新教材2023年秋高中数学第4章数列章末综合提升课件新人教A版选择性必修第二册

第四章数列章末综合提升巩固层·知识整合01提升层·题型探究02类型1求数列的通项公式类型2等差、等比数列的基本运算类型3等差、等比数列的判定类型4等差、等比数列的性质类型5数列求和类型1求数列的通项公式数列通项公式的求法(1)定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目．

√

(2)已知数列{an}中，an＋1＝3an＋4，且a1＝1，求通项公式．

法二：∵an＋1＝3an＋4，∴an＋1＋2＝3(an＋2)．令bn＝an＋2，∵b1＝a1＋2＝3，∴数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，则bn＝3n，∴an＝3n－2．法三：∵an＋1＝3an＋4，

①∴an＝3an－1＋4(n≥2)．

②①－②，得an＋1－an＝3(an－an－1)(n≥2)．∵a2－a1＝3＋4－1＝6，∴数列{an＋1－an}是首项为6，公比为3的等比数列，即an＋1－an＝6×3n-1＝2×3n，利用累加法得an＝3n－2．类型2等差、等比数列的基本运算在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中a1和d(或q)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d(q)，an，Sn，n的方程组，利用方程思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用．【例2】等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16．(1)求数列{an}的通项公式；[解]

设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2×2n-1＝2n．(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．

(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是等比数列．【例3】已知数列{an}，{bn}满足：an＋1＋1＝2an＋n，bn－an＝n，b1＝2．(1)证明数列{bn}是等比数列，并求数列{bn}的通项；

(2)求数列{an}的前n项和Sn．

类型4等差、等比数列的性质解决等差、等比数列有关问题的几点注意(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用；(2)对于计算解答题注意基本量及方程思想的运用；(3)注重问题的转化，由非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用相关公式和性质解题；(4)当题目中出现多个数列时，既要纵向考察单一数列的项与项之间的关系，又要横向考察各数列之间的内在联系．【例4】

(1)(多选)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的有(

)A．a7 B．a8C．S15 D．S16

√√

√√

(3)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________．5

(4)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．形如{anbn}，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列．(5)倒序相加法：例如，等差数列前n项和公式的推导．【例5】已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3．(1)求an；

∵a2＝4，即k(c2－c1)＝4，解得k＝2，∴an＝2n．当n＝1时，a1＝S1＝2．综上所述，an＝2n(n∈N*)．(2)求数列{nan}的前n项和Tn．[解]

nan＝n·2n，则Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，2Tn＝1·22＋2·2