能求出也｝的前〃项和.

(2)推导出%冽,(〃=1,2,3,…)，max｛/?,,/?2,­••,Z?„｝-min｛/?1，Z?2,=bn,由此能证明也通“极差

数列”仍是｛2｝.

⑶证当数列也,｝是等差数列时，设其公差为山",一%=""；Mi；班1=M"一人?e=^，,

｛4｝是一个单调递增数列，从而此=。“，叫,=%,由4'>0,d'<0,d'=0,分类讨论，能证明若数列也｝是

等差数列，则数列｛。,,｝也是等差数列.

【详解】

(1)解：•.•无穷数列｛凡｝的前〃项中最大值为M“，最小值为叫，”=%,«„=3/7-2,

{4}是递增数列，.•.\=3上；1=|(〃_]),

:.也}的前«项和S„=--〃(〃二.=-n2--n.

''n2244

(2)证明：：max{q，4,…,a“}WmaxM，生,…,4用}(〃=1,2,3,…)，

min{al,o2,---,a/l}>min{al,«