新高考数学二轮复习考点突破课件 第1部分 专题突破 专题6　第3讲　直线与圆锥曲线的位置关系（含解析）

第3讲直线与圆锥曲线的位置关系专题六解析几何考情分析直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及弦中点等问题，难度中等.考点一弦长、面积问题考点二中点弦问题考点三直线与圆锥曲线位置关系的应用专题强化练内容索引弦长、面积问题考点一已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，核心提炼例1方法一

由题意知，直线的斜率不为0，F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，Δ＝36m2＋4×9(3m2＋4)＝144(1＋m2)>0，解得m＝±1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.方法二

由(1)知F1(－1,0)，B(2,0)，当直线l的斜率不存在时，|MN|＝3，点B(2,0)到直线l：x＝－1的距离为3，所以直线l的斜率存在.设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，Δ＝64k4－4(3＋4k2)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0，即k2＝1，得k＝±1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.(1)设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0等.(2)涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ>0易漏掉.(3)|AB|＝x1＋x2＋p是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立.易错提醒跟踪演练1(2022·宝鸡模拟)已知椭圆C1的中心在坐标原点，一个焦点与抛物线C2：y2＝4x的焦点F重合，且椭圆C1的离心率为(1)求椭圆C1的标准方程；抛物线C2：y2＝4x的焦点为F(1,0)，所以椭圆C1的一个焦点为F(1,0)，其中c2＝a2－b2，(2)过F点的直线l与C1交于A，B两点，与C2交于P，Q两点，且A，P点都在x轴上方，如果|PB|＋|AQ|＝3|AB|，求直线l的方程.由题意知直线l的斜率不为0，设其方程为x＝my＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，Δ＝16m2＋16＝16(m2＋1)>0，所以y3＋y4＝4m，y3y4＝－4，则|PQ|＝x3＋x4＋2＝m(y3＋y4)＋4＝4m2＋4，Δ＝36m2＋36(4＋3m2)＝144(m2＋1)>0，由|PB|＋|AQ|＝3|AB|，即|PB|＋|AQ|＝|PA|＋|AB|＋|QB|＋|AB|＝|PA|＋|QB|＋2|AB|＝3|AB|，得|PA|＋|QB|＝|AB|，又|PA|＋|QB|＋|AB|＝|QP|，中点弦问题考点二已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB的斜率为k.核心提炼例2得点M(m，0)，N(0，n).设A(x1，y1)，B(x2，y2).由题意知线段AB与线段MN有相同的中点，因为kAB＝kMN，将A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程，由题意知x1＋x2≠0，x1≠x2，整理得m2＝2n2. ①所以由勾股定理，得m2＋n2＝12，

②得点M(m，0)，N(0，n).由题意知线段AB与线段MN有相同的中点，处理中点弦问题常用的求解方法规律方法

已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为跟踪演练2√∵焦点到准线的距离为p，则p＝1，∴y2＝2x.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2).又∵P，Q关于直线l对称.∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2，又∵PQ的中点一定在直线l上，∴线段PQ的中点坐标为(1，－1).直线与圆锥曲线位置关系的应用考点三直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)联立直线方程与圆锥曲线方程.(2)消元得到关于x或y的一元二次方程.(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系.核心提炼例3内的任意值均可)若直线y＝2x与双曲线C无公共点，(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则A.C的准线为y＝－1

B.直线AB与C相切C.|OP|·|OQ|>|OA|2

D.|BP|·|BQ|>|BA|2√√√如图，因为抛物线C过点A(1,1)，因为x2＝y，所以y′＝2x，所以y′|x＝1＝2，所以C在点A处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，又点B(0，－1)在直线y＝2x－1上，所以直线AB与C相切，所以B正确；设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为y＝kx－1，所以x1＋x2＝k，x1x2＝1，且Δ＝k2－4>0，得k>2或k<－2，所以C正确；所以D正确.故选BCD.(1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合).易错提醒

(1)(2022·梅州模拟)抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作抛物线的一条切线，切点为B，O为坐标原点，则△OAB的面积为A.1 B.2 C.4 D.8跟踪演练3√∵抛物线C：y2＝4x的准线为l，∴l：x＝－1，A(－1,0)，设过点A作抛物线的一条切线方程为x＝my－1，m>0，∴Δ＝(－4m)2－4×4＝0，解得m＝1，∴y2－4y＋4＝0，解得y＝2，即yB＝2，√设B(x1，y1)(x1>0，y1>0)，由题意得，专题强化练一、单项选择题1.(2022·丹东模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，若使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则p等于√12345678910111213由抛物线的对称性知，要使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则AB必须垂直于x轴，√1234567891011121312345678910111213解得a2＝16，b2＝9，12345678910111213√12345678910111213√1234567891011121312345678910111213设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(2,1)是椭圆M的一条弦AB的中点，故x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，12345678910111213故有a2＝2b2＝2(a2－c2)，5.(2022·济南模拟)已知抛物线C：y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，直线l：y＝k(x－1)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1，M2，M3，M4四点，则下列各式结果为定值的是A.|M1M2|·|M3M4| B.|FM1|·|FM4|C.|M1M3|·|M2M4| D.|FM1|·|M1M2|√1234567891011121312345678910111213如图，分别设M1，M2，M3，M4四点的横坐标为x1，x2，x3，x4，由y2＝4x得焦点F(1,0)，准线l0：x＝－1，由定义得，|M1F|＝x1＋1，又|M1F|＝|M1M2|＋1，所以|M1M2|＝x1，同理|M3M4|＝x4，则x1x4＝1，即|M1M2|·|M3M4|＝1.12345678910111213√由已知得F1(－2,0)，F2(2,0)，设M(xM，yM)，N(xN，yN)，当直线PF1，PF2的斜率存在时，直线PF1的斜率为k1，1234567891011121312345678910111213当直线PF1或PF2的斜率不存在时，不符合题意.12345678910111213二、多项选择题7.已知直线l：x＝ty＋4与抛物线C：y2＝4x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2，则A.y1·y2为定值

B.k1·k2为定值C.y1＋y2为定值

D.k1＋k2＋t为定值√√√12345678910111213对于A，y1y2＝－16为定值，A正确；对于C，y1＋y2＝4t，不为定值，C错误；12345678910111213则k1＋k2＋t为定值，D正确.12345678910111213√√对于A，因为双曲线C的一个焦点F(5,0)，渐近线方程化为4x±3y＝0，12345678910111213若C的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度m(m>0)，∴e′<e，即离心率变小，故B错误；对于选项C，A(－3,0)，B(3,0)，设P(x，y)，1234567891011121312345678910111213三、填空题12345678910111213[1,4)∪(4，＋∞)直线y＝kx＋1过定点(0,1)，∴m≥1，且m≠4.12345678910111213123456789101112131234567891011121312345678910111213设右焦点为F′，连接AF′，BF′(图略).因为2|OF|＝|AB|＝2c，即|FF′|＝|AB|，可得四边形AFBF′为矩形.在Rt△ABF中，由双曲线的定义可得|AF|－|AF′|＝2a，123456789101112131234567891011121313如图，连接AF1，DF2，EF2，12345678910111213所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2.因为|AF1|＝|AF2|＝a＝2c＝|F1F2|，所以△AF1F2为等边三角形，又DE⊥AF2，所以直线DE为线段AF2的垂直平分线，所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，且∠EF1F2＝30°，12345678910111213所以△ADE的周长为|AD|＋|AE|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋