离散傅里叶变换课件

第3章离散傅里叶变换3.1引言3.2傅里叶变换的几种可能形式3.3周期序列的离散傅里叶级数（DFS）3.4离散傅里叶级数（DFS）的性质3.5有限长序列离散傅里叶变换（DFT）3.6离散傅里叶变换的性质3.7抽样Z变换--频域抽样理论3.8利用DFT对连续时间信号的逼近通过上面的讲述，看起来的有限长序列x(n)和周期序列之间的差别似乎很小，因为利用这两个关系式可以直接从一个构造出另一个。然而在研究DFT的性质以及改变x(n)对X(k)的影响时，这种差别是很重要的。尽管DFT和DTFT非常相似，但它们是两种完全不同的运算。DFT是一种数值运算，它根据有限长数据x(n)计算有限个系数X(n)；而DTFT不具备计算可行性，因为它是基于无限长的序列x(n)

来求解连续函数X(ω)的。

信号时域抽样理论实现了信号时域的离散化，使我们能用数字技术在时域对信号进行处理。而离散傅里叶变换理论实现了频域离散化，因而开辟了用数字技术在频域处理信号的新途径，从而推进了信号的频谱分析技术向更深更广的领域发展。3.6离散傅里叶变换的性质DFT的一些性质，本质上和周期序列的DFS概念有关，而且是由有限长序列及其DFT表示式隐含的周期性得出的。以下讨论的序列都是N点有限长序列，用DFT［·］表示N点DFT，且设:DFT［x1(n)］=X1(k)DFT［x2(n)］=X2(k)一、线性式中，a,b为任意常数。该式可根据DFT定义证明。

和的长度N1和N2不等时，选择为变换长度,短者进行补零达到N点。二.序列的圆周移位1.定义一个有限长序列的圆周移位定义为这里包括三层意思：先将进行周期延拓再进行移位最后取主值序列：

2.圆周移位的含义

由于我们取主值序列x(n)，即只观察n=0到N-1这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把排列在一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于在圆上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期序列:。圆周移位过程示意图3.时域圆周移位定理设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)圆周移位，即则圆周移位后的DFT为证利用周期序列的移位性质加以证明。再利用DFS和DFT关系这表明，有限长序列的圆周移位在离散频域中引入一个和频率成正比的线性相移，而对频谱的幅度没有影响。

4.频域圆周移位定理对于频域有限长序列X(k)，也可看成是分布在一个N等分的圆周上，所以对于X(k)的圆周移位，利用频域与时域的对偶关系，可以证明以下性质：若则这就是调制特性。它说明，时域序列的调制等效于频域的圆周移位。三、对偶性若则四、圆周共轭对称性1.周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量周期为N的周期序列的共轭对称分量与共轭反对称分量分别定义为

同样，有2.有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量分别定义为由于所以这表明长为N的有限长序列可分解为两个长度相同的两个分量。3.共轭对称特性之一证明：4.共轭对称特性之二证明：可知：5.共轭对称特性之三证明：6.共轭对称特性之四证明：7.共轭对称特性之五、六8.X(k)圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称性五、DFT形式下的帕斯瓦尔定理证如果令y(n)=x(n)，则式（2-62）变成即这表明一个序列在时域计算的能量与在频域计算的能量是相等的。六、圆周卷积（循环卷积）设x1(n)和x2(n)都是点数为N的有限长序列（0≤n≤N-1），且有：若则表示x1(n)和x2(n)的N点圆周卷积。

证这个卷积相当于周期序列和作周期卷积后再取其主值序列。先将Y(k)周期延拓，即根据DFS的周期卷积公式由于0≤m≤N-1为主值区间， ，因此将 式经过简单换元，也可证明卷积过程可以用图来表示。圆周卷积过程中，求和变量为m,n为参变量。先将x2(m)周期化，形成x2((m))N;再反转形成x2((-m))N，取主值序列则得到x2((-m))NRN(m)，通常称之为x2(m)的圆周反转。对x2(m)的圆周反转序列圆周右移n，形成x2((n-m))NRN(m);当n=0,1,2,…,N-1时，分别将x1(m)与x2((n-m))NRN(m)相乘，并在m=0到N-1区间内求和，便得到圆周卷积y(n)。

N圆周卷积过程示意图圆周卷积过程示意图N或N特别要注意，两个长度小于等于N的序列的N点圆周卷积长度仍为N，这与一般的线性卷积不同。圆周卷积用符号○来表示。圆周内的N表示所作的是N点圆周卷积。N根据时域与频域的对称性，可得频域圆周卷积定理：若x1(n)，x2(n)皆为N点有限长序列，则N即时域序列相乘，乘积的DFT等于各个DFT的圆周卷积再乘以1/N。七、有限长序列的线性卷积与圆周卷积

时域圆周卷积在频域上相当于两序列的DFT的乘积，而计算DFT可以采用它的快速算法——快速傅里叶变换（FFT）（见第5章），因此圆周卷积与线性卷积相比，计算速度可以大大加快。但是实际问题大多总是要求解线性卷积。例如，信号通过线性时不变系统，其输出就是输入信号与系统的单位脉冲响应的线性卷积，如果信号以及系统的单位脉冲响应都是有限长序列，那么是否能用圆周卷积运算来代替线性卷积运算而不失真呢？下面就来讨论这个问题。

1.线性卷积的长度为的长度为它们线性卷积为设x1(n)是N1点的有限长序列（0≤n≤N1-1），x2(n)是N2点的有限长序列（0≤n≤N2-1）。的非零区间为的非零区间为两不等式相加得也就是不为零的区间.例如:1012n1012n3m-1-2-3mm1012mmn2103145233211012m2.用圆周卷积计算线性卷积LL先假设进行L点的圆周卷积，再讨论L取何值时，圆周卷积才能代表线性卷积。

设y(n)=x1(n)○x2(n)是两序列的L点圆周卷积，L≥max［N1,N2］，这就要将x1(n)与x2(n)都看成是L点的序列。在这L个序列值中，x1(n)只有前N1个是非零值，后L-N1个均为补充的零值。同样，x2(n)只有前N2个是非零值，后L-N2个均为补充的零值。则先将序列x1(n)与x2(n)以L为周期进行周期延拓它们的周期卷积序列为前面已经分析了y1(n)具有N1+N2-1个非零值。如果周期卷积的周期L<N1+N2-1，那么y1(n)的周期延拓就必然有一部分非零序列值要交叠，从而出现混叠现象。只有在L≥N1+N2-1时，才没有交叠现象。这时,在y1(n)的周期延拓中，每一个周期L内，前N1+N2-1个序列值正好是y1(n)的全部非零序列值，而剩下的L-(N1+N2-1)个点上的序列值则是补充的零值。圆周卷积正是周期卷积取主值序列L因此所以要使圆周卷积等于线性卷积而不产生混叠的必要条件为满足此条件后就有即 x1(n)○x2(n)=x1(n)*x2(n)L线性卷积与圆周卷积线性卷积与圆周卷积例一个有限长序列为

（1）计算序列x(n)的10点离散傅里叶变换。（2）若序列y(n)的DFT为式中，X(k)是x(n)的10点离散傅里叶变换，求序列y(n)。（3）若10点序列y(n)的10点离散傅里叶变换是式中,X(k)是序列x(n)的10点DFT，W(k)是序列w(n)的10点DFT0≤n≤4其他求序列y(n)。（4）将w(n)的n值范围改为0≤n≤6，求y(n)。

解：（1）x(n)的10点DFT（2）X(k)乘以一个WNkm形式的复指数相当于是x(n)圆周移位m点。本题中m=-2,x(n)向左圆周移位了2点，就有y(n)=x((n+2))10R10(n)=2δ(n-3)+δ(n-8)（3）X(k)乘以W(k)相当于x(n)与w(n)的圆周卷积。为了进行圆周卷积，可以先计算线性卷积再将结果周期延拓并取主值序列。x(n)与w(n)的线性卷积为z(n)=x(n)*w(n)=｛1,1,1,1,1,2,2,2,2,2｝因为圆周卷积为y(n)=z(n)y(n)=｛1,1,1,1,1,2,2,2,2,2｝（4）X(k)乘以W(k)相当于x(n)与w(n)的圆周卷积。为了进行圆周卷积，可以先计算线性卷积再将结果周期延拓并取主值序列。x(n)与w(n)的线性卷积为z(n)=x(n)*w(n)=｛1,1,1,1,1,3,3,2,2,2,2,2｝圆周卷积为在0≤n≤9求和中，仅有序列z(n)和z(n+10)有非零值，用表列出z(n)和z(n+10)的值，对n=0,1,2,…,9求和，得到：n01234567891011Z(n)z(n+10)11111332222200000000200y(n)3311133222____所以10点圆周卷积为y(n)=｛3,3,1,1，1,3,3,2,2,2｝3.7抽样Z变换--频域抽样理论一.如何从频域抽样恢复原序列1.两种抽样

时域抽样:对一个频带有限的信号,根据抽样定理对其进行抽样,所得抽样信号的频谱是原带限信号频谱的周期延拓,因此,完全可以由抽样信号恢复原信号。

频域抽样:对一有限序列(时间有限序列)进行DFT所得X(k)就是序列傅氏变换的抽样.所以DFT就是频域抽样。2.由频域抽样恢复序列一个绝对可和的非周期序列x(n)的Z变换为

由于x(n)绝对可和,故其傅氏变换存在且连续,也即其Z变换收敛域包括单位圆。这样,对X(Z)在单位圆上N等份抽样,就得到对进行反变换,并令其为,则

可见,由得到的周期序列是非周期序列x(n)的周期延拓。也就是说,频域抽样造成时域周期延拓。1,m=n+rN,0,其他m3.频域抽样不失真的条件

当x(n)不是有限长时，无法周期延拓；

当x(n)为长度M,只有NM时,才能不失真的恢复信号,即1.由X(k)恢复X(Z)

序列x(n)（0nN-1）的Z变换为由于，所以二.由X(k)表达X(Z)与的问题——内插公式上式就是由X(k)恢复X(Z)的内插公式,其中称作内插函数。5. 与X(k)的关系

由于的特性可知,在每个抽样点上其值为1,故就精确等于X(k)。即而在抽样点之间,等于加权的内插函数值

叠加而得。在以后章节中，我们将会看到，频率抽样理论为FIR滤波器的结构设计，以及FIR滤波器传递函数的逼近提供了又一个有力的工具。3.8