初中数学二次函数习题及解析

19/19深圳市菁优网络科技有限公司一、选择题（共8小题）1、下列函数中，不是二次函数的是（）A、y=1﹣QUOTE22x2B、y=2（x﹣1）2+4C、y=QUOTE12（x﹣1）（x+4） D、y=（x﹣2）2﹣x22、下列函数QUOTE，y=3x2，QUOTE，y=x（x﹣2），y=（x﹣1）2﹣x2中，二次函数的个数为（） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个3、下列函数关系中，不可以看作二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是（） A、圆的半径和其面积变化关系 B、我国人口年自然增长率x，两年中从12亿增加到y亿的x与y的变化关系 C、掷铅球水平距离与高度的关系 D、面积一定的三角板底边与高的关系4、下列四个函数中，一定是二次函数的是（） A、QUOTEy=1x2+xy=1x2+x C、y=x2﹣（x+7）2 D、y=（x+1）（2x﹣1）5、（1998•杭州）二次函数y=3x2﹣2x﹣4的二次项系数与常数项的和是（） A、1 B、﹣1 C、7 D、﹣66、（2009•庆阳）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（） A、y=﹣1/2x2 B、y=1/2x2 C、y=﹣QUOTE12x2 D、y=QUOTE12x27、（2005•甘肃）如图，半圆D的直径AB=4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为y，AM=x，则y关于x的函数关系式是（） A、y=﹣x2+x B、y=﹣x2+xC、y=﹣x2﹣x D、y=x2﹣x8、（2007•自贡）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（） A、y=2a（x﹣1） B、y=2a（1﹣x） C、y=a（1﹣x2） D、y=a（1﹣x）2二、填空题（共5小题）9、如果函数y=（k﹣3）QUOTE+kx+1是二次函数，那么k的值一定是_________．10、已知QUOTE是二次函数，则a=_________．11、关于x的函数y=（m+1）x2+（m﹣1）x+m，当m=0时，它是_________函数；当m=﹣1时，它是_________函数．12、（2009•泰安）如图所示，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P是线段BC上一点（P不与B重合），M是DB上一点，且BP=DM，设BP=x，△MBP的面积为y，则y与x之间的函数关系式为_________．13、（2007•哈尔滨）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y（米2）与x（米）的关系式为_________．（不要求写出自变量x三、解答题（共7小题）14、（2005•南京）在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2：1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米20元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米．（1）求y与x之间的关系式．（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．15、（2006•岳阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，E是边AB上一动点，过点E作EF⊥AB交AD的延长线于点F，交BD于点M．（1）请判断△DMF的形状，并说明理由．（2）设EB=x，△DMF的面积为y，求y与x之间的函数关系式．并写出x的取值范围．16、（2002•湖州）已知，如图，四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，M是CD边上一点（不与C、D重合），以BM为直径画半圆交AD于E、F，连接BE，ME．（1）求证：AE=DF；（2）求证：△AEB∽DME；（3）设AE=x，四边形ABMD的面积为y，求y关于x的函数关系式和自变量的取值范围．17、（2002•烟台）如图，已知△ABC的面积为5，点M在AB边上移动（点M与点A、B不重合），MN∥BC，MN交AC于点N，连接BN．设QUOTEAMABAMAB=x，S△MBN=y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）点E、F分别是边AB，AC的中点，设△MBN与△EBF的公共部分的面积为S，试用含x的代数式表示S；（3）当第（2）问中的S=QUOTE1515时，试确定x的值．（不必写出解题过程）18、（2002•福州）如图，已知△ABC中，AB=a，点D在AB边上移动（点D不与A、B重合），DE∥BC，交AC于E，连接CD．设S△ABC=S，S△DEC=S1．（1）当D为AB中点时，求S1：S的值；（2）若QUOTE，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；（3）是否存在点D，使得成立？若存在，求出D点位置；若不存在，请说明理由．19、（2005•岳阳）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45度．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；（3）当：△ABD∽△DCE是等腰三角形时，求AE的长．20、（2004•潍坊）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=a，在线段BC上任取一点P，连接DP，作射线PE⊥DP，PE与直线AB交于点E．（1）试确定CP=3，点E的位置；（2）若设CP=x，BE=y，试写出y关于自变量x的函数关系式；（3）若在线段BC上能找到不同的两点P1，P2使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求出此时a的取值范围．

答案与评分标准一、选择题（共8小题）1、下列函数中，不是二次函数的是（） A、y=1﹣QUOTE22x2 B、y=2（x﹣1）2+4 C、y=QUOTE1212（x﹣1）（x+4） D、y=（x﹣2）2﹣x2考点：二次函数的定义。分析：利用二次函数的定义，整理成一般形式就可以解答．解答：解：A、y=1﹣QUOTE22x2=﹣QUOTE22x2+1，是二次函数，正确；B、y=2（x﹣1）2+4=2x2﹣4x+6，是二次函数，正确；C、y=QUOTE1212（x﹣1）（x+4）=QUOTE1212x2+QUOTE3232x﹣2，是二次函数，正确；D、y=（x﹣2）2﹣x2=﹣4x+4，是一次函数，错误．故选D．点评：本题考查二次函数的定义．2、下列函数QUOTE，y=3x2，QUOTE，y=x（x﹣2），y=（x﹣1）2﹣x2中，二次函数的个数为（） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个考点：二次函数的定义。分析：整理成一般形式后，根据二次函数的定义条件判定即可．解答：解：y=3x2，QUOTE，y=x（x﹣2）都符合二次函数定义的条件，是二次函数；QUOTE，y=（x﹣1）2﹣x2整理后，都是一次函数．二次函数有三个．故选B．点评：本题考查二次函数的定义．3、下列函数关系中，不可以看作二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是（） A、圆的半径和其面积变化关系 B、我国人口年自然增长率x，两年中从12亿增加到y亿的x与y的变化关系 C、掷铅球水平距离与高度的关系 D、面积一定的三角板底边与高的关系考点：二次函数的定义。分析：根据二次函数的定义，根据每一题的数量关系列出函数关系式解答即可．解答：解：A、圆的半径和其面积变化关系式为：S=πr2，正确；B、我国人口年自然增长率x，两年中从12亿增加到y亿的x与y的变化关系式为：y=12（1+x）2，即y=12x2+24x+12，符合二次函数的定义，正确；C、因为掷铅球投掷的过程形成的是抛物线，所以其关系式应为y=ax2+bx+c（a≠0），正确；D、面积一定的三角板底边与高的关系为：a=QUOTE2Sh2Sh，是反比例函数关系，错误．故选D．点评：本题考查二次函数的定义及常见数量关系的运用．4、下列四个函数中，一定是二次函数的是（） A、QUOTEy=1x2+xy=1x2+x C、y=x2﹣（x+7）2 D、y=（x+1）（2x﹣1）考点：二次函数的定义。专题：推理填空题。分析：根据二次函数的定义解答．解答：解：A、未知数的最高次数不是2，故本选项错误；B、二次项系数a=0时，y=ax2+bx+c不是二次函数，故本选项错误；C、∵y=x2﹣（x+7）2=﹣14x﹣49，即y=﹣14x﹣49，没有二次项，故本选项错误；D、由原方程得，y=2x2﹣x﹣1，符合二次函数的定义，故本选项正确．故选D．点评：本题主要考查了二次函数的定义．二次函数（quadraticfunction）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数．二次函数可以表示为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）．5、（1998•杭州）二次函数y=3x2﹣2x﹣4的二次项系数与常数项的和是（） A、1 B、﹣1 C、7 D、﹣6考点：二次函数的定义。分析：二次函数写成一般形式后，即可求二次项系数与常数项．解答：解：二次项系数为3，常数项为﹣4，两个数的和为3﹣4=﹣1．故选B．点评：考查二次函数的定义，同时注意系数不能忘了符号．6、（2009•庆阳）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（） A、y=﹣2x2 B、y=2x2 C、y=﹣QUOTE1212x2 D、y=QUOTE1212x2考点：根据实际问题列二次函数关系式。分析：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2，利用待定系数法求解．解答：解：设此函数解析式为：y=ax2，那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．则﹣2=4a即得a=﹣QUOTE1212，那么y=﹣QUOTE1212x2．故选C．点评：根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点．7、（2005•甘肃）如图，半圆D的直径AB=4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为y，AM=x，则y关于x的函数关系式是（） A、y=﹣QUOTE1414x2+x B、y=﹣x2+x C、y=﹣QUOTE1414x2﹣x D、y=QUOTE1414x2﹣x考点：根据实际问题列二次函数关系式。分析：连接01M，OO1，可得到直角三角形OO1M，在直角三角形中，利用勾股定理即可解得．解答：解：连接01M，OO1，可得到直角三角形OO1M，那么OO1=2﹣y，OM=2﹣x，O1M=y．∴（2﹣y）2﹣（2﹣x）2=y2，解得y=﹣QUOTE1414x2+x．故选A．点评：作连心线，连接圆心和切点得到直角三角形是常用的辅助线作法是本题的考查对象．8、（2007•自贡）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（） A、y=2a（x﹣1） B、y=2a（1﹣x） C、y=a（1﹣x2） D、y=a（1﹣x）2考点：根据实际问题列二次函数关系式。分析：原价为a，第一次降价后的价格是a×（1﹣x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为a×（1﹣x）×（1﹣x）=a（1﹣x）2．解答：解：由题意第二次降价后的价格是a（1﹣x）2．则函数解析式是y=a（1﹣x）2．故选D．点评：本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．二、填空题（共5小题）9、如果函数y=（k﹣3）QUOTE+kx+1是二次函数，那么k的值一定是0．考点：二次函数的定义。分析：根据二次函数的定义，列出方程与不等式求解即可．解答：解：根据二次函数的定义，得：k2﹣3k+2=2，解得k=0或k=3；又∵k﹣3≠0，∴k≠3．∴当k=0时，这个函数是二次函数．点评：本题考查二次函数的定义．10、已知QUOTE是二次函数，则a=﹣1．考点：二次函数的定义。分析：由二次函数的定义，列出方程与不等式解答即可．解答：解：根据题意可得a2﹣2a﹣1=2解得a=3或﹣1又∵a﹣3≠0∴a≠3，∴a=﹣1．点评：此题考查二次函数的定义．11、关于x的函数y=（m+1）x2+（m﹣1）x+m，当m=0时，它是二次函数；当m=﹣1时，它是一次函数．考点：二次函数的定义；一次函数的定义。分析：把m=0，m=﹣1分别代入函数关系式，再根据函数的定义来判断．解答：解：当m=0时，函数解析式变化成y=x2﹣x，是一个二次函数；当m=﹣1时，函数变化成y=﹣2x﹣1，是一次函数．点评：本题主要考查一次函数与二次函数的定义与一般形式．12、（2009•泰安）如图所示，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P是线段BC上一点（P不与B重合），M是DB上一点，且BP=DM，设BP=x，△MBP的面积为y，则y与x之间的函数关系式为y=x2+4x（0＜x≤6）．考点：根据实际问题列二次函数关系式。分析：根据勾股定理可得BD=10，因为DM=x，所以BM=10﹣x，过点M做ME⊥BC于点E，可得到△BME∽△BDC，然后根据相似三角形的性质得到QUOTEMEDCMEDC=QUOTEBMBDBMBD，由此即可用x表示ME，最后根据三角形的面积公式即可确定函数关系式．解答：解：∵AB=8，BC=6，∴CD=8，AD=6，∴BD=10，∵DM=x，∴BM=10﹣x，R如图，过点M作ME⊥BC于点E，∴ME∥DC，∴△BME∽△BDC，∴QUOTEMEDCMEDC=QUOTEBMBDBMBD，∴ME=8﹣QUOTE4545x，而S△MBP=QUOTE1212×BP×ME，∴y=x2+4x，P不与B重合，那么x＞0，可与点C重合，那么x≤6．故填空答案：y=x2+4x（0＜x≤6）．点评：本题的难点是利用相似得到△MBP中BP边上的高ME的代数式，此题主要考查了利用相似三角形的性质确定函数关系式．13、（2007•哈尔滨）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y（米2）与x（米）的关系式为y=﹣QUOTE1212x2+15x．（不要求写出自变量x的取值范围）考点：根据实际问题列二次函数关系式。分析：由AB边长为x米根据已知可以推出BC=QUOTE1212（30﹣x），然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式．解答：解：∵AB边长为x米，而菜园ABCD是矩形菜园，∴BC=QUOTE1212（30﹣x），菜园的面积=AB×BC=QUOTE1212（30﹣x）•x，∴y=﹣QUOTE1212x2+15x．故填空答案：y=﹣QUOTE1212x2+15x．点评：此题首先利用矩形的周长公式用x表示BC，然后利用矩形的面积公式即可解决问题，本题的难点在于得到BC长．三、解答题（共7小题）14、（2005•南京）在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2：1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米20元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米．（1）求y与x之间的关系式．（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．考点：根据实际问题列二次函数关系式；解一元二次方程-因式分解法。专题：几何图形问题。分析：（1）依题意可得总费用=镜面玻璃费用+边框的费用+加工费用，可得y=6x×20+45+2x2×120化简即可．（2）设镜宽为xm，根据共花了195元，即玻璃的费用+边框的费用=195元，即可列出方程求解．解答：解：（1）y=240x2+120x+45（2）设镜宽为xm，则可列方程为2x2×120+6x×20+45=1953分整理得8x2+4x﹣5=0解得x1=QUOTE，x2=（舍去）5分∴x=QUOTE∴2x=QUOTE答：镜子的长和宽分别是QUOTEm和QUOTEm．点评：本题是一道一元二次方程的应用题，解这类题关键是理解题意，建立恰当的关系式予以求解．15、（2006•岳阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，E是边AB上一动点，过点E作EF⊥AB交AD的延长线于点F，交BD于点M．（1）请判断△DMF的形状，并说明理由．（2）设EB=x，△DMF的面积为y，求y与x之间的函数关系式．并写出x的取值范围．考点：等腰三角形的判定；根据实际问题列二次函数关系式。专题：动点型。分析：（1）△DMF是等腰三角形．主要利用菱形ABCD中，∠A=60这个条件得到∠E、∠DMF的度数来判断；（2）不能直接表示△DMF的面积，采用面积分割法，用△AEF、△BEM来表示它．解答：解：（1）△DMF是等腰三角形（2分）∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD∵∠A=60°∴∠ABD=60°∵EF⊥AB∴∠F=30°，∠DMF=∠EMB=30°∴∠F=∠DMF∴DM=DF（5分）∴△DMF是等腰三角形（2）EB=x，则AE=4﹣x，EF=QUOTE33（4﹣x），EN=2QUOTE33∴NF=EF﹣EN=QUOTE33（2﹣x），FM=2QUOTE33（2﹣x）．∵MN=NF=QUOTE33（2﹣x）∴DN=MNtan30°=2﹣x∴y=QUOTE33（2﹣x）2（9分）（0≤x＜2）（10分）．点评：此题主要考查等腰三角形的判定，菱形的性质，以及三角形的面积公式．16、（2002•湖州）已知，如图，四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，M是CD边上一点（不与C、D重合），以BM为直径画半圆交AD于E、F，连接BE，ME．（1）求证：AE=DF；（2）求证：△AEB∽DME；（3）设AE=x，四边形ABMD的面积为y，求y关于x的函数关系式和自变量的取值范围．考点：垂径定理；根据实际问题列二次函数关系式；平行线的性质；相似三角形的判定与性质。专题：代数几何综合题；数形结合。分析：（1）设BM的中点为O，过O作OH⊥EF，垂足为H．利用平行线的性质和垂径定理可求出；（2）要求证△AEB∽DME，就要利用三角形相似的判定证明，从题中互余的关系可知三角相等，利用AAA定理可证明；（3）要求四边形ABMD的面积为y与边的关系，就要利用面积公式列出式子，再分析看成变量x的最值范围．解答：解：（1）证明：设BM的中点为O，过O作OH⊥EF，垂足为H，∵OB=OM，∴AH=DH．根据垂径定理可知EH=FH，∴AE=DF；（2）∵BM是圆O的直径，∴∠BEM=90°，∴∠AEB+∠DEM=90°，∴∠AEB=∠DME，∴△AEB∽△DME；（3）∵△AEB∽△DME，∴QUOTEABDE=AEDMAB∵AB=1，AE=x，∴DE=2﹣x，∴DM=x（2﹣x），y=QUOTE1212（AB+DM）•AD=﹣x2+2x+1．自变量的取值范围是0＜x＜1．点评：本题综合考查了平行线，垂径定理和相似三角形的判定及矩形的面积公式等计算能力．17、（2002•烟台）如图，已知△ABC的面积为5，点M在AB边上移动（点M与点A、B不重合），MN∥BC，MN交AC于点N，连接BN．设QUOTEAMABAMAB=x，S△MBN=y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）点E、F分别是边AB，AC的中点，设△MBN与△EBF的公共部分的面积为S，试用含x的代数式表示S；（3）当第（2）问中的S=QUOTE1515时，试确定x的值．（不必写出解题过程）考点：相似三角形的判定与性质；解一元二次方程-直接开平方法；根据实际问题列二次函数关系式。专题：综合题；压轴题。分析：（1）由MN∥BC可知△AMN∽△ABC，得到S△AMN：S△ABC=（QUOTEAMABAMAB）2，即S△AMN：5=x2，利用相似的面积比等于相似比的平方可求得S△MBN=﹣5x2+5x，即y=﹣5x2+5x（0＜x＜1）；（2）根据FE∥BC∥MN可知，①当0＜x≤QUOTE1212时，△MBN与△EBF的公共部分的三角形与△MBN相似，利用相似的面积比等于相似比的平方可求得S=QUOTE；②当QUOTE1212＜x＜1时，△MBN与△EBF的公共部分的三角形与△EBF相似，利用相似的面积比等于相似比的平方可求得S=5（1﹣x）2；（3）当S=QUOTE1515时，x=QUOTE429429或x=QUOTE4545．解答：解：（1）∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC∴S△AMN：S△ABC=（QUOTEAMABAMAB）2，即S△AMN：5=x2，∵S△MBN：S△AMN=QUOTE1x1x﹣1，∴S△MBN=﹣5x2+5x∴y=﹣5x2+5x（0＜x＜1）；（2）∵E、F分别是边AB，AC的中点，∴FE∥BC∥MN，①当0＜x≤QUOTE1212时，△MBN与△EBF的公共部分的三角形与△MBN相似，∴y：S=4（1﹣x）2，∴S=QUOTE，②当QUOTE1212＜x＜1时，△MBN与△EBF的公共部分的三角形与△EBF相似，∴S：S△BEF=4（1﹣x）2，∵S△BEF=QUOTE5454，∴S=5（1﹣x）2；（3）当S=QUOTE1515时，x=QUOTE429429或x=QUOTE4545．点评：主要考查了相似三角形的性质和根据实际问题列二次函数关系式，其中涉及到直接开平方法解二元一次方程的方法；要会根据几何图形之间的关系列二元一次方程，利用相似三角形的相似比是解题的关键．18、（2002•福州）如图，已知△ABC中，AB=a，点D在AB边上移动（点D不与A、B重合），DE∥BC，交AC于E，连接CD．设S△ABC=S，S△DEC=S1．（1）当D为AB中点时，求S1：S的值；（2）若QUOTE，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；（3）是否存在点D，使得成立？若存在，求出D点位置；若不存在，请说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列二次函数关系式。专题：开放型；存在型。分析：（1）当D为AB中点时，DE是三角形ABC的中位线，DE：BC=1：2，而高线的比也是1：2，则三角形的面积的比就可以求出；（2）根据相似三角形的性质，可以得到底边DE、BC以及高线之间的关系，就可以求出面积的比；（3）使得成立，可以转化为函数值y的大小关系．解答：解：过A作AM⊥BC，交DE与点N，设AD=x，根据DE∥BC，可以得到QUOTEDEBCDEBC=QUOTEANAMANAM=QUOTEADABADAB=QUOTExaxa，则DE=QUOTExaxa•BC，AN=QUOTExaxa•AM；（1）当D为AB中点时，DE是三角形ABC的中位线，则DE=QUOTE1212BC，AN=QUOTE1212AM，而S△ABC=S=QUOTE1212•AM•BC，∴S△DEC=S1=QUOTE1212•AN•DE，∴S1：S的值是1：4；（2）作AM⊥BC，垂足为M，交DE于N点，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴QUOTEANAMANAM=QUOTEDEBCDEBC=QUOTEADABADAB=QUOTExaxa，∴QUOTENMAMNMAM=QUOTE．QUOTES1SS1S=（QUOTE1212•MN•DE）：（QUOTE1212•AM•BC）=QUOTEDEBCDEBC•QUOTEMNAMMNAM=QUOTExaxa•QUOTE=QUOTE即y=QUOTE，0＜x＜a，（3）不存在点D，使得S1＞QUOTE1414S成立．理由：假设存在点D使得S1＞QUOTE1414S成立，那么即y＞QUOTE1414，∴QUOTE＞QUOTE1414，整理得，QUOTE＜0，∵（x﹣QUOTEa2a2）2≥0，∴x不存在．即不存在点D使得S1＞QUOTE1414S．点评：本题主要考查了相似三角形的性质，以及三角形的面积的计算方法．19、（2005•岳阳）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45度．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；（3）当：△ABD∽△DCE是等腰三角形时，求AE的长．考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列二次函数关系式；等腰三角形的性质。专题：综合题；压轴题；动点型；分类讨论。分析：此题有三问，（1）证明△ABD∽△DCE，已经有∠B=∠C，只需要再找一对角相等就可以了；（2）由（1）证得△ABD∽△DCE，有相似就线段成比例，于是利用（1）的结果可证得（2）；（3）当△ABD∽△DCE时，可能是DA=DE，也可能是ED=EA，所以要分两种情况证明结论．解答：解：（1）∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，∴∠ABC=∠ACB=45°．∵∠ADE=45°，∴∠BDA+∠CDE=135°．又∠BDA+∠BAD=135°，∴∠BAD=∠CDE．∴△ABD∽△DCE．（2）∵△ABD∽△DCE，∴QUOTEABCD=BDCEAB∵BD=x，∴CD=BC﹣BD=QUOTE22﹣x．∴QUOTE，∴CE=QUOTE22x﹣x2．∴AE=AC﹣CE=1﹣（QUOTE22x﹣x2）=x2﹣QUOTE22x+1．即y=x2﹣QUOTE22x+1．（3）∠DAE＜∠BAC=90°，∠ADE=45°，