初中三年最基础的计算

PAGEPAGE21初中三年最基础的计算有理数复习知识框架：有理数的定义：________和________统称为有理数。有理数的分类：按照符号分类，可以分为________、________和________；按照定义分类，可以分为________和________：整数分为________、________和________；分数分为________和________。典型例题：例1：把下列各数填在相应的集合内。，，，，，，，，，，，正数集合{}；负数集合{}；正整数集合{}；整数集合{}；负整数集合{}；分数集合{}。例2：一次数学测试，杨老师用如下方法统计成绩：凡是得分为分的记作分，得分为分的记作分。李刚在这次测试中得分，应记作多少分？周亮的成绩记作分，他在这次测试中得了多少分？易错题型：1．下列说法正确的是（）A．有理数就是正有理数和负有理数的统称B．最小的有理数是0C．有理数都可以在数轴上找到一个表示它的点D．整数不能写成分数形式2．温度上升度后，又下降度实际上就是（）A．上升1度B．上升5度C．下降1度D．下降5度3．判断对错①任何正整数都可以看做是由若干个“1”组成的。（）②正数、零和负数组成了全体有理数。（）③如果收入增加300元记作元，那么“元”表示的意义是支出减少500元。（）④任意一个自然数加上正整数等于进行次加1运算。（）2.2数轴知识框架：数轴的定义：规定了________、________和________的________叫数轴。数轴的三要素：数轴的三要素是指________、________和________，缺一不可。用数轴比较有理数的大小：在数轴上，________的点表示的数总比________的点表示的数大。典型例题：例1：在数轴上标出的相反数，并用“”把这四个数连接起来。易错题型：1．到原点的距离不大于2的整数有________个，它们是________；到原点的距离大于3且不大于6的整数有________个，它们是__________。2．下列说法正确的是（）A．没有最大的正数，却有最大的负数B．数轴上离原点越远，表示数越大C．0大于一切非负数D．在原点左边离原点越远，数就越小3．数轴上A、B两点对应的数分别为和，且线段，则_______。拓展延伸：我们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上表示与表示的两个点之间的距离。试探索：①________。②找出所有符合条件的整数，使得最小，这样的整数是________________。2.3绝对值与相反数知识框架：绝对值的定义：数轴上____________与________的________，叫做这个数的绝对值。绝对值的表示方法如下：的绝对值是，记作________；的绝对值是，记作________；0的绝对值是________。相反数的定义：__________、__________的两个数互为相反数，其中一个数是另一个数的________。表示一个数的相反数就是在这个数的前面添一个________号，如的相反数可表示为________，的相反数可表示为________。典型例题：例1：在数轴上表示数的点到原点的距离为，则________。例2：在数轴上，点和点分别表示互为相反数的两个数，并且这两点间的距离是，则两点表示的数分别是________和________。例3：已知，，且，求的值。例4：，求的值。易错题型：1．下列说法正确的个数是（）①一个数的绝对值的相反数一定是负数；②正数和零的绝对值都等于它本身；③只有负数的绝对值是它的相反数；④互为相反数的两个数的绝对值一定相等；⑤任何一个有理数一定不大于它的绝对值。A．5个

B．4个

C．3个

D．2个2．下列说法中：①一定是负数；②一定是正数；③倒数等它本身的数是±1；④绝对值等于它本身的数是1。其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如果都代表有理数，并且，那么()A．都是0B．两个至少有一个为0C．互为相反数D．互为倒数4．代表有理数，那么和的大小关系是()A．大于B．小于C．大于或小于D．不一定大于拓展延伸：1．如果互为相反数，那么下面结论中不一定正确的是（）A．B．C．D．2．若，则数在数轴上的对应点在（）A．表示数2的点的左侧B．表示数2的点的右侧C．表示数2的点或表示数2的点的左侧D．表示数2的点或表示数2的点的右侧已知与互为相反数，求的值。2.4有理数的加法和减法知识框架：1．有理数加法法则：①同号两数相加，取________的符号，并把________相加；②异号两数相加，________相等时，和为________；绝对值不等时，取__________符号，并用________________。③一个数与0相加，________。有理数减法法则：减去一个数，等于____________。有理数加法运算律：加法交换律：________；加法结合律：________。典型例题：例1：计算：易错题型：1．判断对错①两个有理数的和为正数时，这两个数都是正数。（）②如果两个有理数的和比其中任何一个加数都大，那么这两个数都是正数。()③两个不等的有理数相加，和一定不等于0。（）④零减去一个数等于这个数的相反数。（）2．下列说法正确的是()A．两数的和大于每一个加数B．两个数的和为负数，则这两个数都是负数C．两个数的和为0，则两个数都是0D．两个数互为相反数，则这两个数的和为03．算式不能读作（）A．与的差B．与的和C．与的差D．减去2.5有理数的乘法和除法知识框架：有理数乘法法则：两数相乘，同号________，异号________，并把________相乘；任何数与0相乘都得________。多个非零的有理数相乘，积的符号是由________的个数决定的：当________的个数是奇数个时，积为________；当________的个数为偶数个时，积为________。有理数除法法则：除以一个数，等于________________。典型例题：例1：计算：①易错题型：1．几个有理数相乘，若负因数的个数为奇数个，则积为（）A．正数B．负数C．非正数D．非负数2．一个有理数和它的相反数相乘，积为（）A．正数B．负数C．正数或0D．负数或03．一个非零的有理数与它的相反数的商是（）A．-1B．1C．0D．无法确定拓展延伸：1．两个不为零的有理数相除，如果交换被除数与除数的位置，它们的商不变，那么这两个数（）A．一定相等B．一定互为倒数C．一定互为相反数D．相等或互为相反数2．一天，小红与小丽利用温差测量山的高度，小红在山顶测得温度是℃，小丽此时在山脚测得温度是6℃.已知该地区高度每增加100米，气温大约降低℃，这个山峰的高度大约是多少米？2.6有理数的乘方知识框架：乘方的定义：________________的运算叫做乘方。对于式子，________是指数，________是底数，________是幂，它表示的意义是________________。乘方的符号法则：正数的________次幂都是正数；负数的________次幂是负数，负数的________次幂是正数。科学记数法的定义：把一个大于10的数记成的形式，其中________，是________，这样的记数法叫做科学记数法。科学计数法中，10的指数等于原数的整数位数减去_______。典型例题：例1：比较和，并填表：写法有括号无括号读法意义结果例2：计算：①②③④⑤易错题型：1．一个有理数的平方是正数,则这个数的立方是（）A．正数B．负数C．正数或负数D．奇数2．若是负数，则下列各式不正确的是（）A．B．C．D．3．为正整数时，+的值是（）A．2B．-2C．0D．不能确定平方得的数是________；若，则________。5．一个数的绝对值等于它本身，则这个数是________；一个数的相反数等于它本身，则这个数是________；一个数的平方等于它本身，则这个数是________；一个数的立方等于它本身，则这个数是________；一个数的倒数等于它本身，则这个数是________。拓展延伸：已知为正整数，一个数的15次幂是负数，那么这个数的2003次幂是________，它的次幂是________（填“正数”或者“负数”）。两个有理数互为相反数，那么它们的次幂的值（）相等B．不相等C．绝对值相等D．没有任何关系4．观察下列算式发现规律：，，，，，，，……，用你所发现的规律写出：的末位数字是________。2.7有理数的混合运算知识框架：有理数混合运算的顺序：先______，再______，最后________；若有括号，先_______________。同级运算应该________依次计算；对于多重括号应该遵循________依次去括号。典型例题：例1：计算：2：整式的加减1．在代数式中，整式有（ ）A.3个B.4个C.5个D.6个2．下面计算正确的是（）A．B。 C．D。3．多项式的各项分别是（ ）A.B.C.D.4．下列去括号正确的是（ ） A. B.C. D.5.下列各组中的两个单项式能合并的是（ ） A．4和4x B． C． D．6.单项式的系数和次数分别是（）A.－π，5B.－1，6C.－3π，6D.－3，77一个多项式与－2＋1的和是3－2，则这个多项式为（）A：－5＋3B：－＋－1C：－＋5－3D：－5－138.已知和是同类项，则式子4ｍ－24的值是（）A.20B.－20C.28D.－289.已知则的值是()A：B：1C：－5D：15.10、原产量n吨，增产30%之后的产量应为（）A、（1-30%）n吨B、（1+30%）n吨C、n+30%吨D、30%n吨二、填空题（每小题3分，共18分）11．单项式的系数是____________，次数是_______________。12.多项式的次数是_____.最高次项系数是__________,常数项是_________。13.任写一个与是同类项的单项式：_______________________14．多项式与多项式的差是______________________.15．李明同学到文具商店为学校美术组的30名同学购买铅笔和橡皮，已知铅笔每支ｍ元，橡皮每块ｎ元，若给每名同学买2支铅笔和3块橡皮，则一共需付款__________________元.三、计算：17、18、19. 20.四、先化简下式，再求值。（每小题6分，共12分）21、（1）、，其中22、，其中，23、（5分）已知，，求的值。24．（5分）某食品厂打折出售商品，第一天卖出m千克，第二天比第一天多卖出2千克，第三天卖出的是第一天的3倍，求这个食品厂三天一共卖出食品多少千克？25、（10分）已知某船顺水航行3小时，逆水航行2小时，（1）已知轮船在静水中前进的速度是千米/时，水流的速度是a千米/时，则轮船共航行多少千米？（2）轮船在静水中前进的速度是80千米/时，水流的速度是3千米一元一次方程一、选择题（每小题3分，共24分）1．下列说法中，正确的是（

）。（A）方程是等式；（B）等式是方程；（C）含有字母的等式是方程；（D）不含字母的方程是等式。2.下列等式变形正确的是()。（A）如果s=ab，那么b=；（B）如果x=6，那么x=3；（C）如果x－3=y－3，那么x－y=0；（D）如果mx=my，那么x=y。3．下列四个式子中是方程的是（）。（A）；（B）；（C）；（D）。4．是下列方程()的解。（A）；（B）；（C）；（D）。5．在解方程：时，去括号正确的是（）。（A）（B）（C）（D）6．在解方程：时，去分母正确的是（）。（A）；（B）；（C）；（D）。7．某件商品9折降价销售后每件商品售价为元,则该商品每件原价为()。（A）0.9（B）1.1（C）（D）8．一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为（）。（A）54（B）27（C）72（D）45二、填空题（每小题3分，共21分）9．在等式的两边同时______，得到，这是根据___________。10．关于的方程(2k－1)2－(2k＋1)＋3＝0是一元一次方程,则k＝______________。11．方程：的解是_____，如果是方程的解，则＝______。12．某厂的产值年平均增长率为，若第一年的产值为50万元，则第二年的产值为________________万元。13．根据“比的2倍小3的数等于的3倍”可列方程表示为：______________________。14．当等于什么数时，与的值互为相反数？列方程表示为：_________________。15．某中学七、八年级共1000名学生,八年级学生比七年级少40人,设七年级有名学生，可列出方程：______________________________。三、解下列一元一次方程（每小题7分，共28分）16．17．18．19．20.已知：。(1)当时,求的值；(2)当时,求的值。五、列方程解应用题21.甲乙两运输队,甲队原有32人,乙队原有28人,若从乙队调走一些人到甲队,那么甲队人数恰好是乙队人数的2倍,问从乙队调走了多少人到甲队？22.轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若般速为26千米/小时，水速为2千米/时，则A港和B港相距多少千米？二元一次方程组一基础知识知识点1.二元一次方程的概念含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。例1下列方程哪个是二元一次方程？针对性练习1若是二元一次方程，求m和n的值。2下列方程中，是二元一次方程的是（）ABCD知识点2.二元一次方程组把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。例2下列不是二元一次方程组的是（）A．B．C．D．针对性练习1下列是二元一次方程组的是（）A．B．C．D．知识点3.二元一次方程的解使二元一次方程两边的值相等的未知数的值，叫做二元一次方程的解例3判断下列数值是否是二元一次方程3x+2y=24的解（）（1）（2）（3）（4）1判断下列数值是否是二元一次方程3x+y=11的解（）（1）（2）2下列数值，是二元一次方程t-2s=-8的解的是（）ABCD知识点4.二元一次方程组的解二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解例4下列二元一次方程组中，以为解的是（）A．B．C．D．1.下列各对数值是方程组的解的是（）A．B．C．D．知识点5.二元一次方程组的解的检验方法常用方法：将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有这对数值满足其中的所有方程时才能说这对数值是此方程组的解。否则不是例5判断下列各组数是不是二元一次方程组的解。（1）（2）知识点6.代入消元法由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，在代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。用代入法解方程组（1）（2）知识点7.加减消元法两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。例7用加减法解方程组（1）（2）知识点8.用加减法解二元一次方程组的一般步骤（1）用适当的数去乘方程的两边，使方程组化成一个未知数的系数绝对值相等的形式（2）将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数得值（4）把求得的未知数的值代入方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值（5）将两个未知数的致用“｛”联立即可。例8用加减法解方程组（1）（2）知识点9.列方程组解应用题的基本思想关键是找等量关系，有几个未知数就必须列出几个方程，所列方程必须满足：（１）方程两边表示的是同类量（２）同类量的单位要统一（３）方程两边的数值要相等例9敌我两军相距42km，如果敌军向我军进犯，我军前去迎击，2小时就可以相遇；如果敌人向后逃跑，我军需要14小时才能追上，问我军与敌军的速度各是多少？知识点10.列方程组解应用题的一般步骤一般步骤可分五步：审题，弄清题意及题目中的数量关系；设未知数，可直接设元，也可间接设元；列出方程组，根据题目中能表示全部含义的相等关系列出方程，并组成方程组；解所列方程组，并检验正确性；写出答案；例10甲乙两地相距140千米，一艘货轮在其间航行，若顺流用7小时，逆流用10小时，则这艘货轮在静水中的速度以及水流的速度各是多少？1、七年级同学去公园春游，若每辆汽车坐45人，则有15人没座，若每辆汽车坐60人，则恰好空出一辆车，问有几辆车？共有多少同学？二、经典例题例1：根据下图提供的信息，每个热水瓶和羽毛球的价格分别是【】合计94元合计94元合计43元A．8元和35元B．32元和11元C．35元和8元D．20元和23元[考点透视]本小题在考查二元一次方程的应用的同时考查了二元一次方程组的解法，而对于二元一次方程组的解法来说，可通过代入法或加减法来达到消元的目的进而转化为我们熟悉的一元一次方程来解，解题关键是审清题意，寻找等量关系，正确列出方程组[答案]C例3：某家庭装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少?[考点透视]本例主要是考查二元一次方程（组）和一次函数综合背景下的方案优化试题，并同时考查【解】根据题意，可有三种购买方案；方案一：只买大包装，则需买包数为：；由于不拆包零卖．所以需买10包．所付费用为30×10=300(元)方案二：只买小包装．则需买包数为：所以需买16包，所付费用为16×20＝320(元)方案三：既买大包装．又买小包装，并设买大包装包．小包装包．所需费用为W元。则；∵，且为正整数，∴9时，290(元)．∴购买9包大包装瓷砖和l包小包装瓷砖时，所付费用最少．为290元。答：购买9包大包装瓷砖和l包小包装瓷砖时，所付费用最少为290元。三、时训练1．下列不是二元一次方程组的是（）A．B．C．D．2．由，可以得到用表示的式子是（）A．B．C．D．3．方程组的解是（）A．B．C．D．4．方程组的解是（）A．B．C．D．（二）细心填一填5．在中，如果2=6，那么=。6．已知是方程的解，则=。7．若方程m+n=6的两个解是，，则m=，n=。8．如果，那么=，=。9．10．11．用16元买了60分、80分两种邮票共22枚。60分与80分的邮票各买了多少枚？12．已知梯形的面积是42cm2，高是6cm，它的下底比上底的2倍少1cm，求梯形的上下底。14．如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？一元一次不等式和一元一次不等式组1．1不等关系基础练习1．用“＞”或“＜”填空：（1）0―1；（2）―2―4；（3）―43；（4）2______－3；（5）；（6）．2．用适当的符号表示下列关系（1）m比—2大．（2）3x与4的差是负数．（3）a2与2的和是非负数． （4）x的一半比它与6的差小．（5）a与b的差不大于a与b的和．（6）月球的半径比地球的半径小．3．“—x不大于—2”（A）—x≥—2（B）—x≤—2（C）—x＞—2（D）—x＜—24．下列按条件列出的不等式中，正确的是（）．（A）a不是负数，则a＞0（B）a与3的差不等于1，则a—3＜1（C）a是不小于0的数，则a＞0（D）a与b的和是非负数，则a＋b≥05．已知—1＜a＜0，下列各式正确的是（）．（A）＜—a＜（B）—a＜＜（C）＜＜—a（D）＜—a＜6．对于x＋1和x，下列结论正确的是（）．（A）x＋1≥x（B）x＋1≤x（C）x＋1＞x（D）x＋1＜x7．从0、2、4、6、8中任取两个数，其中两数之和不小于10的有（）．（A）3组（B）4组（C）5组（D）6组提高练习8．有理数a与b在数轴上的位置如图1—1，用“＞”或“＜”填空：ab0图1—1（1）a0ab0图1—1（3）ab；（4）a＋b0；（5）a－b0．9．一个两位数的十位数字是x，个位数字比十位数字小3，并且这个两位数小于40，用不等式表示数量关系．10．一个工程队原定在10天内至少要挖掘600m3的土方，在前两天共完成了11．爸爸为小明存了一个3年期教育储蓄（3年期的年利率为2．7%），3年后希望取得5400元以上，他至少要存如多少元？（只列关系式）1．2不等式的基本性质【知识与基础】1．已知a＞b，用“＞”或“＜”号填空．（1）a－2b－2；（2）3a3b；（3）ab；（4）－a－b；（5）－10a－10b;（6）ac2bc22．若x＞y，则ax＞ay，那么a一定为（）．（A）a≥0（B）a≤0（C）a＞0（D）a＜03．若m＜n，则下列各式中正确的是（）．（A）m－3＞n－3（B）3m＞3n（C）－3m＞－3n（D）＞4．下列各题中，结论正确的是（）．（A）若a＞0，b＜0，则＞0（B）若a＞b，则a－b＞0（C）若a＜0，b＜0，则ab＜0（D）若a＞b，a＜0，则＜05．下列变形不正确的是（）．（A）若a＞b，则b＜a（B）若－a＞－b，则b＞a（C）由－2x＞a，得x＞（D）由x＞－y，得x＞－2y6．下列不等式一定能成立的是（）．（A）a＋c＞a－c（B）a2＋c＞c（C）a＞－a（D）＜a7．将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：（1）x－17＜－5；（2）＞－3；（3）＞11；（4）＞．10．已知将不等式mx＞m的两边都除以m，得x＜1，则m应满足什么条件？PAGEPAGE271．3不等式的解集基础练习1．在数轴上表示下列不等式的解集：（1）x≥3；（2）x≤－1；（3）x＜0；（4）x＞－1．2．写出图1—5和图1—6所表示的不等式的解集：图1图1—5（1）图1图1—6（2）3．下列不等式的解集中，不包括－3的是（）．（A）x≥－3（B）x≤－3（C）x＞－5（D）x＜－54．下列说法正确的是（）．（A）x=4不是不等式2x＞7的一个解（B）x=4是不等式2x＞7的解集（C）不等式2x＞7的解集是x＞4（D）不等式2x＞7的解集是x＞5．下列说法中，错误的是（）．A）不等式x＜5的正整数解有无数多个（B）不等式x＞－5的负整数解有有限个（C）不等式－2x＞8的解集是x＜－4（D）－40是不等式2x＜－8的一个解6．如果不等式ax≤2的解集是x≥－4，则a的值为（）．（A）a=（B）a≤（C）a＞（D）a＜1．4一元一次不等式基础练习（1）不等式3x＞－9的解集是．（2）不等式x＋2＜1的解集是．（3）如＜2是一元一次不等式，则n=（4）如（m＋2）y＋3＜4是一元一次不等式，则m=．2．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上．（1）3x＋1＞4；（2）3－x<－1；（3）2（x＋1）<3x；（4）3（x＋2）≥5（x－2）；（5）≥；；（6）≤．提高练习3．a取什么值时，代数式4a＋3（1）大于1？（2）等于1？（3）小于1？4．求不等式1－2x<3的负整数解．5．三个连续正奇数的和小于21，这样的正奇数组共有多少组？把它们都写出来．6．一个工程队原定在8天内至少要挖土600m3，在前两天一共完成了150m7．已知y＝2－2x，试求（1）当x为何值时，y＞0；（2）当y为何值时，x≤－1．1．4一元一次不等式（二）【知识与基础】1．填空题．（1）不等式x＞－3的负整数解是