新高考数学二轮复习考点突破课件 第1部分 专题突破 专题6　微重点15　离心率的范围问题（含解析）

微重点15离心率的范围问题专题六解析几何圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.考点一利用圆锥曲线的定义求离心率的范围考点二利用圆锥曲线的性质求离心率的范围考点三利用几何图形的性质求离心率的范围专题强化练内容索引利用圆锥曲线的定义求离心率的范围考点一√例1设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，不妨设|PF1|>|PF2|，设|F1F2|＝2c，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2，√依题意作图，如图所示，由于|MN|＝|F1F2|，并且线段MN，F1F2互相平分，∴|NF1|＝|MF2|，设|MF2|＝x，则|MF1|＝2a－x，根据勾股定理得|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2，即x2＋(2a－x)2＝4c2，整理得x2－2ax＋2b2＝0，整理得2a2－2ac－c2≥0，e2＋2e－2≤0，此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围.规律方法跟踪演练1由双曲线的定义得|PQ|＋b－|QF2|＝2a，所以|PQ|＝2a－b＋|QF2|，所以21e2＋40e－125<0，所以(3e－5)(7e＋25)<0，因为直线F1Q与双曲线的右支相交，所以a2<b2＝c2－a2，所以c2－2a2>0，利用圆锥曲线的性质求离心率的范围考点二

(1)(2022·西安模拟)圆柱OO1的轴截面ABB1A1是正方形，过上底面圆弧上任意一点F作平面与圆柱的侧面相交，则相交所得到曲线的离心率的最大值为√例2过点F的平面与圆柱侧面相交，交线所形成的曲线为椭圆，如图，椭圆的短轴长为底面圆的直径，不妨令底面圆的半径为1，则短轴长2b＝2，∴b＝1，如图所示，当该椭圆刚好与上、下底面有一个交点时，长轴最长为EF，由图知，MENF为正方形，边长为2，∵c2＝a2－b2＝a2－1，√连接OP，当P不为椭圆的上、下顶点时，设直线PA，PB分别与圆O切于点A，B，∠OPA＝α，∵存在M，N使得∠MPN＝120°，∴∠APB≥120°，即α≥60°，又α<90°，∴sinα≥sin60°，利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组).规律方法跟踪演练2√如图所示，A为椭圆的上顶点.依题意∠F1AF2≥90°，即∠OAF2≥45°，又|AF2|＝a，|AO|＝b，|OF2|＝c，∵∠OAF2≥45°，利用几何图形的性质求离心率的范围考点三例3√√以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，解得(不妨设)P(a，b)，Q(－a，－b)，A(－a，0)，利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系.规律方法跟踪演练3双曲线C与直线y＝x有交点，双曲线上存在不是顶点的点P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则P点在右支上，设PF1与y轴交于点Q，由对称性知|QF1|＝|QF2|，所以∠QF1F2＝∠QF2F1，所以∠PF2Q＝∠PF2F1－∠QF2F1＝2∠PF1F2＝∠PQF2，所以|PQ|＝|PF2|，所以|PF1|－|PF2|＝|PF1|－|PQ|＝|QF1|＝2a，在△PF1F2中，∠PF1F2＋∠PF2F1＝4∠PF1F2<180°，∠PF1F2<45°，专题强化练√1234567812345678设点P(x，y)，因为0≤x2≤a2，√12345678方法一

由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，

①又|PF1|＝4|PF2|，

②12345678在△PF1F2中，由余弦定理，要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，当cos∠F1PF2＝－1时，12345678方法二由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，∵|F1F2|＝2c，1234567812345678√12345678依题意可得|AF1|－|AF2|＝2a，又|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2，所以(|AF2|＋2a)2＋|AF2|2＝4c2，√1234567812345678因为A在B的上方，且这两点都在C上，又EA∥x轴，所以|ED|＝|EB|，EA⊥BD，所以△BDE的内心G在线段EA上.因为DG平分∠EDA，在△EDA中，1234567812345678√12345678√12345678由长轴长为4，故2a＝4⇒a＝2，由点Q在椭圆上，根据椭圆的定义得|QF1|＋|QF2|＝4，故A正确；12345678∴|OQ|min＝b>c，√12345678√√对于A，因为双曲线C的渐近线l与圆F交于A，B两点，所以过点O且与圆F相切的直线与C没有公共点(如图)，故选项A正确；对于B，过点F作FD⊥l，垂足为D，易知|FD|＝b，因为圆F与直线l相交，所以b<a，又c2＝a2＋b2，所以c2<2a2，即e2<2，12345678设|AD|＝m，则|OA|＝2m，|OD|＝3m，在Rt△AFD和Rt△OFD中，12345678消去m2，得c2＝9a2－8b2，即17a2＝9c2，123456781234567812345678设双曲线C的左焦点为F′，则|QF|－|QF′|＝2a，即|QF|＝|QF′|＋2a，故|QF|＋|PQ|