函数的单调性及与函数有关的不等问题分析

PAGEPAGE12函数的单调性及与函数有关的不等问题一.函数单调性的意义：函数的单调性是函数又一重要性质，设函数.若对于任意的.,当<时都有<则是区间D上的增（减）函数，区间D为的增（减）区间。特别的当D=I时，称是单调函数。必须了解单调性与“区间”紧密相关，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性。即：函数的单调性只能在定义域内讨论，且谈函数的单调性时，必须指明对应的区间。（2）定义中的，具有任意性，证明时不可用特殊值代替。（3）函数的单调性在比较大小、求函数最值方面都有广泛的应用。因此有是增（减）函数，且<<(>),这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”。（4）熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式：设，[a,b],那么①在[a,b]上是增函数；在[a,b]上是减函数。②>0在[a,b]上是增函数；<0在[a,b]上是减函数需要指出的是，①的几何意义是：增(减)函数图像上任意两点连线的斜率都大于（小于）零。【考点专练】1.下列说法正确的是（）A.定义在上的函数，若存在<，有<，那么在上为增函数。B..定义在上的函数，若有无穷多对，使得当<时，有<，那么在上为增函数。C.若在区间上为增函数，在区间上也为增函数，那么在上也一定为增函数.D.若在区间上为增函数，且<，那么<。2.（０５天津）设是函数＝的反函数，则使成立的ｘ取值范围为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3．（０５．辽宁）已知ｙ＝是定义在Ｒ上的单调函数，实数，，，若则（）Ａ．Ｃ．Ｄ．已知函数=在区间内是减函数，则a的取值范围是（）A.a<0B.0<a<0.5C.a<0.5D.0.5<a<1（０６北京）已知＝是上的增函数，那么ａ的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．（１，３）6．已知＝是上的减函数，那么ａ的取值范围是.7.(2010浙江)＝在上单调，则的取值范围是（）A.B.C.D.8.已知函数满足对任意，都有成立，则a的取值范围为：。9.已知=，若函数在R上是增函数，求a的取值范围。10．（０６福建）已知是周期为２的奇函数，当０＜ｘ＜１时，＝，设，，则（）Ａ．ａ＜ｂ＜ｃＢ．ｂ＜ａ＜ｃＣ．ｃ＜ｂ＜ａＤ．ｃ＜ａ＜ｂ已知定义在R上的奇函数是一个减函数，且，则的值（）A.大于0B.小于0C.等于0D.以上都可能12.已知函数，且，则的值（）A.大于0B.小于0C.等于0D.以上都可能13.设是定义在上的单调增函数，且满足，则不等式的解集为()A.B.C.D.14.若是R上的减函数，且的图像经过点和,则不等式的解集是.15.已知=且，若，则a的取值范围是16.(09陕西)定义在R上的偶函数满足:对任意的有.则当时,有()A.B.C.D.二.研究函数单调性问题的一般方法：（1）在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域，有时需要将函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单调性。即基本初等函数性质法。掌握下列一些单调规律对解题大有裨益：①若，均为增(减)函数，则+在公共的定义域上仍为增（减）函数；②若为增(减)函数，则—为减（增）函数；③奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相反。④互为反函数的两个函数有相同的单调性；⑤若，均为增函数且恒正（负），则也为增（减）函数。⑥若为单调函数且恒正或恒负，则与单调性相反。⑦复合函数的单调规律是“同则增，异则减”，即与若具有相同的单调性则必为增函数，若具有不同的单调性则必为减函数，讨论复合函数单调性的步骤是：①求出复合函数的定义域；②把复合函数分解成为若干个常见的基本函数，并判定其单调性；③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；④根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性.【考点专练】１.（０５上海）若函数＝，则该函数在上是（）Ａ．单调递减无最小值Ｂ．单调递减有最小值Ｃ．单调递增无最大值Ｄ．单调递增有最大值2．（０５全国）已知函数在内是减函数，则（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3.（2006广东）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数是（）A.B.C.D.4.（04，上海）若函数=在上为增函数，则实数a、b的取值范围是。5.(2012安徽文)若函数的单调递增区间是，则。6.（07，辽宁）函数的单调递增区间是7.函数=的单调递增区间为，那么实数a的取值范围是()A.B.C.D.8.设=+，,是函数的单调递增区间，将的图像按向量平移得到一个新的函数G(x)的图像，则G(x)的单调递减区间必定是（）A.B.C.D.9.函数的单调递增区间是.10.若函数=在上是减函数，则a的取值范围是（）A.a>2B.a<2C.a2D.a211.给出下面四个条件：①②③④能使是函数为单调减函数的是.12.（2006，重庆）已知在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是（）Ａ．（０，１）Ｂ．（１，２）Ｃ．（０，２）Ｄ．［２，＋13.若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（）(A) (B) (C)(D)14.若函数在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为()(A)(B) (C)(0,+∞)(D)15.（０６天津）如果函数＝在区间上是增函数，那么实数ａ的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．（１，Ｄ．16.（2011江苏）函数的单增区间是：。17.已知函数。（1）若，求的定义域。（2）若在区间（0，1上是减函数，求的取值范围。18.（2011，上海）已知函数=，其中常数a,b满足ab。若，判断函数的单调性；若，求的的取值范围。(2)证明函数的单调性与求函数的单调区间，均可用单调函数的定义，具体方法常用作差法或作商比较法。【考点专练】1.函数对任意都有=，并且当x>0时>1,求证：①在R是增函数。②若，解不等式。已知函数的定义域（0，，且对任意的正实数都有，且当时（1）求证：（2）求（3）解不等式3.（２００６，东北三校）设函数是定义在Ｒ上的函数，对任意实数ｍ，ｎ都有＝且当ｘ＜０时，＞１。（１）证明：①②当ｘ＞０时，０＜＜１；③是Ｒ上的减函数。（２）如果对任意实数ｘ，ｙ，有恒成立，求实数ａ的取值范围。（２００６，苏州）已知y=是奇函数，它在上是增函数，且＜０，试问＝在上是增函数还是减函数？5.已知是定义在上的奇函数,若且有eq\o\ac(○,1)判断在上的单调性,并证明之.eq\o\ac(○,2)解不等式（3）求函数的单调区间，除定义法外，还可以根据函数图像用数形结合法。（4）利用导数也可以判断函数的单调性，其步骤：①求定义域②求导数；③令>0得不等式的解集即为单调增区间.<0的解集即为单调减区间。注意：1.单调区间是定义域的子集。2.反之,若已知函数在某个区间上具有单调性;则在该区间上恒成立.3.若单调区间在两个或两个以上,用”,”“及”,“和”，“与”表示。（5）含参数的函数的单调性或单调区间求解方法是：“三问”【考点专练】1.(07,四川)设函数=为奇函数，其图像在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为—12.①求a,b,c的值。②求函数的单调递增区间，并求函数有[-1,3]上的最大值和最小值。2设函数＝，其中ａ为实数。①若的定义域为Ｒ，求ａ的取值范围；②当的定义域为Ｒ时，求的单调区间。（０７，陕西）3.（０７安徽）设函数＝—，，其中，将的最小值记为。①求的表达式。②讨论在（－１，１）内的单调性并求极值。4.（04，全国）已知函数=在R上是减函数，求a的取值范围。5.（04，天津）已知函数=是R上的奇函数，当x=1时取得极值-2.（1）求的单调区间和极大值。（2）证明对任意，不等式恒成立。6.已知=为奇函数。①求a,b的值。②求单调区间，并加以证明。③求的值域。7.(陕西09)已知函数.(1)若在处取得极值,求a的值.(2)求的单调区间.（3）若的最小值为1，求a的取值范围。8.已知函数。（1）设，讨论的单调性。（2）若对任意恒有，求的取值范围。已知函数，其中。（1）当时，求曲线在（2，处的切线方程。（2)当时，求函数的单调区间与极值。10。已知函数和。在处的切线平行。（1）试求函数和的单调增区间。（2）设，求证；11.（2011四川）已知函数。（1）设函数求的单调区间与极值。（2）设,解关于的方程。12.（2011天津）已知，函数（1）求单调区间；（2）当时，证明：存在使；（3）若存在均属于区间的，且使证明：13.（2011天津）已知函数其中。（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求的单调区间；（3）证明：对任意，在区间内均存在零点。14.（2011浙江）设函数，。（1）求的单调区间；(2)求所有的实数，使对恒成立。15.（2011陕西）设函数定义在上，，导函数，。（1）求的单调区间和最小值。（2）讨论与的大小关系。（3）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。16.（2012陕西）设函数。(1)设证明：区间内存在唯一零点；（2）设，若对任意，有，求的取值范围；（3）在（1）的条件下，设是在区间内的零点，判断数列的增减性。17.设函数。（（1）设，若对恒成立，求的取值范围。（2）函数在区间内是否有零点，有几个零点？为什么？18.（06湖南卷）已知函数.讨论函数的单调性；19.解不等式20、（2010年全国卷一21)已知函数f(x)=3ax4-2(3a+1)x2+4x(Ⅰ)当a=时，求f(x)的极值;(Ⅱ)若f(x)在(-1,1)上是增函数，求a的取值范围.21.22．已知函数当时，求函数f(x)的单调区间和极值。若g(x)=f(x)+在上是单调增函数，求实数a的取值范围。23.（2009年重庆）不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（）A、B、C、[1，2]D、24、若不等式，对于均成立，那么实数的取值范围是（）A、B、[0，5）C、D、[0，1]25.若存在实数满足，则实数的取值范围为：。26.不等式对一切的恒成立，则实数的取值范围为：。27.已知函数f(x)＝alnx－x2＋1.(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为4x－y＋b＝