理论力学5-点的运动学描述和刚体的基本运动

运动学运动学是研究物体运动的几何性质的科学。也就是从几何学方面来研究物体的机械运动。运动学的内容包括:运动方程、轨迹、速度和加速度。引言物体运动的描述是相对的。将观察者所在的物体称为参考体，固连在参考体上的坐标系称为参考坐标系。只有明确参考系来描述物体的运动才有意义。时间概念要明确:瞬时t和时间间隔Δt5.1点的运动学描述本章将介绍研究点的运动的三种方法,即:矢量法、直角坐标法和自然坐标法。点运动时,在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线,称为点的运动轨迹。点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当轨迹为圆时称为圆周运动。表示点的位置随时间变化规律的数学方程称为点的运动方程。本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度,以及它们之间的关系。1.

点的运动方程MrO选取参考系上某确定点O为坐标原点，自点O向动点M作矢量，称为点M相对原点O的位置矢量，简称矢径。当动点M运动时，矢径随时间而变化，并且是时间的单值连续函数，即5.1.1矢量法2.

速度5.1.1矢量法动点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数。AMBOM'

动点的速度矢沿着矢径的矢端曲线的切线，即沿动点运动轨迹的切线，并与此点运动的方向一致。3.

加速度点的速度矢对时间的变化率称为加速度。点的加速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的变化。点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数。5.1.1矢量法

有时为了方便，在字母上方加“.”表示该量对时间的一阶导数，加“..”表示该量对时间的二阶导数。这组方程叫做用直角坐标表示的点的运动方程。如以矢径r的起点为直角坐标系的原点，则矢径r可表示为：5.1.2直角坐标法MrOkijyyxxzz速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。速度5.1.2直角坐标法若已知速度在各个方向上的投影，则速度的大小为:其方向余弦为加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数。加速度5.1.2直角坐标法若已知加速度在三个坐标轴上的投影，则加速度的大小为其方向余弦为例5-1

曲柄连杆机构是由曲柄、连杆及滑块组成的机构。当曲柄OA绕O轴转动时，由于连杆AB带动，滑块沿直线作往复运动。设曲柄OA长为r，以角速度w绕O轴转动，即j＝wt，连杆AB长为l。试求滑块B的运动方程、速度和加速度。（r与l的比值较小）解：取滑块B的直线轨迹为x轴，曲柄的转动中心O为坐标原点。在经过t秒后，此时B点的坐标为：ABOClxwxja整理可得B的运动方程：ABOClxwxja由此可得滑块B的速度和加速度：将右边最后一项展开：习题分析5-15AOφBDCxy这就是弧坐标形式的点的运动方程。5.1.3自然坐标法1弧坐标动点M在轨迹上的位置也可以这样来确定：在轨迹上任选一点O为参考点，并设点O的某一侧为正向，动点M在轨迹上的位置由弧长s确定，视弧长s为代数量，称它为动点M在轨迹上的弧坐标。当动点M运动时，s随着时间变化，它是时间t的单值连续函数，即MOs(-)(+)2自然轴系t1t'1tM15.1.3自然坐标法

即以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系，这三个轴称为自然坐标轴。且三个方向单位矢量满足右手法则，即Mnbt5.1.3自然坐标法曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值称为曲线在点M处的曲率。曲率的倒数称为曲线在点M处的曲率半径。

曲率MM'△s△jtt'5.1.3自然坐标法两个相关的计算结果(当Δt→0)OMM't"t't△j△s△tAB5.1.3自然坐标法3点的速度用矢量表示为：在曲线运动中，点的速度是矢量。它的大小等于弧坐标对于时间的一阶导数，它的方向沿轨迹的切线，并指向运动的一方。5.1.3自然坐标法AMBOM'Δs4点的切向加速度和法向加速度由于所以5.1.3自然坐标法上式表明加速度矢量a是由两个分矢量组成：分矢量的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它表明速度大小随时间的变化率；分矢量

的方向永远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方向随时间的变化率。4点的切向加速度和法向加速度5.1.3自然坐标法全加速度为at和an的矢量和全加速度的大小和方向由下列二式决定：大小：方向：5.1.3自然坐标法

了解上述关系后，容易得到曲线运动的运动规律。而匀速曲线运动，即动点速度的代数值保持不变。

如果动点的切向加速度的代数值保持不变，则动点的运动称为匀变速曲线运动。现在来求它的运动规律。两种特殊情况例5-2已知点的运动方程为x＝2sin4tm,y＝2cos4tm,z＝4tm。求点运动轨迹的曲率半径。解:点的速度和加速度在三个坐标轴上的投影分别为:MMjRoj例5-3半径为R的轮子沿直线轨道纯滚动(无滑动地滚动)。设轮子保持在同一竖直平面内运动,,试分析轮子边缘一点M的运动。旋轮线解：取坐标系Axy

如图所示,并设M点所在的一个最低位置为原点A,则当轮子转过一个角度后,M点坐标为这是旋轮线的参数方程。oRCAxyM点的速度为:当点M与地面接触,即时,点M速度等于零。oRCAxy例5-4下图为料斗提升机示意图。料斗通过钢丝绳由绕水平轴O转动的卷筒提升。已知:卷筒的半径为R＝16cm,料斗沿铅垂提升的运动方程为y＝2t2,y以cm记,t以s计。求卷筒边缘一点M在t＝4s时的速度和加速度。OMRA0AM0y解:此时M点的切向加速度为:v＝4×4＝16cm/s当t=4s时速度为:qatanaM点的法向加速度为:M点的全加速度为:OMRA0AM0yqatana如果在物体内任取一直线段，在运动过程中这条直线段始终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动，简称平移。5.2刚体的平移此处有影片播放结论：当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。因此，研究刚体的平移，可以归结为研究刚体内任一点的运动。5.2刚体的平移yxzABB1B2A2A1O同时要注意：刚体平移时，刚体上的点既可以作直线运动，也可以作曲线运动。

在刚体运动的过程中，若刚体上或其延伸部分上有一条直线始终不动，具有这样一种特征的刚体的运动称为绕定轴转动，简称转动。该固定不动的直线称为转轴。5.3刚体绕定轴转动此处有影片播放如图，两平面间的夹角用j表示，称为刚体的转角。转角j是一个代数量，它确定了刚体的位置，它的符号规定如下：自z轴的正端往负端看，从固定面起按逆时针转向计算取正值；按顺时针转向计算取负值。并用弧度(rad)表示。5.3刚体绕定轴转动当刚体转动时，角j是时间t的单值连续函数，即这就是刚体绕定轴转动的运动方程。5.3刚体绕定轴转动转角j对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度，用w表示:角速度表征刚体转动的快慢和方向，其单位用rad/s(弧度/秒)表示。角速度是代数量，从轴的正端向负端看，刚体逆时针转动时角速度取正值，反之取负值。角速度对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角加速度，用字母

表示，即5.3刚体绕定轴的转动角加速度表征角速度变化的快慢，其单位用rad/s2(弧度/秒2)表示。角加速度也是代数量。如果w与

同号，则转动是加速的；如果w与

异号，则转动是减速的。5.3刚体绕定轴的转动

工程上也常用转速n来表示刚体转动的快慢。n的单位是转/分(rpm)，w与n的转换关系为匀速转动匀变速转动两种特殊情况当刚体绕定轴转动时，刚体内任意一点都作圆周运动，圆心在轴线上，圆周的半径R等于该点到轴线的垂直距离。5.3.2转动刚体上各点的速度和加速度动点速度的大小为:5.3.2转动刚体上各点的速度和加速度设刚体由定平面A绕定轴O转动任一角度j，到达B位置，其上任一点由O'运动到M。以固定点O'为弧坐标s的原点，按角j的正向规定弧坐标s的正向，于是即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。5.3.2转动刚体上各点的速度和加速度5.3.2转动刚体上各点的速度和加速度点M的加速度有切向加速度和法向加速度，切向加速度为：即：转动刚体内任一点的切向加速度(又称转动加速度)的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积，它的方向由角加速度的符号决定，当

是正值时，它沿圆周的切线，指向角j的正向；否则相反。5.3.2转动刚体上各点的速度和加速度法向加速度为：即：转动刚体内任一点的法向加速度(又称向心加速度)的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。

(1)

在任一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。

(2)

在任一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径间的夹角q

都有相同的值。点的全加速度为：转动刚体上各点的速度和加速度主动轮与从动轮角速度之比称为传动比，记为i12。5.4轮系的传动比1)齿轮传动5.4轮系的传动比即：相互啮合的两齿轮的角速度之比与它们节圆半径成反比。因啮合点无相对滑动，所以由于w1

1R1O1O2R2w2

2v1v2at1at2所以由于齿轮齿数与其节圆半径成正比，故即：相互啮合的两齿轮的角速度之比及角加速度之比与它们的齿数成反比。5.4轮系的传动比w1

1R1O1O2R2w2

2v1v2at1at22)带轮传动5.4轮系的传动比例5-10下图是一减速箱，它由四个齿轮组成，其齿数分别为Za=10，Zb=60，Zc=12，Zd=70。(a)求减速箱的总减速比i13；(b)如果n1=3000r/min，求n3。acn1dbn3n2解：求传动比：则有：5.5以矢量表示角速度和角加速度以矢积表示点的速度和加速度1、角速度矢量和角加速度矢量角速度矢量角加速度矢量2、绕定轴转动刚体上点的速度和加速度速度2、绕定轴转动刚体上点的速度和加速度加速度点M法向加速度点M切向加速度习题5-24

纸盘由厚度为a的纸条卷成，令纸盘的中心不动，而以等速v拉纸条。求纸盘的角加速度(以半径r的函数表示)v解：设纸盘在t＝0时的半径为r0，则在t时刻纸盘减小的面积为又将此两式对时间t求导得例5-6

在刮风期间，风车的角加速度。若初瞬时，其叶片半径为0.75m。试求叶片转过两圈（）时其顶端P

点的速度。ωαP解:

例5-7一半径为R=0.2m的圆轮绕定