第4章三角形证明 题型解读12 全等典型模型：“手拉手”模型-2020-2021学年北师大版七年级数学下册

《三角形证明》题型解读12全等典型模型：“手拉手”模型【知识梳理】（一）“手拉手模型”的基本图形题型特征：△ABC与△BDE是等边三角形，A、B、D三点在同一直线上。解题方法：一定有以下六个结论（三组全等、一个60°、一个等边△、一组平行线）①△ABE≌△CBD证明过程：∵△ABC与△BDE是等边三角形，∴∠1=∠2=∠3=60°，∴∠ABE=∠CBD=120°，∵AB=BC，BE=BD，∴△ABE≌△CBD（SAS）②△ABH≌△CBF证明过程：∵△ABE≌△CBD，∴∠4=∠5，∵AB=BC，∠1=∠2，∴△ABH≌△CBF（SAS）③△BHE≌△BFD证明过程：∵△ABE≌△CBD，∴∠6=∠7，∵BE=BD，∠2=∠3，∴△BHE≌△BFD（SAS）④∠AGC=60°证明过程：∵△ABE≌△CBD，∴∠6=∠7，在△GFE和△BFD中（“8”字模型），∠3=180°-∠BFD-∠7，∠EGF=180°-∠GFE-∠6，∵∠6=∠7，∠GFE=∠BFD，∴∠3=∠EGF，∵∠AGC=∠EGF，∠3=60°，∴∠AGC=∠3=60°⑤△BHF是等边三角形证明过程：∵△BHE≌△BFD（SAS），∴BH=BF，∵∠2=60°，∴△BHF是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）⑥HF//AD证明过程：∵△BHF是等边三角形，∴∠8=60°，∵∠3=60°，∴∠8=∠3，∴HF//AD（二）“手拉手模型”的变化图形题型特征：△ABC与△BDE是等边三角形，A、B、D三点不在同一直线上。解题方法：一定有以下六个结论（一组全等，一个60°、一个角平分线）①△ABE≌△CBD证明过程：∵△ABC与△BDE是等边三角形，∴∠1=∠3=60°，∴∠ABE=∠CBD（共角模型），∵AB=BC，BE=BD，∴△ABE≌△CBD（SAS）②∠AGC=60°证明过程：∵△ABE≌△CBD，∴∠6=∠7，在△GFE和△BFD中（“8”字模型），∠3=180°-∠BFD-∠7，∠EGF=180°-∠GFE-∠6，∵∠6=∠7，∠GFE=∠BFD，∴∠3=∠EGF，∵∠AGC=∠EGF，∠3=60°，∴∠AGC=∠3=60°③BG平分∠HBF证明过程：作BM⊥AE于点M，BN⊥GD于点N，如图2，∵△ABE≌△CBD，∴∠4=∠5，∵AB=BC，∠AMB=∠CNB=90°，∴△ABM≌△CBN（AAS），∴BM=BN，∴BG平分∠HBF（到角两边的距离相等的点，在这个角的角平分线上）（三）常见“手拉手”变化图形【典型例题】例1.如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③CP＝CQ；④BO＝OE；⑤∠AOB＝60°，恒成立的结论有（）。A、①③⑤B、①③④⑤C、①②③⑤D、①②③④⑤解析：由“手拉手模型”的基础图形的六个结论可直接判别，选C例2.如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中，正确的个数是（）①BE=CD；②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO；④若∠BAC=90°,且DA//BC，则BC⊥CE.A.1B.2C.3D.4【思路分析】多结论题型、数学典型模型“手拉手模型”。选C（1）证线段相等，首选三角形全等，找BE、CD所在三角形△ABE、△ADC全等。由△ABD、△AEC是等边三角形，不难找到全等条件：已知条件AD=AB、已知条件∠BAD=∠EAC=60°，由共角模型易得∠DAC=∠BAE,已知条件AC=AE,由SAS易证△ADC≌△ABE,∴BE=CD，①正确；（2）依解题思路的延续性，由（1）中△ADC≌△ABE可得∠ADC=∠ABE，由三角形内角和公式可得：∠BOD=180°-(∠ODB+∠DBA+∠ABE)=180°-(∠ODB+∠DBA+∠ADC)=180°-(∠ADB+∠DBA)=180-(60°+60°)=60°,②正确；（3）可用反证法解题。假设③成立，由于△ODB与△OEC组成的“8字模型”易得∠OBD=∠OCE，即60°+∠ABO=60°+∠ACO，∴∠ABO=∠ACO，∵∠ACO=∠AEB,∴∠ABO=∠AEB,∴AB=AE，即AB=AC,与AB≠AC矛盾，故假设不成立，即③错误；（4）若BC⊥CE，即∠ACE+∠ACB=90°,且∠ACE=60°,由于∠ABC+∠ACB=90°,所以只需证∠ABC=60°即可，由AD//BC，由两直线平行内错角相等可得∠ABC=∠DAB=60°,∴∠BCE=90°,即BC⊥CE，④正确.例3.如图，四边形ABCD中，F是CD上一点，E是BF上一点，连接AE、AC、DE，若AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=70°,AE平分∠BAC，则下列结论中：①△ABE≌△ACD；②BE=EF；③∠BFD=110°；④AC垂直平分DE，正确的结论是____解析：（1）由“共角模型”可得∠BAE=∠CAD，由AB=AC,AE=AD,可证△ABE≌△ACD，①正确；（2）由△ABE≌△ACD可得∠AEB=∠ADC，∵∠AEB+∠AEF=180°,∴∠ADC+∠AEF=180°,∵∠DAE=70°,，由四边形内角和定理可得：∠EFD=360°-∠AED-∠ADF-∠EAD=360°-180°-70°=110°,③正确；（3）由∠BAC=∠DAE=70°,AE平分∠BAC，可得∠BAE=∠EAG=∠DAG=35°,则由AE=AD,AG=AG，可证△EAG≌△DAG，∴EG=GD,∠AGE=∠AGD=90°，④正确；（4）题目已知条件无法判定BE=EF，故③与题目无关；故选C例4.△ABC与△BDE是等边三角形，求证：AE=BD解析：由“共角模型”可得∠BCD=∠ACE，由BC=AC,DC=CE,可证△BCD≌△ACE，∴BD=AE.例5.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，求证：AE=CG解析：由“共角模型”可得∠CDG=∠ADE，由CD=AD,DG=DE,可证△CDG≌△ADE，∴CG=AD.例6.如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC.（1）求证：BC=DE；（2）若AC=12，求四边形ABCD的面积.解析：（1）由“共角模