新教材2023年秋高中数学第4章数列4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第2课时等差数列的性质及应用课件新人教A版选择性必修第二册

第四章

数列4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第2课时等差数列的性质及应用学习任务1．能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质，理解等差数列与项有关的性质．(逻辑推理)2．能灵活运用等差数列的性质简化运算，解决简单的数列问题．(逻辑推理、数学运算)必备知识·情境导学探新知01《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种质量单位)

知识点1等差数列的图象等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一个固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以__为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．d思考1．等差数列的单调性与公差有何关系？[提示]若{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．

ap＋aq和(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为____数列．(3)若{an}是公差为d的等差数列，则①{c＋an}(c为任一常数)是公差为__的等差数列；②{can}(c为任一常数)是公差为____的等差数列；③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为_____的等差数列．等差dcd2d(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为_________的等差数列．(5){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为____数列；d<0⇔{an}为____数列；d＝0⇔{an}为常数列．pd1＋qd2递增递减思考2．若{an}是等差数列，且am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q一定成立吗？[提示]不一定．如常数列2，2，2，2，…中，a1＋a2＝a3＋a4，但1＋2≠3＋4．提醒:推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az，该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等差数列对应的图象是一条直线． (

)[提示]等差数列对应的图象是一列孤立的点．(2)等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，可以看成an关于n的一次函数．

(

)[提示]当d＝0时数列为常数列也是等差数列．××2．(多选)已知单调递增的等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则下列各式一定成立的有(

)A．a1＋a101>0 B．a2＋a100＝0C．a3＋a99＝0 D．a51＝0BCD

[∵a1＋a2＋…＋a101＝0，又

∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，∴101a51＝0，∴a51＝0，a3＋a99＝a2＋a100＝2a51＝0．]√√√关键能力·合作探究释疑难02类型1等差数列的设法与求解类型2等差数列的性质类型3等差数列的实际应用类型1等差数列的设法与求解【例1】

(1)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值．[解]

设{an}的公差为d，∵a1＋a3＝2a2，∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，∴a2＝5．又a1a2a3＝80，{an}是公差为正数的等差数列，∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16，解得d＝3或d＝－3(舍去)，∴a12＝a2＋10d＝35，∴a11＋a12＋a13＝3a12＝105．[解]

设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则

因为该数列是递增数列，所以d>0，(2)已知四个数依次成等差数列，且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．

发现规律

设等差数列的三个技巧(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x－d，x，x＋d，…，此时公差为__．(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，此时公差为_____．(3)等差数列的通项可设为an＝pn＋q．d2d[跟进训练]1．已知三个数成等差数列，且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．

法二：设这三个数分别为a－d，a，a＋d，由已知可得由①得a＝6，代入②得d＝±2．∵该数列是递增的，∴d＝2，∴这三个数分别为4，6，8．类型2等差数列的性质【例2】

(1)已知等差数列{an}，a5＝10，a15＝25，求a25的值．(2)已知等差数列{an}，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，求a1＋a9的值．(3)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，求a19－b19的值．[思路引导]根据各个题的特征，选择相应等差数列的性质求解．

法二：因为5＋25＝2×15，所以在等差数列{an}中有a5＋a25＝2a15，从而a25＝2a15－a5＝2×25－10＝40．法三：因为5，15，25成等差数列，所以a5，a15，a25也成等差数列，因此a25－a15＝a15－a5，即a25－25＝25－10，解得a25＝40．(2)由等差数列的性质，得a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a1＋a9，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝70，于是a5＝14，故a1＋a9＝2a5＝28．(3)令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，设其公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2，故a19－b19＝c19＝5＋18×2＝41．[母题探究](变条件，变结论)本例(1)中条件变为“已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8”，求5a4＋a7的值．[解]

法一：设等差数列{an}的公差为d，则a3＋a6＝2a1＋7d＝8，所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24．法二：在等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7．又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5，∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24．反思领悟

等差数列性质的应用技巧已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项，对于这样的问题，在解题过程中通常就要注意考虑利用等差数列的下列性质：(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，其中am，an，ap，aq是数列中的项．该性质可推广为：若m＋n＋z＝p＋q＋k(m，n，z，p，q，k∈N*)，则am＋an＋az＝ap＋aq＋ak．(2)若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap．[跟进训练]2．(1)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．20

[3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a3＋a8)＝20．]20(2)设等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＝9．①求a3；②若a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差为18的等差数列，求数列{an}的通项公式．[解]

①因为等差数列{an}中，满足a1＋a3＋a5＝3a3＝9，所以a3＝3．②设等差数列{an}的公差为d，因为a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差为18的等差数列，所以3a2，3a5，3a8是公差为18的等差数列，所以a8－a5＝3d＝6，所以d＝2，所以an＝a3＋(n－3)d＝3＋2(n－3)＝2n－3．类型3等差数列的实际应用【例3】

(1)(2022·厦门高二检测)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，据书中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为五级：男、子、伯、侯、公．现有每个级别的诸侯各一人，共5人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m个(m为正整数)，若按这种方法分橘子，“子”恰好分得13个橘子，则m＝________．3

设男、子、伯、侯、公各分得x－2m，x－m，x，x＋m，x＋2m个橘子，由已知，5x＝80，即x＝16，又16－2m>0且m为正整数，所以m＝{1，2，3，4，5，6，7}，若“子”恰好分得13个橘子，则16－m＝13，即m＝3．3(2)高一某班有位学生第1次考试数学考了69分，他计划以后每次考试比上一次提高5分(如第2次计划达到74分)，则按照他的计划该生数学以后要达到优秀(120分以上，包括120分)至少还要经过的数学考试的次数为________．12

反思领悟

等差数列在实际应用中的解法解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息，若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列，合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．[跟进训练]3．(源于人教B版教材)如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为35cm，第5级的宽为43cm，且各级的宽度从小到大构成等差数列{an}，求其余3级的宽度．[解]

法一：依题意，a1＝35，a5＝43．设公差为d，则35＋4d＝43，解得d＝2．从而a2＝35＋2＝37，a3＝37＋2＝39，a4＝39＋2＝41．因此，其余3级的宽度分别为37cm，39cm，41cm．法二：因为等差数列为a1，a2，a3，a4，a5，共5项．又因为2×3＝1＋5，所以2a3＝a1＋a5＝35＋43＝78，即a3＝39．类似地，有2a2＝a1＋a3＝35＋39＝74，2a4＝a3＋a5＝39＋43＝82，所以a2＝37，a4＝41．因此，其余3级的宽度分别为37cm，39cm，41cm．学习效果·课堂评估夯基础0312341．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(

)A．5 B．6C．8 D．10A

[由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，∴a5＝5．]√2．我国明代数学家程大位在《算法统宗》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一道“竹筒容米”问题：家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．这个问题的意思是九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为(注：升是容量单位)(

)A．0.9升

B．1升C．1.1升 D．2.1升1234√

12343．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝60，则a2－a8＋a14＝________．12

[在等差数列{an}中，a1＋a15＝2a8，∵a1＋3a8＋a15＝60，∴5a8＝60，即a8＝12．又a2＋a14＝2a8，∴a2－a8＋a14＝2a8－a8＝a8＝12．]1234124．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，则这四个数是_______________．－2，0，2，4

[设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1．又四个数成递增等差数列，∴d>